《椭圆》 完整版课件

椭圆利用几何性质求标准方程【技法点拨】求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤（1）常用方法:利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法．（2）一般步骤:根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．其一般步骤为【典例训练】1.（2012·台州高二检测）椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为_______.2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_______.【解析】1.由题知2a=10,c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9,又∵椭圆的焦点在x轴上，∴标准方程为答案：2.依题意设椭圆G的方程为∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a=12⇒a=6.∵椭圆的离心率为解得b2=9,∴椭圆G的方程为答案：【互动探究】将第1题中条件“一个焦点坐标为（4，0）”改为“焦距为8”，试求椭圆的标准方程.【解析】由题知2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,b2=a2-c2=9.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为或【总结】根据椭圆的简单几何性质求椭圆方程的关键.提示：根据椭圆的几何性质求椭圆的方程关键有两点：一是“定量”，根据与几何性质有关的条件确定a2,b2的值；二是“定位”，即确定焦点的位置，若焦点位置不确定则需要分类讨论.【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)；(2)椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于【解析】(1)由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是(2)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是或与离心率有关的问题【技法点拨】椭圆离心率及范围的求法椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量，它是椭圆的长轴长和焦距的比值.由于a，b，c的关系，这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画.在解决问题的过程中我们更多地用a，c描述，因此，求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：(1)若已知a,c可直接代入求得;(2)若已知a,b则使用求解;(3)若已知b,c,则求a,再利用(1)或(2)求解;(4)若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程（不等式）求值（范围）.【典例训练】1.（2012·新课标全国高考）设F1，F2是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()（A）（B）（C）（D）2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______.3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．【解析】1.选C.设直线与x轴交于点M，则∠PF2M=60°在Rt△PF2M中，PF2=F1F2=2c，故解得故离心率2.如图，由已知得答案：3.如图，连接BF2.∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，yxABF1F2O∴F2B⊥BF1.又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即∴椭圆的离心率【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问题的思想方法？提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂，因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.【变式训练】设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂