(新高考)高考数学二轮精品复习专题10《数列求和方法之错位相减法》(解析版)

专题10数列求和方法之错位相减法一、单选题1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（）A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n【答案】D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得SKIPIF1<0，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得SKIPIF1<0，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=SKIPIF1<0-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.二、解答题2．在公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，前五项和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次成等比数列，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，利用等差数列的性质结合等比中项的应用，列方程求出公差，进而得出数列SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式作差并利用等比数列的通项公式计算出SKIPIF1<0；（2）利用错位相减法计算出数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次成等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生计算能力，数列求和的方法如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且SKIPIF1<0Sn＝2n﹣1.(1)求数列{an}的通项公式，(2)设函数f(x)＝(SKIPIF1<0)x，数列{bn}满足条件b1＝f(﹣1)，f(bn+1)SKIPIF1<0．①求数列{bn}的通项公式，②设cnSKIPIF1<0，求数列{cn}的前n项和Tn．【答案】(1)an＝2n，n∈N*；(2)①bn＝3n﹣1；②Tn＝5SKIPIF1<0．【分析】（1）利用SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得通项公式；（2）①化简关系式，由指数函数性质得数列SKIPIF1<0是等差数列，从而得通项公式；②由错位相减法求和SKIPIF1<0．【详解】(1)由SKIPIF1<0Sn＝2n﹣1，即Sn＝2n+1﹣2，当n＞1时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(2n+1﹣2)﹣(2n﹣2)＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式．则有数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*；(2)①f(x)＝(SKIPIF1<0)x，b1＝2，f(bn+1)SKIPIF1<0．可得(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0，即有bn+1＝bn+3，可得{bn}以2首项和3为公差的等差数列，即有bn＝3n﹣1；②cnSKIPIF1<0，前n项和Tn＝2SKIPIF1<0SKIPIF1<05SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)2+…+(3n﹣4)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0+(3n﹣1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)n，SKIPIF1<0Tn＝2SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)2+5SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)3+…+(3n﹣4)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)n+(3n﹣1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)n+1，相减可得，SKIPIF1<0TnSKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)2+…+3SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0﹣(3n﹣1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)n+1SKIPIF1<0(3n﹣1)(SKIPIF1<0)n+1，化简可得，前n项和Tn＝5SKIPIF1<0．【点睛】本题考查由SKIPIF1<0求SKIPIF1<0，考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（（2）错位相减法：数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的前SKIPIF1<0项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列SKIPIF1<0用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的数列，需用倒序相加法求和．4．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0并证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，证明见解析.【分析】（1）利用SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式相减整理可得SKIPIF1<0，从而可得数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比数列，进而可求出SKIPIF1<0，（2）先利用错位相法求出SKIPIF1<0，再利用放缩法可证得结论【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的方法通常有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法5．已知数列SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，利用已知条件得出关于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0的值，利用等差数列的通项公式可求得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求得SKIPIF1<0，然后利用错位相减法可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0（2）.①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求解；（2）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0为等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于SKIPIF1<0型数列，利用分组求和法；（4）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，利用裂项相消法求和.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．（1）证明：数列{an}为等比数列；（2）设bn＝2n－1，cn＝SKIPIF1<0，求数列{cn}的前n项和Tn．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根据数列的递推关系作差法即可证明；（2）利用错位相减求和法即可求出答案．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，--------①所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，---------②由①-②并整理得，SKIPIF1<0，由上递推关系得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是首项为3，公比为3的等比数列，（2）由（1）得：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用递推式得到，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用作差法求出SKIPIF1<0；（2）解题关键在于列出，SKIPIF1<0，利用错位相消求和法进行求解，难度属于中档题7．已知等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）用等比数列基本量计算表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，利用错位相减法求出SKIPIF1<0【详解】(1)设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由题意知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.①SKIPIF1<0.②①－②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列SKIPIF1<0的公比，然后作差求解;在写“SKIPIF1<0”与“SKIPIF1<0”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SKIPIF1<0”的表达式.8．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.（3）若存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【分析】（1）利用SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求得，注意检验首项.（2）SKIPIF1<0，错位相减法求和得解.（3）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0为奇数，则SKIPIF1<0，单调递增；若SKIPIF1<0为偶数，则SKIPIF1<0，单调递减，利用数列单调性得解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，不适合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由题意得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，①则SKIPIF1<0，②由①-②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（3）由题意知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0为奇数，则SKIPIF1<0，单调递增；若SKIPIF1<0为偶数，则SKIPIF1<0，单调递减，所以SKIPIF1<0，因为存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，所以当SKIPIF1<0为奇数时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【点睛】本题考查利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系求通项及错位相减法求和.已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的三个步骤:(1)先利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0.(2)用SKIPIF1<0替换SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0得到一个新的关系，利用SKIPIF1<0便可求出当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的表达式．(3)对SKIPIF1<0时的结果进行检验，看是否符合SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两段来写．错位相减法求和的方法：如果数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列SKIPIF1<0的公比，然后作差求解;在写“SKIPIF1<0”与“SKIPIF1<0”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SKIPIF1<0”的表达式.9．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0.（1）求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由递推关系式可得SKIPIF1<0，从而可证明数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）先由（1），根据题中条件，求出SKIPIF1<0，再利用错位相减法进行求和可得SKIPIF1<0．【详解】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列；（2）由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0两式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.10．已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“SKIPIF1<0数列”，证明：数列SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0数列”；（2）记等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0数列”；（2）由等差数列的性质求出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由等差数列的求和公式求出SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由错位相减法求出SKIPIF1<0.【详解】（1）证明：由题意可设公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0数列”.（2）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0易得：SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0由（1）知若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①∴SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.【点睛】对于“等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和.11．已知等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项SKIPIF1<0与公比SKIPIF1<0的方程组，解出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值，即可计算出数列SKIPIF1<0的通项公式，再根据公式SKIPIF1<0进行计算可得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）先分SKIPIF1<0为奇数和SKIPIF1<0为偶数分别计算出数列SKIPIF1<0的通项公式，在求前SKIPIF1<0项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【详解】（1）依题意，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于数列SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由题意及（1），可知：当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：第二问中当SKIPIF1<0为奇数时，求出SKIPIF1<0，并对SKIPIF1<0进行裂项为SKIPIF1<0是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.12．已知各项都大于1的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn－4n＋1＝an2：数列{bn}的前n项和为Tn，bn＋Tn＝1.（1）分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn＝anbn，若对任意的n∈N*.不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，试求实数λ的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系可得SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0，再利用等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式即可求解.（2）利用错位相减法求出SKIPIF1<0，然后再分离参数即可求解.【详解】（1）由题可知，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②由②-①得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不满足题意，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比数列，首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相减得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可化为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题考查了SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系、数列求和、数列不等式，解题的关键是利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系求出数列的通项公式，分离参数，考查了计算能力.13．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）直接根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程求解；（2）利用错位相减法求和即可．【详解】解：（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，①①式两边同乘以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【点睛】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．14．记等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）利用作差思想可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0的通项公式；（2）通过（1）求出SKIPIF1<0的通项公式，利用错位相减法求其前SKIPIF1<0项和即可.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以等比数列SKIPIF1<0的公比是3，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为3的等比数列，SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【点睛】一般地，如果数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列SKIPIF1<0的公比，然后作差求解.15．已知数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据SKIPIF1<0写出SKIPIF1<0，然后两式作差结合SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0为等比数列并求解出通项公式；（2）先根据（1）写出SKIPIF1<0的通项公式，采用错位相减法求和，从而可求解出SKIPIF1<0.【详解】解：（1）因为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，从而SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两边同乘以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列SKIPIF1<0的一般形式：SKIPIF1<0；（2）将（1）中的关于SKIPIF1<0等式的左右两边同时乘以等比数列的公比SKIPIF1<0；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前SKIPIF1<0项和公式以及相关计算求解出SKIPIF1<0.16．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0是等比数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；（2）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）证明见解析，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）对递推关系两边取倒数得SKIPIF1<0，再利用构造等比数列，即可得答案；（2）求出SKIPIF1<0，再利用错位相减求和，根据数据的单调性，可求得参数的取值范围；【详解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0是为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0单调递增，若SKIPIF1<0为偶数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0为奇数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上所述SKIPIF1<0.【点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系SKIPIF1<0的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围.17．已知数列{an}的首项为0，且2anan+1+an+3an+1+2＝0.（1）证明数列SKIPIF1<0是等差数列，并求{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且SKIPIF1<0，若不等式(-1)nλ＜Sn+3×2n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；SKIPIF1<0；（2）-14＜λ＜38.【分析】（1）通过化简，得到SKIPIF1<0，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用错位相消求和法，得出SKIPIF1<0，然后代入不等式，利用参变分离法求出λ的取值范围【详解】（1）证明：∵2anan+1+an+3an+1+2＝0，∴2(an+1)(an+1+1)+an+1-an＝0，∴2(an+1)(an+1+1)+(an+1+1)-(an+1)＝0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）解：由题可知bn＝(2n-1)×2n，Sn＝1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，2Sn＝1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，两式相减得-Sn＝1×21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入不等式中得，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，明显地，该数列为递增数列，若n为偶数，则λ＜n·2n+2+6，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，此时SKIPIF1<0，∴λ＜38；若n为奇数，则-λ＜n·2n+2+6，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，此时，SKIPIF1<0，∴-λ＜14，∴λ＞-14，综上，-14＜λ＜38.【点睛】关键点睛：解题关键在于，利用错位相消求和法和参变分离法进行求解，即先求出Sn＝2n+1(2n-3)+6，进而不等式化简为(-1)nλ＜n·2n+2+6，进而利用参变分离法得到λ＜n·2n+2+6，进而分类讨论求解，属于中档题18．已知等比数列{an}的公比大于1，且满足a3+a5＝90，a4＝27．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn＝log3an，求数列{an(bn+1)}的前n项和Tn.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根据已知条件，结合等比数列的公式求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可写出通项公式；（2）由（1）结合已知有数列{an(bn+1)}的通项为SKIPIF1<0，利用错位相减及等比数列前n项和公式即可求Tn.【详解】（1）设等比数列{an}的公比为SKIPIF1<0，由已知得：SKIPIF1<0，解之得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，所以SKIPIF1<0，故{an}的通项公式SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以数列{an(bn+1)}的通项为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：利用等比通项公式结合已知即可得SKIPIF1<0，进而求基本量并写出通项公式，由新数列的组成得到其通项公式结合等差、等比的项积的混合型数列，应用错位相减即可得到一个等比数列形式，结合等比数列前n项和公式即可求和.19．已知在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前8项和SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式﹔（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求解通项公式；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，利用错位相减法求和.【详解】解：（1）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②由①一②，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：一般数列求和包含：1.公式法，利用等差和等比数列的前SKIPIF1<0项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为SKIPIF1<0，4.分组转化法求和，适用于SKIPIF1<0；5.倒序相加法求和.20．已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）利用等差数列的性质以及等差数列前SKIPIF1<0项的性质求解SKIPIF1<0，再利用等差数列的通项公式以及等差数列前SKIPIF1<0项公式求解即可；（2）由(1)得SKIPIF1<0，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由(1)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①－②SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法.21．甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知____________，（1）判断SKIPIF1<0的关系并给出证明.（2）若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0.甲同学记得缺少的条件是首项SKIPIF1<0的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是SKIPIF1<0成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）可补充公比SKIPIF1<0的值，由等比数列的通项公式和等差中项的性质，计算即可得所求得结论；（2）由等比数列的通项公式求得SKIPIF1<0，再利用乘公比错位相减求和结合等比数列求和公式，不等式的性质即可得证.【详解】（1）补充的条件为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系为SKIPIF1<0成等差数列.证明如下：若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0成等差数列.（2）证明：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上面两式相减可得SKIPIF1<0.整理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是利用SKIPIF1<0成等差数列求出等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0才能求出SKIPIF1<0