《相似》 知识点总结及测试-学生版

<相似>知识点总结及测试知识框架知识点、概念总结1.相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

eq\o\ac(○,1).平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

eq\o\ac(○,2).如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

eq\o\ac(○,3.)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

eq\o\ac(○,4.)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。5.一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）（3）两个等边三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。7.相似的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。（3）相似三角形周长的比等于相似比。（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方（6）若a:c=c:b，即c2=ab,则c叫做a,b的比例中项（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的应用：位似（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。《相似》测试一、试试你的身手（每小题3分，共30分）1．在比例尺为1∶500000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为千米．2．若线段，，，成比例，其中，，，则．3．已知，则的值为．4．两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是．5．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到倍，其面积扩大到倍．6．厨房角柜的台面是三角形(如图1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为．7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，，，都是黄金三角形，已知，则的长．8．在同一时刻，高为1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为．9．如图3，中，，，，，则．10．如图4，在和中，，与的周长之差为10cm，则的周长是．二、相信你的选择(每小题3分，共30分)1．在下列说法中，正确的是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似2．如图5，在中，，分别是、边上的点，，，，则（）A．60° B．45° C．30° D．20°3．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A．都扩大为原来的5倍B．都扩大为原来的10倍C．都扩大为原来的25倍D．都与原来相等4．如图6，在中，，于，若，，则（）A．2 B．4 C．2 D．35．如图7，，，分别是线段和线段的中点，那么线段的长是（）A．6 B．5 C．4.5 D．36．如图8，点是的边延长线上的一点，与相交于点，是的对角线，则图中相似三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对7．如图9，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）8．如图10，梯形的对角线交于点，有以下四个结论：①；②；③；④．其中始终正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．用作相似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，相似中心位置可选在（）A．原图形的外部 B．原图形的内部C．原图形的边上 D．任意位置10．如图11是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm三、挑战你的选择(本大题共60分)1．(8分)我们已经学习了相似三角形，也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．2．（8分）如图12，梯形中，，，为上一点，且．若，，BE∶EC=1∶2，求AB的长．3．（8分）如图13，已知中，点是的中点，，则和有怎样的关系？请你说明理由．4．(8分)某中学平整的操场上有一根旗杆（如图14），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、标杆）可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c…表示)．5．(14分)阳光通过窗户照到室内，在地面上留下2.7米宽的光亮区，如图15，已知亮区一边到窗下墙脚的距离8.7米，窗口高1.8米，那么窗口底边离地面的高是多少米？6．(14分)如图16，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地．当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上．此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米(DE的长)？（2）求张华追赶王刚的速度是多少(精确到0.1m/s)？1、如图，某同学身高AB＝1.60m，他从路灯杆底部的点D直行4m到点B，此时其影长PB＝2m,求路灯杆CD的高度。2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD3、如图所示，△ABC中AB=AC，D为CB的延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足AB2=DB·CE。ADBCE（1）求证：ADBCE（2）若∠BAC=40°，求∠EAD大小。4、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）5、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC