matlab-多目标规划模型

1多目标规规划模型型在现实生生活中,决策的的目标往往往有多多个,例例如,对对企业产产品的生生产管理理,既希希望达到到高利润润,又希希望优质质和低消消耗,还还希望减减少对环环境的污污染等.这就是是一个多多目标决决策的问问题.又又如选购购一个好好的计算算机系统统,似乎乎只有一一个目标标,但由由于要从从多方面面去反映映,要用用多个不不同的准准则来衡衡量,比比如,性性能要好好,维护护要容易易,费用用要省.这些准准则自然然构成了了多个目目标,故故也是一一个多目目标决策策问题.矛盾性、不不可公度性性。一般来说,多目标决决策问题有有两类.一一类是多目目标规划问问题,其对对象是在管管理决策过过程中求解解使多个目目标都达到满意结果的的最优方案案.另一类类是多目标标优选问题题,其对象象是在管理理决策过程程中根据多多个目标或或多个准则则衡量和得得出各种备备选方案的的优先等级与与排序.多目标决策策由于考虑虑的目标多多,有些目目标之间又又彼此有矛矛盾,这就就使多目标标问题成为为一个复杂杂而困难的的问题.但但由于客观观实际的需需要,多目目标决策问问题越来越越受到重视视,因而出出现了许多多解决此决决策问题的的方法.一一般来说,其基本途途径是,把把求解多目目标问题转化为求解解单目标问问题.其主要步步骤是,先先转化为单单目标问题题,然后利利用单目标标模型的方方法,求出出单目标模模型的最优优解,以此此作为多目目标问题的的解.化多目标问问题为单目目标问题的的方法大致致可分为两两类,一类类是转化为为一个单目目标问题,另一类是是转化为多多个单目标标问题,关关键是如何何转化.下面,我们们介绍几种种主要的转转化方法:主要目标标法、线性性加权和法法、字典序序法、步骤骤法。f1f212345678§10.1多目标决决策问题的的特征在解决单目目标问题时时，我们的的任务是选选择一个或或一组变量量X，使目标函数数f(X)取得最大（（或最小））。对于任任意两方案案所对应的的解，只要要比较它们们相应的目目标值，就就可以判断断谁优谁劣劣。但在多多目标情况况下，问题题却不那么么单纯了。。例如，有有两个目标标f1(X)，f2(X),希望它们都都越大越好好。下图列列出在这两两个目标下下共有8个个解的方案案。其中方方案1，2，3，4称为劣解解，因为它它们在两个个目标值上上都比方案案5差，是是可以淘汰汰的解。而而方案5，，6，7，，8是非劣劣解（或称称为有效解解，满意解解），因为为这些解都都不能轻易易被淘汰掉掉，它们中中间的一个个与其余任任何一个相相比，总有有一个指标标更优越，，而另一个个指标却更更差。一、解的特特点二、模型结结构多目标决策策问题包含含有三大要要素：目标标、方案和和决策者。。在多目标决决策问题中中，目标有有多层次的的含义。从从最高层次次来看，目目标代表了了问题要达达到的总目目标。如确确定最满意意的投资项项目、选择择最满意的的食品。从从较低层次次来看，目目标可看成成是体现总总目标得以以实现的各各个具体的的目标，如如投资项目目的盈利要要大、成本本要低、风风险要小；；目标也可可看成衡量量总目标得得以实现的的各个准则则，如食品品的味道要要好，质量量要好，花花费要少。。多目标决策策问题中的的方案即为为决策变量量，也称为为多目标问问题的解。。备选方案案即决策问问题的可行行解。在多多目标决策策中，有些些问题的方方案是有限限的，有些些问题的的方案是无无限的。方方案有其特特征或特性性，称之为为属性。1、多目标标规划问题题的模型结结构为决策变量量如对于求极极大(max)型，其各种种解定义如如下：绝对最优解解：若对于于任意的X，都有F(X*)≥F(X)有效解：若若不存在X，使得F(X*)≤F(X)弱有效解：：若不存在在X，使得F(X*)<F(X)2、多目标标优选问题题的模型结结构可用效用函函数来表示示。设方案案的效用是是目标属性性的函数：：并设且各个方案案的效用函函数分别为为则多目标优优选模型的的结构可表表示如下：：§10.2多多目标规划划问题的求求解1、主要目目标法在有些多目目标决策问问题中，各各种目标的的重要性程程度往往不不一样。其其中一个重重要性程度度最高和最最为关键的的目标，称称之为主要要目标法。。其余的目目标则称为为非主要目目标。例如，在上上述多目标标问题中，，假定f1(X)为主要目标标，其余p-1个为非主要要目标。这这时，希望望主要目标标达到极大大值，并要要求其余的的目标满足足一定的条条件，即例题1某工厂在一一个计划期期内生产甲甲、乙两种种产品，各各产品都要要消耗A，B，C三种不同的的资源。每每件产品对对资源的单单位消耗、、各种资源源的限量以以及各产品品的单位价价格、单位位利润和所所造成的单单位污染如如下表。假假定产品能能全部销售售出去，问问每期怎样样安排生产产，才能使使利润和产产值都最大大，且造成成的污染最最小？解：问题的的多目标模模型如下对于上述模模型的三个个目标，工工厂确定利利润最大为为主要目标标。另两个个目标则通通过预测预预先给定的的希望达到到的目标值值转化为约约束条件。。经研究，，工厂认为为总产值至至少应达到到20000个单位位，而污染染控制在90个单位位以下，即即由主要目标标法化为单单目标问题题用单纯形法法求得其最最优解为2、线性加加权和目标标规划在上述目标标规划中，，假定f1(X),f2(X),……,fp(X)具有相同的的量纲,按按照一定的的规则分别别给fi赋予相同的的权系数ωi，作线性加权权和评价函函数则多目标问问题化为如如下的单目目标问题例如，某公公司计划购购进一批新新卡车，可可供选择的的卡车有如如下4种类类型：A1，A2，A3，，A4。现考虑6个个方案属性性：维修期期限f1，每100升升汽油所跑跑的里数f2，最大载重吨吨数f3，价格（万元元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号号的卡车分分别关于目目标属性的的指标值fij如下表所示示。首先对不同同度量单位位和不同数数量级的指指标值进行行标准化处处理。先将将定性指标标定量化：：可靠性和灵灵敏性都属属于效益型型指标，其其打分如下下按以下公式式作无量纲纲的标准化化处理其中：变换后的指指标值矩阵阵为：设权系数向向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),则故最优方案案为选购A3型卡车3、、分分层层序序列列法法：：1.基基本本步步骤骤：：把(VP)中的的p个目目标标按按其其重重要程程度度排排序序。。依依次次求求单单目目标标规规划划的的最最优优解解。。2.过过程程：：无妨妨设设其其次次序序为为先求求解解得最最优优值值，，记记再解解得最最优优值值，，依次次进进行行，，直直到到得最最优优值值则是是在在分分层层序序列列意意义义下下的的最最优优解解集集合合。。3.性性质质：：，即即在在分分层层序序列列意意义义下下的的最最优优解解是是有有效效解解。。证明明：：反反证证。。设设，，但但，，则则必必存存在在使即至至少少有有一一个个j0，使,由于于，，即即，矛矛盾盾。。得得证证。。4.进进一一步步讨讨论论：：上述述方方法法过过程程中中，，当当某某个个问问题题(Pj)的解解唯唯一一时时，，则则问题题的的求求解解无无意意义义，，因因为为解解都都是是唯唯一一的的。。实际求解时，，有较宽容意意义下的分层层序列法：取为为预预先给定的宽宽容值，整个个解法同原方法类似，只只是取各约束束集合时，分分别取为：4、步骤法（（STEM法）这是一种交互互方法，其求求解过程通过过分析者与决决策者之间的的对话逐步进进行，故称步步骤法。步骤法的基本本思想是，首首先需要求出出原多目标问问题的一组理理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些些解fi*(i=1,2,…,p)无法同时达到到，但可以当当作一组理想想的最优值。。以理想解作作为一个标准准，可以估计计有效解，然然后通过对话话，不断修改改目标值，并并把降低要求求的目标作为为新的约束条条件加入原来来的约束条件件中去重新计计算，直到决决策者得到满满意的解。步骤法算法如如下：第一步：分别别求解以下p个单目标问题题的最优解得到最优解，，其相应应的目标值即即为理想值，此最最优解处别的的目标所取的的值用表表示示，即，把上述计算算结果列入下下表在表中，确定定每一列的最最小值并记第第i列的最小值为为fip(i=1,2,…,p)第二步：求解解其中：这里（1）第三步：将上上述模型（1）的解X0与相应的目标标值f1(X0),f2(X0),…,fp(X0)交给决策者去去判断。决策策者把这些目目标值与理想想值进行比较较后，如果认认为其中某些些目标值太坏坏，另一些目目标值可以不不要那么太好好，可以把比比较好的目标标值中的某一一个修改得差差一些，以使使水平太坏的的目标得到改改善。当决策者减少少了第j个目标的值之之后后，约束条件件S应该改改为S*在进行行下一一次迭迭代时时，对对应于于降低低了要要求的的那些些目标标fj(j=1,2,…,k)的权系系数πi应该设设为0。这这种迭迭代继继续下下去，，直到到决策策者满满意为为止。。例题：：某公司司考虑虑生产产两种种光电电太阳阳能电电池：：产品品甲和和产品品乙。。这种种生产产过程程会在在空气气中引引起放放射性性污染染。因因此，，公司司经理理有两两个目目标：：极大大化利利润与与极小小化总总的放放射性性污染染。已已知在在一个个生产产周期期内，，每单单位甲甲产品品的收收益是是1元元，每每单位位乙产产品的的收益益是3元。。而放放射性性污染染的数数量，，每单单位甲甲产品品是1.5个单单位,每单单位乙乙产品品是1个单单位.由于于机器器能力力(小小时)、装装配能能力（（人时时）和和可用用的原原材料料（单单位））的限限制，，约束束条件件是目标有有两个个:一一是利利润最最大,二是是污染染最小小.该该问题题的多多目标标规划划模型型如下下:解:首首先,分别别求解解两个个单目目标问问题的的最优优解,由它它们得得到的的目标标函数数值组组成理理想解解.由此,构造造支付付表由此计计算两两个目目标与与理想想值偏偏离的的权重重解下列列线性性规划划问题题:由此求求得,分析者者把计计算结结果交交给决决策者者,决决策者者将目目标值值与理理想值值(21.192,-7.064)与与理想想值(46,0)比比较,如果果认为为f2是满意意的,但利利润太太低,并认认为污污染可可接受受到10个个单位位.于于是,约束束集修修改成成进行下下一轮轮迭代代.首首先设设π2=0,并计算算得π1=1.将模型型修改改为由此求求得:决策者者把这这一结结果与与前一一轮的的解及及理想想值作作比较较,认认为两两个目目标值值都比比较满满意,则迭迭代结结束.目标规规划模模型线性规规划问问题都都是处处理单单个目目标的的情况况，但但是在在现实实世界界中有有许多多问题题具有有多个个目标标，这这些目目标的的重要要性各各不相相同，，往往往有不不同的的量纲纲，有有的目目标相相互依依赖，，例如如决策策者既既希望望实现现利润润最大大，又又希望望实现现产值值最大大；有有的相相互抵抵触，，如决决策者者既希希望充充分利利用资资源，，又不不希望望超越越资源源限量量。而而决策策者希希望在在某些些限制制条件件下，，依次次实现现这些些目标标。这这就是是目标标规划划所要要解决决的问问题。。当所所有的的目标标函数数和约约束条条件都都是线线性时时，我我们称称其为为线性性目标标规划划问题题。在在这里里我们们主要要讨论论线性性目标标规划划问题题。一、目标规规划模型的的建立引例1：对于生产计划问题：

甲乙资源限额材料2324工时3226单位利润43

现在工厂领领导要考虑虑市场等一一系列其他他因素，提提出如下目目标：（1）根据据市场信息息，甲产品品的销量有有下降的趋趋势，而乙乙产品的销销量有上升升的趋势，，故考虑乙乙产品的产产量应大于于甲产品的的产量。（2）尽可可能充分利利用工时，，不希望加加班。（3）应尽尽可能达到到并超过计计划利润30元。现在的问题题是：在原原材料不能能超计划使使用的前提提下，如何何安排生产产才能使上上述目标依依次实现？？解：（1）决策策变量：：仍设每每天生产产甲、乙乙两种产产品各为为x1和x2偏差变量量：对于于每一目目标，我我们引进进正、负负偏差变变量。如对于目目标1，，设d1-表示乙产产品的产产量低于于甲产品品产量的的数，d1+表示乙产产品的产产量高于于甲产品品产量的的数。称称它们分分别为产产量比较较的负偏偏差变量量和正偏偏差变量量。则对对于目标标1，可可将它表表示为等等式约束束的形式式-x1+x2+d1--d1+=0(目标约束束)同样设d2-和d2+分别表示示安排生生产时，，低于可可利用工工时和高高于可利利用工时时，即加加班工时时的偏差差变量，，则对目目标2，，有3x1+2x2+d2--d2+=26对于目标标3，设设d3-和d3+分别表示示安排生生产时，，低于计计划利润润30元元和高于于计划利利润30元的偏偏差变量量，有：：4x1+3x2+d3--d3+=30（2）约束条件件：有资资源约束束和目标标约束资源约束束：2x1+3x2≤24目标约束束：为上上述各目目标中得得出的约约束（3）目目标函数数：三个个目标依依次为：：minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-因而该问题的数学模型可表述如下：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30案例2（（提级加加新问题题）某公司的的员工工工资有四四级，根根据公司司的业务务发展情情况，准准备招收收部分新新员工，，并将部部分员工工的工资资提升一一级。该该公司的的员工工工资及提提级前后后的编制制表如下下，其中中提级后后编制是是计划编编制，允允许有变变化，其其中1级级员工中中有8%要退休休。公司司领导的的目标如如下：（1）提提级后在在职员工工的工资资总额不不超过550千千元；（2）各各级员工工不要超超过定编编人数；；（3）为为调动积积极性，，各级员员工的升升级面不不少于现现有人数数的18%；（4）总总提级面面不大于于20%，但尽尽可能多多提；（5）4级不足足编制人人数可录录用新工工人。问：应如如何拟定定一具满满意的方方案，才才能接近近上述目目标？解：（1）决策策变量：：设x1,x2,x3,x4分别表示示提升到到1，2，3级级和新录录用的员员工数。。偏差变量量：为各各目标的的正、负负偏差变变量。（2）约约束条件件：1）提级后在在职员工工的工资资总额不不超过550千千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=5502）各级员工工不要超超过定编编人数1级有：：10-108%+x1+d2--d2+=102级有：20-x1+x2+d3--d3+=223级有：40-x2+x3+d4--d4+=524级有：30-x3+x4+d5--d5+=303）各级员工的升升级面不少于于现有人数的的18%对2级有：x1+d6--d6+=2018%对3级有：x2+d7--d7+=4018%对4级有：x3+d8--d8+=3018%4）总提级面人数数不大于20%，但尽可可能多提x1+x2+x3+d9--d9+=10020%（3）目标函函数：minZ1=d1+minZ2=d2++d3++d4++d5+minZ3=d6-+d7-+d8-minZ4=d9++d9-案例3有三个产地向向四个销地供供应物资。产产地Ai(i=1,2,3)的供应量ai、销地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间间的单位物资资运费Cij如表2所示。。表中，ai和bj的单位为吨，，Cij的单位为元/吨。编制调调运方案时要要求按照相应应的优先级依依次考虑下列列七个目标：：P1：B4是重点保证证单位，其其需要量应应尽可能全全部满足；；P2：A3向B1提供的物资资不少于100吨；；P3：每个销地得得到的物资资数量不少少于其需要要量的80%；P4：实际的总运运费不超过过当不考虑虑P1至P6各目标时的的最小总运运费的110%，这这里的最小小总费用利利用第三大大题中第2小题求出出的结果；；P5：因路况原因因，尽量避避免安排A2的物资运往往B4；P6：对B1和B3的供应率要要尽可能相相同；P7：力求使总运运费最省。。试建立该问问题的运筹筹学模型。。解：用表上上作业法可可求得不考考虑P1至P6各目目标标时时的的最最小小运运费费调调运运方方案案，，相相应应的的最最小小运运费费为为2950元元（1））决决策策变变量量：：设设Ai运往往Bj的物物资资为为xij吨（2））约约束束条条件件：：产量量约约束束B4销量量要要满满足足销量量80%的的限限制制供应应率率尽尽可可能能相相同同二、、目目标标规规划划的的解解法法由于于目目标标规规划划有有多多个个目目标标，，各各个个目目标标又又有有相相对对不不同同的的重重要要性性，，求求解解时时是是首首先先满满足足重重要要性性权权数数大大的的目目标标，，再再满满足足重重要要性性权权数数次次大大的的目目标标，，所所以以并并不不能能保保证证所所有有的的目目标标都都能能达达到到，，所所求求的的解解也也不不一一定定是是最最优优解解，，而而只只能能求求出出满满意意解解。。（3））目目标标函函数数求解解目目标标规规划划的的仍仍用用单单纯纯形形法法，，但但是是与与线线性性规规划划的的单单纯纯形形法法不不同同的的是是，，此此时时检检验验数数行行不不再再是是一一行行，，而而是是变变化化为为一一个个检检验验数数矩矩阵阵。。

例4

用单纯形法求解如下线性目标规划模型

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24加入松驰变量化为标准形

2x1+3x2+x3=24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30解（1）取x3，d1-，d2-，d3-为基变量量，建立立初始单单纯形表表-1-2-1123-13402630Z1Z2Z3000-100-100-10000010010010010003[1]232-1342402630x3d1-d2-d3-d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB迭代的步步骤完全全与线性性规划的的单纯形形法一样样。（2）满满意解的的判定：：检验数数矩阵的的每一列列从上至至下第一一个非零零元为负负数，则则解为满满意解。。迭代的的最优表表如下：：-2-1-1-11-1020Z1Z2Z3100000-106/5-2/5-13/5-10000010-6/52/51-3/57/51/5-11/50100000118/524/5224/5d3+x2d2-x1d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB因而满意意解为：：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5其中第一一、三目目标已达达到最优优，第二二个目标标未达最最优。目标利润润Z=4x1+3x2=168/541层次分析析法一、层次次分析法法的基本本原理层次分析析法，又又称AHP(AnalyticHirrarchyProcess)方法，是是美国运运筹学家家萨蒂(T.Saaty)提出的一一种多目目标、多多准则的的决策分分析方法法。该方方法被广广泛应用用于工程程、经济济、军事事、政治治、外交交等领域域，解决决了诸如如系统评评价、资资源分配配、价格格预测、、项目选选择等许许多重要要问题，，是一种种定量分分析与定定性分析析相结合合的有效效方法。。用层次次分析法法作决策策分析，，首先要要把问题题层次化化。根据据问题的的性质和和要达到到的总目目标，将将问题分分解为不不同的组组成因素素，并按按照因素素间的相相互影响响以及隶隶属关系系按不同同层次聚聚集组合合，形成成一个多多层次的的分析结结构模型型。最终终把系统统分析归归结为最最低层（（如决策策方案））相对于于最高层层（总目目标）的的相对重重要性权权值的确确定或相相对优劣劣次序的的排序问问题，从从而为决决策方案案的选择择提供依依据。层次分析析法大体体分为六六个步骤骤1）明确确问题：：为了运运用AHP进行系统统分析，，首先要要对问题题有明确确的认识识，弄清清问题范范围、所所包含的的因素及及其相互互关系、、解决问问题的目目的、是是否具有有AHP所描述的的特征。。2）建立立层次结结构模型型：将问问题中所所包含的的因素划划分为不不同层次次。例如如，对于于决策问问题，通通常可以以划分为为下面几几个层次次：最高层：：表示解解决问题题的目的的，称为为目标层层。中间层：：表示采采取某种种措施或或政策实实现预定定目标的的涉及的的中间环环节，一一般又分分为策略略层、准准则层等等。最低层：：表示解解决问题题的措施施或方案案，称为为措施层层或方案案层。如如下图所所示。决策目标标准则1准则1准则m子准则1子准则2子准则k方案1方案2方案n目标层准则层子准则层层方案层………………3）构造造判断矩矩阵针对上一一层某元元素，对对每一层层次各个个元素的的相对重重要性进进行两两两比较，，并给出出判断。。这些判判断用数数值表示示出来，，写成矩矩阵形式式，即所所谓的判判断矩阵阵。其中bij表示对于于Ak而言，Bi对Bj的相对重重要性，，通常bij取1,2,…,9及它它们的倒倒数，其其含义为为：它们之之间的的数2，4，6，8及各各数的的倒数数有相相应的的类似似意义义。显显然，，对判判断矩矩阵有有因此，，对于于n阶判断断矩阵阵，我我们仅仅需对对n(n-1)/2个元素素给出出数值值。4）层层次单单排序序及其其一致致性检检验所谓层层次单单排序序，即即把同同一层层次相相应元元素对对于上上一层层次某某元素素相对对重要要性的的排序序权值值求出出来。。其方方法是是计算算判断矩阵阵A的满足足等式式的的最大大特征征值和和对应的的特征征向量量W，这个特特征向向量就就是单单排序序权值值。可以证证明，，对于于n阶判断断矩阵阵，其其最大大特征征根为为单根，且且，，所所对对应的的特征征向量量均由由正数数组成成。特特别地地，当当判断断矩阵阵具有有完全全一致致性时时，有有，这里里，所所谓完完全一一致性性是指指对于于判断断矩阵阵来说说，存存在为检验验判断断矩阵阵的一一致性性，需需要计计算一一致性性指标标此外，，还需需要判判断矩矩阵的的平均均随机机一致致性指指标RI。。对于1至9阶矩矩阵，，RI的值如如下表表。在这里里，对对于1,2阶判判断矩矩阵，，RI只是形形式上上的，，因为为1，，2阶阶判断断矩阵阵总具具有完完全一一致性性，当当阶数数大于于2时时，判判断矩矩阵的的一致致性指指标CI与同阶阶平均均随机机一致致性指指标RI之比称称谓随随机一一致性性比率率，记记为CR，，CR=CI/RI<0.10时，即即认为为判断断矩阵阵具有有满意意的一一致性性，否否则就就需要要调整整判断断矩阵阵，使使其具具有满满意的的一致致性。。5）层层次总总排序序计算同同一层层次所所有元元素对对于最最高层层相对对重要要性的的排序序权值值，称称为层层次总总排序序。这这一过过程是是最高高层次次到最最低层层次逐逐层进进行的的。若若上一一层次次A包含m个元素A1,A2,…,Am，其层次总排排序权值分分别为a1,a2,…,am，下一层次B包含n个元素B1,B2,…Bn，它们对于元元素Aj的层次单排排序权值分分别为b1j,b2j,…,bnj（当Bk与Aj无关系时,bkj=0），此时，层次次总排序权权值为6）层次总总排序的一一致性检验验。这一步也是是从高到低低逐层进行行的。如果果B层次某些元元素对于Aj单排序的一一致性指标标为CIj，相应的平均均随机一致致性指标为为RIj，则B层次总排序序随机一致致性比率为为类似地，当当CR<0.10时，认为层层次总排序序结果具有有满意的一一致性，否否则需要重重新调整判判断矩阵的的元素取值值。10.5层层次分析析法的计算算问题层次分析法法计算的根根本问题是是如何计算算判断矩阵阵的最大特征根根其对应的的特征向量量.一般来说说,计算判判断矩阵最最大特征根根及其对应应特征向量量,并不需需要追求较较高的精确确定度.这这是因为判判断矩阵本本身相当的的误差范围围.应用层层次分析法法给出的层层次中各种种元素优先先排序权值值从本质上上来说是表表达某种定定性的概念念.因此,从实用性来看,往往希希望使用较为为简单的近似似算法.下面面介绍二种称称之为方根法法和和积法的的近似算法.1、方根法的的步骤如下:(1)计算判判断矩阵B每一行元素的的乘积Mi.(2)计算Mi的n次方根Vi(3)对向量量V=(V1,V2,…,Vn)T规一化,即则W=(W1,W2,…,Wn)T.即为所求的特特征向量(4)计算判判断矩阵的最最大特征根式中(BW)i表示向量BW的第i个分量.容易证明：当正互反矩阵阵为为一致性性矩阵时，方方根法可得到到精确的最大大特征值与相相应的特征向向量。证明：设为为一致性性矩阵，为为其其最大特征值值，为相应的特征征向量，且是是归一化的。。由于令显然，归一化化后，于于是用公公式求得的最大特特征值为n例题6某厂准备购买买一台计算机机,希望功能能强,价格低低,维护容易易.现有A,B,C三种机型可供供选择.其中中A的性能较好,价格一般,维护需要一一般水平;B的性能最好,价格较贵,维护也只需需一般水平;C的性能差,但但价格便宜,容易维护.首先构成分分析层次,如如图购置一台满意意的计算机功能强价格低易维护CBA对于三个准则则(S1,S2,S3)关于目标G的优先顺序,根据讨论,该厂在计算算机应用上首首先要求功能能强,其次要要求易维护,再次才是价价格低.其判判断矩阵如下下表用方方根根法法计计算算这这三三个个准准