2025年七年级数学下册重点突破训练：相交线平行线类型题举例99题（人教版）学生版

第05章重点突破训练：相交线平行线类型题举例

考点1：相交线所成的角

考点2:补全证明过程

考点3:在生活中应用平行线性质和判定

第05章重点突破训练：

考点4:平行线中的折点问题

相交线平行线类型题举例

考点5:图形平移性质的应用

考点6:与平行线、交线有关的作图问题

考点7：平行线性质与判定的综合问题

典例体系（本专题99题123页）

考点1：相交线所成的角

典例：（2022春・湖北荆州•七年级统考期末）如图，直线48,。相交于点O,O北平分站。£>.

（1）若团BOQ=30。，求团EOC的度数；

（2）若回BOQ0I2EOC=1团3,求助00的度数；

⑶在（2）的条件下，画射线OR若同COF=90。，请直接写出皿3。尸的度数.

方法或规律点拨

本题考查了与角平分线有关的计算、邻补角、平角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键.

巩固练习

1.（2022秋•河北邢台•七年级统考期末）如图，直线A8,C。相交于点0,射线0M平分财0C,若团80。

=80。，则团等于（）

C

M

AOB

D

A.40uB.80°C.100"D.140"

2.（2022春•七年级单元测试）如图,直线A8、CD.E/相交于点。，且A8_LCZ）,。8平分NEOG,若

ZFOD=30°,则如G的度数为（)

A.90°B.60°C.30°D.无法确定

3.（2022秋•湖南湘西•七年级统考期末）如图，直线a,b相交于点O.如果N1+N2=7O。，那么N3是

4.（2022春•江苏•七年级专题练工）如图，直线AB与CO相交于点O,Z4OE=90°.

D

（1）如果NAOC=20°,求/COE和N30Q的度数；

（2）如果NCOE=2N8。/）,求/BOC的度数.

5.（2022秋•重庆•七年级校联考阶段练习）如图，直线A8,CD相交于点O,OD平分NBOE,OF平分NAOE.

⑴判断可与。。的位置关系，并进行证明.

⑵若4。。:4。。=1:5,求/田产的度数.

6.（2021春•湖北荆州•七年级统考期末）如图，O是直线A3上一点，0。平分N4OC.

⑴若4OC=50。，请求出40。的度数；

⑵若4。力和/。。石互余，且NAO£>=g/AOE,请求出N3O。的度数.

7.（2022・全国•七年级专题练习）如图，直线48、CO相交于点。，OE平分（3B。。，。/平分（3CO£

⑴若MOC=76。，求贴O/；的度数：

（2）若€80/=36°,求M0C的度数；

8.（2022春・广东湛江•九年级校考期中）如图，已知O为直线AC上一点，过点0向直线AC上引三条射线

c

E

B

372

D

(1)求(32、团3的度数；

(2)说明0〃平分财0。的理由.

12.(2022秋•湖北孝感•七年级统考期中)如图，直线A8与C。相交于点0,OMA.AB.

(1)若N1=N2,判断QV与C£)的位置关系，并证明；

(2)若求/力OD的度数.

4

13.(2022春•陕西安康•七年级统考期末)如图，点。在直线AB上，NAOC与“8互补，。£平分/4OC.

(1)若N8OC=40°,则/OOE的度数为:

(2)若N£)OE=15。，求N8QD的度数.

14.(2022春•七年级课时练习)如图1,点。为直线A8上一点，过点0作射线OC,使NAOC'=60。.将一

直角三角板的直角顶点放在点。处，一边。W在射线08上，另一边QV在直线A8的下方.

⑴将图1中的三角板绕点。处逆时针旋转至图2,使一边在/80C的内部.且恰好平分N80C,求

NCON的度数；

⑵在图3中，延长线段NO得到射线0。，判断0D是否平分NAOC,请说明理由.

⑶将图1中的三角板绕点。按每秒10。的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第，秒时，直线可

恰好平分锐角/AOC,则f的值为.（直接写出答案）

15.（2022秋•浙江台州•七年级校联考阶段练习）如图，直线CD,E尸相交于点O,射线OA在0C。产的内部，

图1图2图3备用图

⑴如图1,若财OC=120。，求回EOC的度数：

（2）如图2,若HAOC=a（60°"＜180°）,将射线OA绕点。逆时针旋转60。,到03,

①求回EO8的度数（用含a的式子表示）；

②观察①中的结果，直接写出蜘OC,（3E0B之间的数量关系.

（3）如图3,0。＜财。。＜120。，将更•线。4绕点。顺时针旋转60。，到。8,请直接写出（MOC,（3E0B之间的

数量关系.

考点2：补全证明过程

典例：（2022春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）完成下面推理过程.

在括号内、横线上填空或填上推理依据.

如图，已知：AB//EF,EPtEQ,NEQC+ZAPE=90。,求证：AB//CD.

0Z4PE=()

©EPlEQ(已知)

国NPEQ=()

即NQEF+NPEF=90。

^ZQEF+ZAPE=900

0ZEeC+ZAPE=9O°(已知)

^ZEQC-()

(3E/〃()

^AB//CD().

方法或规律点拨

本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

巩固练习

1.(2022春•吉林长春・七年级期末)如图，直线A3〃8,Zl-70°,4-110。，求上笈的度数.

阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式).

解：^AB//CD(已知)，

0Z1=()().

又1/1=70。,ZD=ll(r(已知)，

0Z1+ZD=18O°(等式的性质).

0ZC+ZD=180°().

回()//()().

□Zfi=()().

团4=700.

2.（2022春・吉林长春•七年级吉林大学附属中学期末）根据题意，完成推理填空：如图，AB//CD,N1=N2,

解：回N1=N2（已知）

团（内错角相等，两直线平行）

0ZBAD+Z^=18O°（两直线平行，同旁内角互补）

^AB//CD（已知）

团+=180°,（）

回4=NO（等量代换）

3.（2022春•八年级单元测试）（1）完成下面的推理说明：

已知：如图，BE//CF,BE、C/分别平分/ABC和NBCO.

求证：AB//CD.

证明：•.•BE、CV分别平分NA8C和N8CD（已知），

.-.Zl=-Z,Z2=-Z（）.

2------2--------------

-BE//CF（）,

.\Z1=Z2（）.

:.-Z.ABC=-ZBCD（）.

22------

:.ZABC=ZBCD（等式的性质）.

/.AB//CD（）.

（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题.

4.（2022春•福建福州•七年级校考期末）如图，8。平分尸在44上，G在AC上，尸。与相交

于点〃，Z3iN4=18O。，试说明N]=N2.（请通过填空完善下列推理过程）

A

回N3+=180°(等量代换).

^FG//I3D()

□Zl=().

团BD平分NA8C,

因乙/。=(),

0ZI=Z2()

5.(2021春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中)证明：^DGIBC,AC1BC(已

知)

0ZZX7B=ZACB=9O°（垂直定义）

^DG//AC（同位角相等，两直线平行）

团Z2=（）

□ZI=Z2（已知）

0Z1=ZACD（）

^EF//CD（同位角相等，两直线平行）

^ZAEF=ZADC（）

^FELAB（已知）

团乙止尸=90"(垂直定义)

6.（2022秋•山东济南•七年级统考期末）如图，EF//AD,Z1=Z2,N8AC=70°,求N4G。的度数.

回N2=().

又HN1=N2,

团Z1=N3().

(3A8P().

(34AC+=180°().

0ZMC=7O°,

0ZAGD=.

7.（2022秋•北京•七年级校考阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，AB,。。代表镜子摆放的

位置，并且A8与平行，光线经过镜子反射时，满足N1=N2,N3=/4.证明离开潜望镜的光线MN平

行干进入潜望镜的光线所.

A

E

—i53B

N

D

请补全下述证明过程:

^AB//CD,

回N2=().

0Zl=Z2,/3=/4,

0Z1=Z2=Z3=Z4.

0Z1+Z2+Z5=18O°,Z3+Z4+=180。，

0Z5=.

eMN〃EF().

8.(2022秋•北京•七年级北京市第一六一中学校考期末)推理填空：如图，直线AB,CD被直线£尸所截，AD

是/CAB的角平分线，若N3=N1,Z2=50°,求明的度数.

解：团直线A8与直线£户相交，

团Z2=NC4B=50。.()

团AD是/C48的角平分线，

0Z1=Z5=-^CAB=25°,()

2

0Z3=ZI,(已知)

023=25°,(等量代换)

(3Z3=Z5,(等量代换)

^CD//AB,()

9.(2022秋•湖南邵阳•七年级校考期中)已知，如图，A8〃CD/比尸二180。,8。平分乙48。,比平分

请将卜.列证明过程中的空格补充完整.

证明：^AB//CD,

团ZA8C=NDCT\()

08D平分443CCE平分NDCF,

0Z2=iZA5GZ4=Z.DCF.()

22

0.

⑦BD〃CE.()

0Z4CE=.(两直线平行，内错角相等)

0Z4CE=9O°,

0Z«GC=9(r,upAC±BD.(J

10.(2022秋•陕西渭南•七年级统考阶段练习)完成下面的证明：如图，点8在AG上，AG//CD,连接8C,

C尸平分N8CO,ZABE=NFCB,BEJ.AF于点、E.

求证：ZF=90°.

证明：^AG//CD,

©ZABC=NBCD().

^ZABE=ZFCB,

0ZABC-ZABE=ZBCD-ZFCB,BPZEBC=ZFCD.

回ZFC8=().

6ZEBC=/FCB,

⑦BE〃CF()

0=NF().

^BE±AF,

©/BEF=°().

0ZF=9O°.

11.(2022春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习)填空并在括号内加注理由.

已知：如图，DGA.BC,AC1BC,FELAB,ZAFE=4CDG,求证：CD1AB.

证明：团。G_L8C,AC1BC（已知）

^ZDGB=ZACB=9^()

团DG〃AC()

0ZCZX；=()

0Z4FE=ZCDG(已知)

^ZAFE-ZACD()

^EF//CD(同位角相等，两直线平行)

0Z4£,F=()

^FELAB(已知)

团N4Er=90°

(UZ4DC=90o

圆CD_LA8()

考点3：在生活中应用平行线性质和判定

典例：（2022秋•广东深圳•七年级校考期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉

动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是立行的，即AB/C7）,各活动小组探索/4尸。

与/C之间数量关系时，有如下发现，

图①图②图③图④

⑴在图②所示的图形中，若44=30。,ZD=35°,则ZA尸。=

⑵在图⑧中，若NA=150。，ZAPD=60°,则ND=

⑶有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中请判断Na,4,Ny之间

的关系，并说明理由.

方法或规律点拨

本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

巩固练习

1.（2022秋・河北石家庄•七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45。角的三角

尺ADE固定不动，将含30。角的三角尺48c绕顶点A顺时针转动180。，在旋转的过程中，当三角尺A8c的

边BC与三角尺ADE的边平行时，求团BAD.”嘉嘉的结果是团班。为60。或105。；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周

全，团84）还有另一个不同的值.”下列判断正确的是（）

A.淇洪说的对，且团B4。的另一人值为15。

B.嘉嘉的结果完全正确

C.嘉嘉求的结果不对，回84。为30。或105。

D.两人都不对，回84。应5有个不同的值

2.（2022秋•贵州安顺•七年级统考期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角蜘=110。，第二次

的拐角m8=140。，第三次的拐角为（3C,第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，贝IJ（3C的度数

3.（2022秋•广东深圳•七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学

问题，如图所示，已知AB//CD,/BAE=77。，NQCE=131。，则NE的度数是（）

A

'B

'D

A.28°B.54°C.26°D.56°

4.（2022秋•河南商丘•七年级统考期末）在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式上，我国自主研制的

“DF-17导弹”首次登场，震撼全球.如图是“DF—17导弹”上的一个零件的平面图，已知48团FE0DC,八用EDMC,

团8=65°,则4+NO等于（）

A.130°B.120°C.115°D.90°

5.（2022春・广东深圳•八年级校考期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会

发生折射.如图，水面A8与水杯下沿CO平行，光线M从水中射向空气时发生折射，光线变成"7,点G

在射线M上，己知/印记=20。，NFED=45。,则NGF"的度数为.

6.（2022秋•北京•七年级校考阶段练习）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E,。，B,厂在同

一条直线上.若ND3c=54。，则/AQE的度数是.

7.（2022春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点。的灯发出

光照射到凹面镜上反射出的光线刚，C。都是水平线，若乙钻。=20。，N8OC=80。，则N0CO的度数为

8.（2022春•北京海淀•八年级北京巾十一学校校考期中）如图，平面中两条直线乙和相交于点。，对于平

面上任意一点M,若点M到直线L、4的距离分别是〃cm、“cm,则称有序实数对（p,q）是点M的"距离

坐标特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0.下列说法：

①”距离坐标”是（0,0）的点只有点O；

②“距离坐标〃是（0,1）的点只有1个;

③"距离坐标"是（2,2）的点共有4个;

9.（2022秋・山东济南•六年级校考期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60。的方

向到B村，从B村沿北偏西30°方向至ljC村.若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则回OCB

的度数为°

10.（2022秋•陕西西安•七年级校考阶段练习）如图，将木条b与c钉在一起，Zl=80°,Z2=50°,要

使木条。与人平行，木条。按图所示方向旋转的度数至少是

11.（2022秋•浙江温州•七年级统考期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于48,EF

与上拉杆CF形成的时=140。，主柱4。垂直于地面，通过调整CF和后拉杆8C的位置来调整篮筐的高度.当

团CD8=35。时，点”，D,8在同一直线上,则回H的度数是一.

12.（2022秋•山东泰安•六年级统考期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示,

8A垂直于地面4E于A,当C。平行于地面AE时，则NA8C+N8C£>=

图1

13.（2022秋•福建三明•七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、

QP上分别放置48两盏激光灯，如图所示，4灯发出的光束自4M逆时针旋转至AN便立即回转，8灯发

出的光束自8P逆时针旋转至8Q使W即回转，两灯不间断照射，4灯每秒转动30。，8灯每秒转动10。，B

灯先转动4秒，4灯才开始转动，当8灯光束第一次到达8Q之前，两灯的光束互相平行时4灯旋转的时间

是秒.

P'

A

MN

QB

M'

14.（2022秋•山东东营•六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被

反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图1,一束光线m射到平面镜Q上，被Q反射后的光线为"，则

入射光线m、反射光线〃与平面镜Q所夹的锐角N1=N2.

⑴利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB,C。是平行放置的两面平面镜.已

知光线经过平面镜反射时，有N1=N2.N3=N4.请解释进入潜空镜的光线m为什么和离开潜型镜的光线

是平行的？（请把证明过程补充完整）

理由：^AB//CD（已知），

HZ2=Z3（0）,

0ZI=Z2,Z3=Z4（已知），

团NI=N2=N3=N4（②）,

□180°-Zl-Z2=180°-Z3-Z4,RP：Z5=Z6,

^m//n（③）

⑵显然，改变两面平面镜人8、C。之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线〃之间的位

置关系会随之改变，如图3,一束光线m射到平面镜48上，被48反射到平面镜C。上，又被C。反射.若

被CD反射出的光线〃和光线m平行，且Nl=48。，则团6=。，M8C=。.

⑶请你猜想：图3中，当两平面镜48、CD的夹角M8C=。时，可以使任何入射光线m经过平面镜48、

8的两次反射后，与反射光线。平行、请说明理由.

15.(2022秋•浙江台州•七年级校联考期中)如图1,MN、EF是两面互相平行的镜面，根据镜面反射规律,

若一束光线八8照射到镜面上，产生反射光线8C,则一定有团1=回2.试根据这一规律：

E777777777777777777777p

图1

⑴利用直尺和量角器作出光线8c经镜面£F反射后的反射光线GH：

⑵在(1)的作图背景下，试判断48与的位置关系，并说明理由.

⑶如图2,若回1=30。，有一镜面PQ,从P/V开始绕着点P以3。分的速度顺时针转动£(0°<^<180°),当

转动多少秒时，光线照射到镜面PQ上，产生的反射光线与镜面MN平行？

(4)如图3,若例1=30。，@NPQ=0(0°</?<180°),光线经镜面"反射后照射到镜面PQ上，产生的反射

光线与入射光线的夹角为夕，请直接写出。与4之间的关系：.

16.(2022春・全国•八年级专题练习)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹

角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中,

图1图2图3图4

⑴如图2,已知镜子M。与镜子O/V的夹角(3MON=90。，请判断入射光线48与反射光线C。的位置关系,

并说明理由;

⑵如图3,有一口井，已知入射光线4。与水平线OC的夹角为50。，当平面镜M/V与水平线OC的夹角

为°，能使反射光线。8正好垂直照射到井底；

⑶如图4,直线EF上有两点4C,分别引两条射线48、CD.回8AF=120。，回DCF=40。，射线A8、C。分别

绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线48转动一周的时间内，

是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t.

考点4：平行线中的折点问题

典例：(2022秋•江西赣州•七年级统考期中)根据卜.列叙述填依据.

⑴已知如图1,AB//CD,求（38+l38FD+[3D的度数.

图1

解：过点F作此〃A8

所以团8+08FE=180°（）

因为AB〃CO、FE//AB（已知）

所以（）

所以由D+团DFE=180°（）

所以团8+回8FE+12D=团8+®8FE+国EF。+30=360°

⑵根据以上解答进行探索.如图（2）（3）AB//EF.团。与（38、胪有何数量关系（请选其中一个简要证明）

备用图：

⑶如图（4）48〃EF,0C=9O°,回。与回夕、回/有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）

方法或规律点拨

本题考奁根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理

推论的运用是解题的关键.

巩固练习

1.（2022秋•重庆云阳•七年级校考阶段练习）如图，已知A4〃O£,NB=20。,ZD=130°,那么“C。等

于（）

B.70°C.80°D.90°

2.（2022春•四川雅安•八年级统考期末）如图，AB//EF,ZBCD=9O°,探索图中角a,6,y之间的关系

C.a+y=PD.<z+/?+y=18O°

3.（2022春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，AB//CD//EF,则下列各式

中正确的是（）

A.Zl+Z2+Z3=180°B.Zl+Z2=180°+Z3

C.Zl+Z3=180o+Z2D.Z2+Z3=18OC+Z1

4.（2022秋•浙江杭州•七年级校考阶段练习）如图，设Nl=（3〃?+40）。，N4=7〃z。，正确的选项是（）

A.若N2=/3,则N2=(3〃L10)。

B.若N1=N4,则N3=(〃z+3O)。

C.若N1=2N2=2N3,贝iJN2=(3〃?)。

D.若N1=N2=N3,则N2=(5〃z+20)。

5.（2022春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知

AB//CD,ZPAQ=2ZBAQyNPCD=3NQCD,ZP=75°,则4QC二

6.（2022秋•重庆铜梁•七年级校考期中）如图,已知且团C=110。，则团1与国2的数审关系为

E

7.（2022秋•甘肃武威•七年级校考期末）如图，若AB//CD,则Na=130。,"=70。，则々=

8.12022春•八年级课时练习）已知：如图，ZB+ZC+ZD=360°,求证：AB//DE.

9.12022春•八年级课时练习）己知：如图，A8〃C£＞求证：ZA+ZC=ZAPC.

10.（2022秋•贵州毕节•七年级校考期中）已知：如图，AB//EF.AB//CD,ZF=128\NC=65°，求/尸8c

的度数.

11.（2022秋•重庆铜梁•七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化〃功能.

面推理过程.

解：过点4作EO〃AC,

ZB=，ZC，

•••NE48+ZBAC+NDAC=180°,

NB+NB4C+NC=180。.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将N8AC、/B、/C“凑〃在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

⑵方法运用：如图2,已知八4〃月。，求NB+NBCQ+NO的度数：

⑶深化拓展：已知A8〃CO,点C在点。的右侧，ZADC=5O°：BE平分/ABC,DE平分/ADC,BE,

OE所在的直线交于点E,点E在直线A/3与。。之间.

①如图3,点8在点A的左侧，若44C=36。，求N3ED的度数.

②如图4,点8在点4的右侧，且A5<CO,AD<BC.若NABC=〃。，求N8EO度数.（用含〃的代数式

表示）

12.（2022秋•山东德州•七年级校考期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解

决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，

今天老师介绍了一个“美味〃的模型一“猪蹄模型即

已知；如图1,AB//CD,E为AB、8之间一点，连接同£,CE得至IJ/AEC.

求证：Z4£C=ZA+ZC,

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点E作）〃A8,

团N1=NB,

团AB〃CO,EF//AB,

^EF//CD

0Z2=ZC,

0ZA£C=Z1+Z2,

（3Z4EC=ZA+ZC,

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

⑴如图2,若A8〃CO,ZE=60°,求N8+NC+N/的度数；

（2）灵活应用：如图3,一条河流的两岸A8〃CO当小船行驶到河中E点时，与两岸码头8、。所形成的夹角

为64。（即NBED=64。），当小船行驶到河中点尸时，恰好满足4环=ZEDF=ZCDF,请你直

接写出此时点F与码头B、D所形成的夹角4BFD=.

考点5：图形平移性质的应用

典例：16.（2022・全国•七年级专题练习）如图，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=4cm,BC=5cm,

AC=3cm,将三角形ABC沿8C方向平移acm（a<5）得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G,连接AD.

BECF

（1）阴影部分的周长为cm；

（2）若三角形ADG的面积比三角形EGC的面枳大4.8cm:则。的值为

方法或规律点拨

本题考杳平移的性质，平行四边形的面枳，三角形的面积.掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出

辅助线是解决（2）的关键.

巩固练习

1.（2022秋•辽宁丹东•八年级校考期末）如图，将“8C沿BC方向平移3cm得到若的周长

为24cm,则四边形48FD的周长为（）

A.30cmB.24cmC.27cmD.33cm

2.（2022春•上海静安•七年级上海市市西中学校考期中）如图，将周长为8厘米的沿射线8c方向平

移1厘米得到力EF,那么四边形ABH）的周长为厘米.

3.（2022春・上海宝山,七年级校联考期末）已知线段的长度为9厘米，现将线段人8向左平移5厘米得

到线段C。，点4对应点C,点8对应点。，旦A,B,C,。在同一直线上，那么的长度是____厘米

4.（2022秋・广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺

5.（2022秋・北京海淀•七年级校考阶段练习）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路,

宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是一平方米.

6.（2022春•山东青岛•九年级统考期中）如图，两个直角三角形重替在一起，将其中一个沿点8到点。的方

向平移到ADM的位置，AB=1（）,DH=4,平移距离为6,则阴影部分的面枳为

BECF

7.（2022春嘿龙江哈尔滨,七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，NC=90。，将直角三角形A8c沿着射

线8c.方向平移4cm,得到三角形A7TC,已知AC=2cm,AC=3cm,则阴影部分面积为

8.（2022春•黑龙江大庆•九年级统考期中）如图，直角三角形4BC的周长为2021,在其内部有5个小直角

三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形周长的和为.

9.（2022春•山东青岛•七年级统考期中）将棱长为3cm的正方体毛坯，切去一个棱长为1cm的小正方体，得

到如图所示的零件，则该零件的表面枳是

10.（2022春・吉林长春•九年级校考阶段练习）如图，已知矩形A8CD,A8=18cm,>4D=l（km,在其矩

形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为cm.

DC

11.（2022・全国•七年级专题练习）如图，一楼梯的高度为6.4m,水平宽度为8.6m,现要在楼梯的表面铺一

种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要元.

12.（2022秋•浙江温州•七年级校考期中）如图，在一块长他=26m,宽BC=18m的长方形草地上，修建三

条宽均为3m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为m'

【点睛】本题考查了平移的性质，根据平移的性质求得空白部分的长与宽是解题的关键.

13.（2022秋•湖北随州•七年级校考阶段练习）如图，直角梯形人8CD,AD//BC,AB1BC,8c=8,若将此梯

形向下平移2个单位，且FC=1,则图中阴影部分的面积为

14.（2022秋•浙江温州•七年级校联考阶段练习）如图，将长为5cm,宽为3cm的长方形48。先向右平移

2cm,再向下平移1cm,得到长方形则阴影部分的周长为，

AD

勺\D，

J--------c

B,0

长方形周长的两倍，是解答本题的关键.

15.（2022秋•甘肃陇南•七年级校考期末）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所

爸爸："小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？〃

小刚："我早已用盒尺量好了，每阶高15cm,宽为20cm.

爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？"

小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了.”

你认为小刚的方法可以吗？说明理由.

考点6：与平行线、交线有关的作图问题

典例：（2022秋•浙江金华•七年级统考期末）如图是单位长度为1的网格，^八8c的三个顶点都在格点上，点

M也在格点上.只用无刻度直尺在网格内按要求完成作图并回答问题：

⑴过点M作平行于BC的直线/.

（2）将图中4ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到△AB'C.

①作出平移后的△AB'C；

②点P是三角形48c内任意一点，则平移过程中P点经过的路径长为.

方法或规律点拨

本思考查作图一平移变换，平移的性质，正确找出对应点的位置是解答本题的关键.

巩固练习

1.（2022秋•山东淄博•六年级统考期末）如图，河道1的一侧有A、8两个村庄，现要铺设一条引水管道把

河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（）

B

A

B

A

C.----------

2.（2022春•七年级单元测试）如图，汽车站、码头分别位于A,3两点,直线人和波浪线分别表示公路与河

流.

⑴从汽车站A到码头3怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；

⑵从码头3到公路人怎样走最近？画出最近路线BC,并说明理力.

3.（2022春•江苏•七年级期末）如图，线段48、点C在正方形网格中，所有小正方形的边长都相等.

C

AB

利用画图工具画图：

⑴①画线段AC、BC；

②延长线段A8到点。，使5D=A3；

③画直线CO.

利用画图工具比较大小：

⑵线段CO与线段C8的大小：；

⑶NC8O与乙4的大小.

4.（2022秋•河南信阳•七年级统考期末）按要求画图:

AB

D

⑴作BE//AD交DC于E.

⑵连接AC,作8F〃4C交。C的延长线于F.

⑶作AGI3DC于G.

⑷根据图形I可答问题：

想要知道点A到点。、点C所在直线的距离，应该测图中哪条线段的长度？为什么？

5.(2022春•七年级课时练习)按要求画图：

(1)作B82AD交DC于E.

(2)连接47,作BFMC交。C的延长线于F.

(3)作AG13DC于G.

根据图形回答下列问题：

问题1：请用尺子测量点A、点C之间的距离，测量的结果是cm.(精确到0.1cm.)

问题2：想要知道点八到点。、点C所在直线的距离，应该测图中哪条线段的长度？为什么？

6.(2022秋•北京•七年级校考期中)加图，已知三角形A8Q.4。是的平分线，平移三角形ABC,

使点。移动到点。，点8的对应点是E,点A的对应点是尸.

C

⑴在图中画出平移后的三角形FED;

(2)画出点A到线段BD的垂线段AM:

(3)若ND48=70。，所与AD相交于点H,则NFD4=°,乙DHF=

7.(2022・全国•七年级专题练习)画图并填空：

如图，12x10的方格纸，每个小正方形的边长都为1,的顶点都在方格纸的格点上，将AABC按照某

方向经过一次平移后得到△AB'C,图中标出了点C的对应点C.

(1)请画出△48'C；

(2)连接A4，，BB\则这两条线段的关系是：

(3)利用方格纸，在“iBC中画出AC边上的中线以及AB边.上的高CE；

(4)线段在平移过程中扫过区域的面积为.

8.(2022秋・浙江台州•七年级统考期末)如图，在7x5的方格中，三角形4BC的顶点均在格点上，点D为

格点.

⑴在图中作出线段OE(E点在格上)，使小〃84：

(2)在图中作出线段。F(F点在格上)，使N")E=NA.

9.(2022秋•江苏扬州•七年级校考期中)如图，在方格纸内将△△8c水平向右平移4个单位得到△A5C.

⑴画出AA&C；

⑵利用网格点和直尺画图：画出A8边上的中线CD,请在图中标出点。：

（3）图中aABC的面积是.

10.（2022秋・河北石家庄•七年级校联考期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，

△48C的三个顶点的位置如图所示，现将“80平移，点A平移到点。的位置，B、C点平移后的对应点分

别是E、尸.

⑴画出平移后的△OEP；

⑵连接的、C尸，则这两条线段之间的位置关系是.

考点7：平行线性质与判定的综合问题

典例：（2022秋•湖北宜昌七年级统考期中）已知8C〃OA,08=0046=104°,试回答下列问题:

(1)(2)(3)

⑴如图(1),求证：OB//AC.

⑵如图（2）,若点E,F在8c上，且满足回FOC=MOC,并且OE平分团8OF,试求回EOC的度数.

⑶在图（2）的条件下，若平行移动4C,如图（3）,那么回OCB：回OF8的值是否会发生变化？若变化，试说

明理由；若不变，求出这个比值.

方法或规律点拨

此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本

题的关键.

巩固练习

1.（2022・全国•七年级专题练习）己知A3〃C£>,—WE的平分线与NCDE的平分线相交于点F.

BB

⑴在图1中，求证：

①ZABE+ZCDE+Z£^360°：

②ZABF+NCDF=ZBFD；

⑵如图2,当NABM=g/AB尸，ZCDM=|ZCDF,请你写出NM与一£之间的关系，并加以证明；

⑶当NABM=』//W尸，NCDM，NCDF,且NE=〃。时，请你直接写出47的度数（用含m,〃的式子

nn

表示）

2.12022秋•北京•七年级北京市第一六一中学校考期末）如图1,已知直线石尸与直线A3交于点£,直线EF

与直线CO交于点F,平分NAE77交直线于点M,且点G是射线M/）上的一个动

点（不与点M、F重合），七〃平分N/EG交直线CD于点”，过点H作交直线A8于点N,设

4EHN=a,4EGF=0.

⑴求证：AB//CD；

⑵当点G在点F的右侧时，

①依据题意在图1中补全图形；

②若夕=80。，则。=度；

⑶当点G在运动过程中，a和6之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

3.（2022秋・广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题.

已知：如图1,AB//CD,直线石户分别交A3,于点E,F.ZZT所的平分线与N3E的平分线交于点

（2）填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择—题.

①在图1的基础上，分别作N8EG的平分线与/。%的平分线交于点M,得到图2,则NBV加的度数

②如图3,AB//CD,直线E/分别交A8,CD于点E,F.点。在直线A8,C7）之间，且在直线E/右

侧，NBEO的平分线与N0FO的平分线交于点夕，则NEO尸与NEP尸满足的数量关系为.

4.（2022春•陕西汉中•七年级统考期末）解答下列问题

⑴（问题情景）如图1，若ABH3乙4砂=40。，ZPFD=130\过点P作。M〃/W,求NEP/的度数；

（2）（问题迁移）如图2,A8〃C。，点P在的上方，点E,F分别在A8,。。上，连接尸£,PF,过P

点作PN〃AB,问NPEA,4PFC,/砂尸之间有何数量关系？请说明理由；

（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知=NPE4的平分线和NPR?的平分线交于点

G,过点G作G〃〃A8,用含有a的式子表示NEGf的度数.

5.（2022春四川宜宾七年级校考阶段练习）问题情境;

在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数最关系的数学活动，如图，已知射

线AM〃&V,连接,点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC,4。分别平分NABP和4PBN,

分别交射线AM于点CD.

MDPCA

探索发现：

"快乐小组”经过探索后发现：

（1）当N4=60时，求证：ZCBD=ZA.

⑵不断改变NA的度数，NC8。与/A却始终存在某种数量关系，

当ZA=40则NC8O=度，

当乙4=x。时，则NC8D=度，（用含x的代数式表示）

操作探究：

⑶“智慧小组〃利用量角器量出NAP5和24）8的度数后，探究二者之间的数量关系.他们惊奇地发现，当

点P在射线A也上运动时，无论