中学数学思想方法

中学数学思想方法中学数学思想方法PAGEPAGE11中学数学思想方法教学目的：的思想方法；掌握在中学数学教学中培养中学生数学思想方法的方法和手段。教学重点、难点与关键：中学数学思想方法的理解记载中学数学教学中对学生的培养教学方法：讲授、讨论与阅读讲义和中数教材相结合法与教学。教学程序：第一节中学数学思想方法概述数学思想方法一词无论是在数学、数学教育范围内，还是在其他学科中，都已被广为使用。数学基础知识包括数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理等以及它们反映出来的数学思想方法。那样可以明确地给出定义（至少目前不能，而只能给出一种解释或界定。一、浅析数学思想与数学方法方法是一个元概念，它和点、线、面、集合等概念一样，不能逻辑地定义，数学方法数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言；二是提供定量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具。数学思想M.克莱因人们更加注重那些数学大师们的思想贡献，文化价值，因而才称之为数学思想。为方便。二、中学数学中的数学思想方法数学思想方法，从接受的难易程度可分为三个层次：一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。育》一书中认为数学思想方法包括：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想；逻辑学中的方法：分析法、综合法、反正法、归纳法；具体数第二节中学常用的数学思想方法一、字母代表数思想数学教育最重要、最基础的数学思想。19世纪以来，代数学已经发展成为关于等各种形式量的不断拓展，而得到长足的发展。M(x,y,z)”来表示物体所在的空间位置，用“G=f(m)”表示重力与质量的关系，用“=”表示等于，用“∈”表示属于，用“∫”表示积分等。对数学而言，只有广泛使用二、建立模型思想模型是相对原型而言的。原型是指在现实世界中所遇到的客观事物，而模型数学模型为数学建模。数学建模的活动过程主要包括：问题分析：了解问题的实际背景知识，掌握第一手资料。语言来描述。量之间的数量关系，建立其相对应的数学结构。模型求解：对模型进行求解。自觉意识或观点，这实际上就是数学知识的应用意识。三、化归思想想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，通过对新问题的研究解决可以得出原问题的解答。，即将待处理问题转化为规范问题，从而得到原问题的解答。例如，学生学了一元一次方程，此时，一元一次方程就是一个数学模式。而将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过换元化归为一元一次方程的过程就是模式化。化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的目标和化归的方式、换元是实施化归的方法。实施化归的关键是实现问题的规范化、模式化。四、分解组合思想在中学数学中，方程求解、不等式的证明与求解、函数单调性的判断与证明分的规则，防止分解中出现重复或遗漏。五、集合思想以处理，这就是集合思想的基础。（∪）和交运算还可以定义差运算、余运算。至此，集合论的基本运算便建立起来了，并且形成一种代数结构。建立集合概念后，就可使一些本来只能用日常语言表达的概念，六、辩证思想静止与运动、矛盾的特殊与一般、真理的相对与绝对、有限与无限等，这些矛盾对，在一定条件下能够统一起来，并能够相互转化。解题就是解决矛盾，自然离不开辩证思想。在许多情况下，解题需要分析矛盾的双方，找出转化的条件，不能单打一、钻牛角尖，要运用辩证思维，在辩证思想的策动下，获得问题解决。辩证思想的运用通常体现为非线性结构与线性结构的转化、已知与未知的转换、常量与变量的转换、正面与反面的转换、静与动的转换、数与形的转换、有限与无限的转化等。七、函数与方程思想它反映了已知量和未知量之间的内在联系。第三节中学数学思想方法与教学一、如何贯彻数学思想方法的教学探讨数学思想方法有关问题的最终目的是提高个体的思维品质和各种能力以及提高个体的整体素质，而实现这一目的的主要途径是课堂教学活动。要使学生领悟、理解、掌握、运用数学思想方法，就需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动，在教师的主导，学生的参与下去完成。从原则上来说，数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。一般可以考虑通过以下途径贯彻数学思想方法的教学：充分挖掘教材中的数学思想方法。数学思想方法是隐性的、本质的知识内容，因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关思想方法。例如：有理数乘时，一般可以从前面我们对数学特征及中学数学内容分析的数学思想方法中考（，再用平面几何的结论和方法去解决；在解析几何中，一般可考虑通过建有计划、有步骤地渗透、介绍和突出有关的数学思想方法。例如，在知用公理化、结构化等思想方法。并且贯彻以下几条原则：主动学习原则，最佳动机原则，可接受性原则，化隐为显原则，螺旋上升原则和数学思想方法的形式与内容相统一的原则。二、中学代数中的基本数学思想方法与教学（一）集合的思想方法集合思想是指应用集合论（主要是朴素集合论的基本知识）的观点来分析问题、认识问题和解决问题。在中学教学中渗透集合思想主要体现在：学习朴素（初等）射的概念等。使用集合的语言。例如方程（组）的集合，等等。多了。y=f(x)(x∈A)Oxyx∈A，(x,f(x))与它对xfAxCy=f(x)的图像。用集合语言表达的定义给了我们认识函数图像和运用数形结合思想研究问题的一种启示。（二）函数、映射、对应的思想方法如前所述，函数概念在中学代数的方程、不等式、数列、排列组合等主要内容中起着重要作用。a1，a2，„，an，„。数列可以N{1,2,3,„，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值：a1,a2，„，an，„，记为也就是说数列是一种特殊的函数。因此研究数列的问题自然就运用了函数的思nzZ（a,b）为终点的向量OZ（三） 数形结合的思想方法二元一次不等式组对应一个区域；复数中通过向量与几何结合,得到|OZ|表示点关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻画（如研究函数图像的性质；。在复数教学中主要贯穿着两条主线，一条是以代数形式表在几何、向量、三角、方程等方面发挥综合应用的作用。（四）化归的思想方法把未知解法的问题转化为在已有知识和方法的范围内可解的问题是解决各类数学问题的基本思路和途径，是一种重要的数学思想方法。成立的充分条件，这样的转化可使推证的过程得以简化。三、中学几何中的基本数学思想方法与教学（一）公理化的思想方法（二）几何变换的思想方法（三）化归的思想方法形性质的基础上，对于多边形的研究便可转化为三角形去研究。在几何中化归包含三个基本要素：①化归的对象；②化归的目标；③体几何问题向平面几何问题化归。如：求多边形的内角和转化为求三角形内角和角的概念，即立体几何问题向平面几何问题化归。四、平面三角中的基本数学思想方法与教学（一）函数、映射、对应的思想方法x,y,ry=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx（及有向线段，进一步画出每个自始至终贯穿了函数、映射、对应的思想方法。思想也是函数、映射、对应的思想方法。（二）数形结合的思想方法三角函数线、三角函数的图像与性质以及解斜三角形等内容。十分有用的。y=Asin(ωx+φ)的图像和性质的讨论，将函数y=Asin(ωx+φ)的解析式中的各个参数,φ）(SAS)，(ASA)，(AAS一个三角形的结论；当然，也得出了已知两边及对角(SSA)不一定能确定三角形SSS角SAS，两角及对边（AAS，两角及夹边（ASA）的条件下，可以通过计算求出三角形的其余元素，实现对三角形的确定。而在已知两边及对角（SSA）的情（三）参数的思想方法参数兼有常数和变数的双重作用，也是数学中的“活泼”元素，用以刻画运动和变化。参数的思想方法在平面三角形中也有突出的体现。在函数y=Asin(ωx+φ是函数图像的初相，确定函数图像（正弦曲线）与坐标轴的相对位置（可以确定函数的奇偶性。y=f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)为奇函数f(x)+f(-x)=0 Asin(ωx+φ)+Asin(-ωx+φ2Asinφcosωx=0 sinφ=0φ=kπ (k∈Z)；y=f(x)=Asin（ωx+φ）(x∈R)为偶函数f(x)-f(-x)=0 Asin(ωx+φ)-Asin(-ωx+φ)=02Acosφsinωx=0 cosφ=0φ=π2+kπ (k∈Z)y=Asin(ωx+φ(x∈R)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z)；函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)为偶函数的充要条件是φ=π2+kπ(k∈Z)y=x+φ既非奇函数，也非偶函数的充要条件是φπ2(k∈Z)。（四）化归与分类的思想方法例如，化简cos(α+β+γ)和cos(α+β-γ)+cos(β+γ-α)+cos(γ+α-β)，只要抓住四个角之间具有的和与差的关系：α+β+γ=(α+β)+γ,α+β-γ=(α+β)-γ,β+γ-α=γ-(α-β),γ+α-β=γ-β到别的化简途径。又如，计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°的值，也应20°+40°=60tan(20°+40°。再ABC△ABC中，A2+B2+C2=π2tanA2=cotB2+C2=1tanB/2+C/2一味追求变换技巧，大量重复训练，学生负担很重，但效果未必就好。五、平面解析几何中的基本数学思想方法与教学（一）运动与变化的思想方法17变量数学创立的主要标志有两个：笛卡儿的解析几何与牛顿-莱布尼茨的微积f(x,y)=0xyf(x,y)=0，由于引进了对一个变要的思想方法就是运动与变化的思想方法。（二）数形结合的思想方法x2a2+y2b2=1(a>b>0)的性质。如果要求椭圆的范围，可以从方程中求得|x|≤a,|y|≤bx=±ay=±b（这是一种以数助形的做法。正是数与形的结合，我们又可以把某些代数问题转化为图形的位置关系来研究。例如，求函数y=f(x)=x2+a2+(x-b)2+c2(a,b,c题得以解决。（三）化归思想方法的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或者是容易解决的问题。丰富的化归思想。（四）参数的思想方法的教学中应充分加以重视。六、概率统计中的基本数学思想方法与教学中学概率中的基