1空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试（2-1第三章3.1）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答 案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1•在平行六面体ABC—ABiCD中，M为AC与BD的交点，若A,BAiD!=b，A1A=c.则下列向量中与B1M相等的向量是（）1"1"" 1-1--A. a—bc B.—a—bc\o"CurrentDocument"2 2 2 21f[rF 1—C._a-bc D._a_bc22 222.在下列条件中，使M与AB、C一定共面的是A.OM=2OA—OB—OC B.OM=1OA'OB1OC5 3（）C.MAMBMC=02rD.OMOAOBOC=03.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4AD=3AA‘=5，NBAD-900，BAA'=/DAA'=60°，贝UAC'等于（）A.85 B.85 C.5、；2 D.504.与向量a=（1,-3,2）平行的一个向量的坐标是（）1A（3，1,1） B.（-1，-3,2）C•（—1，3，-1） D.（2，-3，-2.2）225.已知A（-1，-2，6），B（1,2，-6）0为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（）I兀 3A.0 B. C.二 D.\o"CurrentDocument"2 26.已知空间四边形ABC冲，OA二a,OB二b,OC二c,点M在OA上，且OM=2MAN为BC中点，则MN=（）A.'a二b'c2 3 2C.1a1b-1c2- 1 - 1-B. a-bc3 2 22 2 1■D. —a -b c3 3 2设A、BCD是空间不共面的四点，且满足AB・AC=0,AC・AD=0,AB・AD=0，贝U:BCD是（）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C•直角三角形 D.不确定空间四边形OABCKOB=OC?AOB=AOC=60贝Ucos（OA,BCj= （）

A.-29.已知A(1,B.、一2D.0A. 3A.-29.已知A(1,B.、一2D.0A. 31,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),则ABC的面积为()B.2；3D.则|a-b|的最小值为()已知a则|a-b|的最小值为()A.兰5A.兰5、填空题:D.~5请把答案填在题中横线上(每小题6分，共24分).若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3)，则a,b为邻边的平行四边形的面积为.已知空间四边形OABC其对角线为OBAC,MN分别是对边OABC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基组OA,OB,OC•'表示向量OG，有OG=xOA•yOB•zOC，贝Ux、y、z的值分别为.已知点A(1,2,11)、B(4,2,3),C(6,?1,4)，则：ABC的形状是.-■■-0\.-■■-0\.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a,b成120的角,贝Uk=.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).(12分)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,且|A'N|=3|NC'|，试求MN的长.M为BD'的中点，点N在AC''上,(12分)如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的点A的坐标是(?，1，°)，点D在平面yOz上，且/BD(=90°,ZDC=30°.(2)求向量OD的坐标；(2)设向量AD和BC的夹角为B,求cos9的值(12分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四两两垂直.(12分』棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，1,-4},AD={4,2,0},AP={-1,2,-1}.求证：PA丄底面ABCD求四棱锥P—ABCD勺体积；(14分)如图所示,直三棱柱ABC-ABG中,CA=CB=1,/BC=90°A1A的中点.，棱AA=2,MN分别是A1B1、求BN求BN的长；(2)求cos<BA,CB1>的值;求证：AB丄GM(1)(3)20.(14分)如图，已知平行六面体ABC—ABCD的底面ABCD是形且/CCB=/GCD=/BC[=60°.

3证明：CC丄BD(2)假定C[=2,CC=#，记面CBD为a，面CBD为B，求二面角a—BD—B2CD的平面角的余弦值；(3)当CD的值为多少时，能使AC丄平面CBC?请给出证明.CG参考答案I I I 1 1 1 h 1 I、"解析：B1M=B1B+BM=AA+尹A+BC)[(-a+b)=-尹尹。.评述:用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.A;解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足OP^xOA•yOBzOC,且xy-z=1既可.只有选项A.JJ* —— : ■.: 2B;解析：只需将AC'AB^ADAA，运用向量的内即运算即可，|AC〕「,AC.4.C;解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即—«■—»■—*-—ft—* -Orb=0,a//b：=a='f；b.一一 L一 //八iC;解析：cost_ab，计算结果为—1.|a||b|B;解析：显然MN=ON-OM二'(OBOC)—2OA.2 3B;解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形.D;解析：建立一组基向量OA,OB,OC，再来处理OABC的值.——— ABAC- ——-——D;解析：应用向量的运算，显然cos：：：AB,AC二一:sin：：：AB,AC，|AB||AC|1——*——* ——-——-从而得S|AB||AC|sin：：：AB,AC-.2C;11.6.5;解析:cos11.6.5;解析:cos：：a,b二ab|a||b|-，得sin::a,b=口，7 7可得结果.111丄OAOBOC-6 3 3’解析：1 2，得宀'39.直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：|AB|2=|BC|2*1 2，得宀'39.盲ab 2kcos<a,b|a||b|U13W‘9+k2

15•解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系•因为正方体棱长为 a,所以B(a,a,0),A(a,015•解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系•因为正方体棱长为 a,所以B(a,a,0),A(a,0,a),C'(0,a,a),D'(0,0,a).由于M为 BD'的中点，取A'C'中点O'，所以M(a a,a), O'(-,a,a).因为|A'N|=3| NC'|,2 2222所以N为A'C'的四等分，从而N为O'C'的中点，故N(a,-a,a).4 4根据空间两点距离公式,可得曲…:一：)2■(<4f(2,6

a.416•解：(1)过D作DELBC,垂足为E,在Rt△BDC中,由/BD(=90°,/DC=30°,BC=2,得BD=1,C[=3,•DE=CD-sin30°二 .OE=OB-BE=OB-BD-cos60°2=1—1 3•D点坐标为(0,—2,2),即向量ODTX-］的坐标为｛0,(2)依题意：OA珂2,2,0},OB二{0,-1,0},OC二{0,1,0},所以AD」OD-OA={-",-1,"},BC=OC-OB二{0,2,0}.

22设向量AD和BC的夹角为9，则.320(1)2,02|AD||BC|3)2(D2(；2022202证：如图设SA二「1,SB二D,SC二「3,则SESF,SGSH,SM,SN分别为「1,(Q叨，⑴叨,2 222「3,2(「1+「3),2「2,由条件EH=GH=MN得:展开得r1r2二「1A(「3-「2)=0,I「1和,「展开得r1r2二「1•••AL(r3—D)即SALBC.同理可证SBLAC,SCLAB.(1)证明：：APAB=—2—2+4=0,•APIAB

又•••APAD=—4+4+0=0,二APIAD•••ABAD是底面ABCDh的两条相交直线，二AP丄底面ABCD3105(2)解：设AB与AD的夹角为93105cos9=ABAD「_8二2_|AB||AD| 14+1+16J16+4.141=16.141=16V=l|AB|•|AD|•sin93(3)解：|(ABXAD)•AP|=|—4—32—4—8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.猜测：1.2 **|(ABXAD)•AP|在几何上可表示以ABADAP为棱的平行六面体的体积(或以ABADAP为棱的直四棱柱的体积).评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想能力•如图，建立空间直角坐标系 O-xyz.依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)•••|BN|= (1—0)2 (0-1)2 (1-0)2八3.依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B(0,1,2)•••BA={—1,—1,2},CB1={0,1,2,},BA；•CB1=3,|BA；|=<6,|CB1|=、5TOC\o"1-5"\h\z二cos<BA,CB1>^BA^CB^=丄烦.|BA||CB1| 10•ab•c1m=11•ab•c1m=证明：依题意，得C(0,0,2)、M(—,-，2),A1B={—1,1,2},C1M={—,—,0}.22 2211<-— +0=0,AAB丄C1M,•A1B丄C1M221评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件(1)证明：设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|,vBD=CD-CB=b—a,BD•CC1=(b—a)•c=b•c—a•c=|b|•|c|cos60°—|a|•|c|cos60°=0,C1C丄BD解：连ACBD,设ACnBD=O,连OC,则/GOC为二面角a—BD-B的平面角.■A ■ ■ A— * ■ ・ ■ 4 ■ — _vCO(BCCD) (a+b),CQ^CO-CG(a+b)—c222

11...CO•C1O(a+b)•[_(a+b)—c]22TOC\o"1-5"\h\zI 2 2 I'二—(a+2a•b+b)——a4=1(4+2•2•2cos60°+4=1(4+2•2•2cos60°+4)4 •2•cos60° •2•—cos60°=\o"CurrentDocument"2 2 2则|则|CO|=..3,|C1O|=-,2cosCOGCOC1。 3|CO|■|C1O|3CD 2解：设 =x,Ct=2,则CG=—.CC1 x••