高三立体几何章末综合测试题

13/13高三立体几何章末综合测试题高三数学章末综合测试题〔13〕立体几何〔1〕一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,那么圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3解析A依题意,设圆台上、下底面半径分别为r、3r,那么有(r＋3r)3＝84,解得r＝7.2．如下图,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且CFCB＝CGCD＝23,那么()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上解析D依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E、F、G、H共面．因为EH＝12BD,FG＝23BD,故EHFG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上．同理,点M在平面ACD上,即点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所以点M一定在AC上．3．向量a＝(1,1,0),b＝(－1,0,2),且ka＋b与2a－b互相垂直,那么k＝()A．1B．15C．35D．75解析Dka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2),2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2,－2),∵两向量垂直,3(k－1)＋2k－22＝0,k＝75.4．直线m、n和平面,在以下给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是()A．m∥,n∥B．m,nC．m∥,nD．m、n与所成的角相等解析D对于选项A,当m∥,n∥时,直线m、n可以是平行、相交或异面；而当m∥n时,m、n与的关系不确定,应选项A是m∥n的既不充分也不必要条件；选项B是m∥n的充分不必要条件；选项C是m∥n的既不充分也不必要条件；对于选项D,由m∥n可以得到m、n与所成的角相等,但是m、n与所成的角相等得不到m∥n.应选项D符合题意．5．某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是()A．288＋36B．60C．288＋72D．288＋18解析A依题意得,该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6,半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8,因此该几何体的体积等于866＋12328＝288＋36,应选A.6．l1,l2,l3是空间三条不同的直线,那么以下命题正确的是()A．l1l2,l2l3l1∥l3B．l1l2,l2∥l3l1l3C．l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面D．l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析B在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线,那么另一条也垂直于第三条直线,B正确；相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错；共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错．7．将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,那么外表积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2解析B依题意,小正方体的棱长为a3,所以27个小正方体的外表积总和为276a32＝18a2,故外表积增加量为18a2－6a2＝12a2.8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝2,AA1＝1,那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.265C.155D.105解析D如图,连接A1C1,B1D1,交于点O1,由长方体的性质易知C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角．∵BC＝2,CC1＝1,BC1＝22＋1＝5,又C1O1＝12A1C1＝1222＋22＝2,在Rt△BO1C1中,sinC1BO1＝O1C1BC1＝25＝105.9．,,是三个不同的平面,命题“∥,且〞是真命题,如果把,,中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有命题中,真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析C假设,换为直线a,b,那么命题化为“a∥b,且ab〞,此命题为真命题；假设,换为直线a,b,那么命题化为“a∥,且abb〞,此命题为假命题；假设,换为直线a,b,那么命题化为“a∥,且bab〞,此命题为真命题．10．如下图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝10,AD＝5,AA1＝4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三局部,其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1,V2＝VEBE1A1－FCF1D1,V3＝VB1E1B－C1F1C.假设V1∶V2∶V3＝1∶3∶1,那么截面A1EFD1的面积为()A．410B．83C．202D．162解析C由V1＝V3,可得AE＝B1E1,设AE＝x,那么12x45∶[(10－x)45]＝1∶3,得x＝4,那么A1E＝42＋42＝42,所以截面A1EFD1的面积为202.11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,那么在正方体盒子中,ABC的值为()A．30B．45C．60D．90解析C复原正方体,如以下图所示,连接AB,BC,AC,可得△ABC是正三角形,那么ABC＝60.应选C.12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有以下四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析C易求得M、N到球心O的距离分别为OM＝3,ON＝2,假设两弦交于M,那么ONMN,在Rt△ONM中,有ONOM,符合题意,故①正确．假设两弦交于N,同①推得,OMON,矛盾,故②错．当M、O、N共线,M、N在O同侧,那么MN取最小值1；M、N在O两侧,那么MN取最大值5,故③④正确．二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分．把答案填在题中横线上)13.如图,在正四棱柱A1C中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,那么M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)解析∵FH∥DD1,HN∥BD,平面FHN∥平面B1BDD1,只要MFH,那么MN平面FHN,MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)【答案】M位于线段FH上14．、是两个不同的平面,m、n是平面及平面之外的两条不同的直线,给出四个论断：①m∥n,②∥,③m,④n,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题：________.解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行．【答案】②③④①15．命题：“假设xy,y∥z,那么xz〞成立,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x,y是直线,z是平面；④x,z是平面,y是直线．上述判断中,正确的有________(请将你认为正确的序号都填上)．解析当字母x,y,z都表示直线时,命题成立；当字母x,y,z都表示平面时,命题也成立；当x,z表示平面,y表示直线时,由相关的判定定理知命题也成立；当x,y表示直线,z表示平面时,xz不一定成立,还有可能x∥z或x与z相交,故①②④正确,③不正确．【答案】①②④16．如图,二面角－l－的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,那么AB与平面所成的角的正弦值是________．解析如图,作AO于O,ACl于C,连接OB、OC,那么OCl.设AB与所成角为,那么ABO＝,由图得sin＝AOAB＝ACABAOAC＝sin30sin60＝34.【答案】34三、解答题(本大题共6小题,共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD平面ABC;(2)求三棱锥A－BCD的体积．解析(1)∵AE平面BCD,AECD.又BCCD,且AEBC＝E,CD平面ABC.又CD平面ACD,平面ACD平面ABC.(2)由(1)知,CD平面ABC,又AB平面ABC,CDAB.又∵ABAD,CDAD＝D,AB平面ACD.VA－BCD＝VB－ACD＝13S△ACDAB.又∵在△ACD中,ACCD,AD＝BC＝4,AB＝CD＝3,AC＝AD2－CD2＝42－32＝7.VA－BCD＝1312733＝372.18．(12分)如图,四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB＝2BF,DE平面ABCD,G为EF的中点．(1)求证：CF∥平面ADE；(2)求证：平面ABG平面CDG；(3)求二面角C－FG－B的余弦值．解析(1)∵BF∥DE,BC∥AD,BFBC＝B,DEAD＝D,平面CBF∥平面ADE.又CF平面CBF,CF∥平面ADE.(2)如图,取AB的中点M,CD的中点N,连接GM、GN、MN、AC、BD,设AC、MN、BD交于O,连接GO.∵四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB＝2BF,DE平面ABCD,G为EF的中点,那么GO平面ABCD,GO＝12MN,GNMG.又GNDC,AB∥DC,GNAB.又ABMG＝M,GN平面GAB.又GN平面CDG,平面ABG平面CDG.(3)由易得CGFG,由(2)知GOEF,CGO为二面角C－FG－B的平面角,cosCGO＝GOGC＝33.19．(12分)(2019南昌二模)如下图的多面体ABC－A1B1C1中,三角形ABC是边长为4的正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1平面ABC,AA1＝BB1＝2CC1＝4.(1)假设O是AB的中点,求证：OC1A1B1；(2)求平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值．解析(1)设线段A1B1的中点为E,连接OE,C1E.由AA1平面ABC得AA1AB,又BB1∥AA1且AA1＝BB1,所以AA1B1B是矩形．又点O是线段AB的中点,所以OE∥AA1,所以OEA1B1.由AA1平面ABC得AA1AC,A1ABC.又BB1∥AA1∥CC1,所以BB1BC,CC1AC,CC1BC,且AC＝BC＝4,AA1＝BB1＝4,CC1＝2,所以A1C1＝B1C1,所以C1EA1B1.又C1EOE＝E,所以A1B1平面OC1E,因为OC1平面OC1E,所以OC1A1B1.(2)如图,以O为原点,OE,OA,OC所在方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz,那么A(0,2,0),A1(4,2,0),B1(4,－2,0),C1(2,0,23),设平面AB1C1的法向量为n1＝(x1,y1,z1),那么有n1AB1＝0,n1AC1＝0x1,y1,z14,－4,0＝0,x1,y1,z12,－2,23＝0x1＝y1,z1＝0,令x1＝1,那么n1＝(1,1,0)．设平面A1B1C1的法向量为n2＝(x2,y2,z2),那么有n2A1B1＝0,n2A1C1＝0x2,y2,z20,－4,0＝0,x2,y2,z2－2,－2,23＝0y2＝0,x2＝3z2,令z2＝1,那么n2＝(3,0,1)．所以cos〈n1,n2〉＝n1n2|n1||n2|＝322＝64,所以平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值是64.20．(12分)如下图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,DB＝BC,DBAC,点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D.解析(1)由直四棱柱概念,得BB1綊DD1,四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1∥BD.而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,B1D1∥平面A1BD.(2)∵BB1平面ABCD,AC平面ABCD,BB1AC.又∵BDAC,且BDBB1＝B,AC平面BB1D1D.而MD平面BB1D1D,MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时,取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如下图．∵N是DC的中点,BD＝BC,BNDC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD平面DCC1D1,BN平面DCC1D1.又可证得,O是NN1的中点,BM綊ON,即四边形BMON是平行四边形,BN∥OM,OM平面CC1D1D,∵OM平面DMC1,平面DMC1平面CC1D1D.21．(12分)如下图,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,ABBC,CDAP,AD＝DC＝PD＝2.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使平面PDC平面ABCD.(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求二面角G－EF－D的大小．解析(1)∵PE＝EC,PF＝FD,EF∥CD.又CD∥AB,EF∥AB,EF∥平面PAB.同理,EG∥平面PAB.又∵EFEG＝E,平面PAB∥平面EFG,而PA在平面PAB内,PA∥平面EFG.(2)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,那么A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,0,1),G(1,2,0),易知DA＝(2,0,0)为平面EFD的一个法向量．设平面EFG的一个法向量为n＝(x,y,z),又EF＝(0,－1,0),EG＝(1,1,－1),由nEF＝0,nEG＝0,得x,y,z0,－1,0＝0,x,y,z1,1,－1＝0,即y＝0,x＋y－z＝0,取x＝1,得n＝(1,0,1)．设所求二面角为,cos＝nDA|n||DA|＝222＝22,＝45,即二面角G－EF－D的平面角的大小为45.22．(12分)在侧棱垂直于底面的四