2023年新高考一轮复习讲义第17讲 导数与函数的单调性含答案

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年新高考一轮复习讲义第17讲导数与函数的单调性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·吉林吉林·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(

)A． B． C． D．2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）已知，为的导函数，则的图像大致是（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（

）A． B． C． D．，7．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知函数是偶函数，其导函数的图象见下图，且对恒成立，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．8．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，p：；q：函数在区间上不单调，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）对于函数，下列结论中正确的是（

）A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在上单调递减C．有最小值 D．有两个零点11．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（

）A． B． C． D．12．（多选）（2022·山东·青岛二中高三期末）记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（

）A． B．C． D．13．（2022·湖北·模拟预测）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为___________．14．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．15．（2022·北京·二模）已知奇函数的定义域为R，且，则的单调递减区间为__________；满足以上条件的一个函数是__________．16．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．17．（2022·山东师范大学附中高三期中）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明18．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【素养提升】1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为______．4．（2022·江苏江苏·三模）设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上单调递增，求.试卷第=page2525页，共=sectionpages1919页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第17讲导数与函数的单调性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·吉林吉林·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，恒成立，故，即．故选：A﹒2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）已知，为的导函数，则的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令，，当，，在递减，故选B．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴∵函数在区间上不是单调函数∴在区间上有根∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，函数单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，由幂函数的性质知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，又，所以函数在上单调递减，故C符合题意；对于D，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（

）A． B． C． D．，【答案】B【解析】函数，则，当时，恒成立，函数在其定义域内是递增．当时，令，解得：，当时，，函数是递增．函数的一个单调递增区间为，故得：，解得：，在时，，函数是递减．故选：B．7．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知函数是偶函数，其导函数的图象见下图，且对恒成立，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】又由导函数的图象得，当时，，单调递增，故选：D.8．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，p：；q：函数在区间上不单调，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，又，又，要使函数在区间上不单调，有，解得，显然，即p是q的充分不必要条件.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为．由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是．故选：A.10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）对于函数，下列结论中正确的是（

）A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在上单调递减C．有最小值 D．有两个零点【答案】BC【解析】∵，∴，由可得，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最小值，即，所以A错误，BC正确，D错误.故选：BC.11．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】取，故，设，则，在上，，故在上为减函数，故A错误.而，设，则，在上，，故在上为减函数，故D错误.设，，任意，则，因为均是定义在R上的单调递增函数，故，所以即，故是R上的单调递增函数.而因为是定义在R上的单调递增函数，故，且，所以即，故是R上的单调递增函数.故BC正确.故选：BC12．（多选）（2022·山东·青岛二中高三期末）记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】解：因为，所以，则，所以在单调递增，所以，即，所以，故A错误；同理，即，所以，故B正确；因为，所以，构造函数，则，所以在单调递减，所以，即，化简得，故C正确；同理，即，化简得，故D错误.故选：BC.13．（2022·湖北·模拟预测）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为___________．【答案】【解析】，在为增函数，又为偶函数，∴，则，得或，解集为故答案为：．14．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】，由于函数有三个单调区间，所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为：15．（2022·北京·二模）已知奇函数的定义域为R，且，则的单调递减区间为__________；满足以上条件的一个函数是__________．【答案】

（答案不唯一）【解析】由可得，所以或，所以当或时，，当时，，所以的单调递减区间为，所以满足条件的一个函数可以为（答案不唯一）故答案为：，（答案不唯一）16．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．【答案】【解析】，则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，因为，且在上单调递减，所以当时，，所以.故答案为：17．（2022·山东师范大学附中高三期中）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明【解】(1)时，，，令得；令得或故的单增区间为，单减区间为，(2)结论：，证明如下：设，由均为正数且得设，则①当时，由得即故单调递减，从而而，此时成立②当时，在上单调递减，在上单调递增故的最小值为此时只需证，化简后即证设，故单调递增，从而有，即证综上：不等式得证．18．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【解】(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.【素养提升】1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.2．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】令，则恒成立，所以单调递增，其中，，则存在，使得①当时，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，D正确；②当时，，即（1）当时，，，则成立，故，B正确；（2）当时，，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，，则，所以，所以，又因为，所以，选项C正确.故选：BCD3．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为______．【答案】【解析】由得，所以，，因为，所以，设（），则，递增，所以由得，所以，，设，则，所以时，，递增，时，，递减，所以．故答案为：．4．（2022·江苏江苏·三模）设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上单调递增，求.【解】(1)解：因为，可得，设，则所以当时，，函数在上单调递增，即函数在上单调递增，又由，所以当时，；当时，，所以当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)解：令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又由，所以，即，所以，所以；令，可得，所以函数单调递增，因为，当，可得，即，即；当，可得，即，即，（2.1）当时，由（1）知不合题意；（2.2）当时，若，；当时，，单调递减，不合题意；（2.3）当时，若，同理可得，当时，，单调递减，不合题意；（2.4）当时，，可得，设，则，①当时，，所以在上单调递增，在上单调递增，②当时，若，，若，，所以在上单调递增，在上单调递增，由①②可知，，所以在上单调递增，综上所述，.试卷第=page3131页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第18讲导数与函数的极值、最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（

）A． B． C． D．2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知函数的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，则的值等于（

）A．1 B．3 C．5 D．64．（2022·福建·三模）关于函数，有下列四个命题：甲：在单调递增；乙：是的一个极小值点：丙：是的一个极大值点；丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（

）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为6．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．07．（2022·辽宁·高三阶段练习）已知是函数的极值点，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．e8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．9．（多选）（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点10．（多选）（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（

）A． B．在处取得极大值C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则11．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.12．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．13．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．15．（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当时，求函数在区间上的最小值．16．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.【素养提升】1．（2022·浙江·模拟预测）已知，则的最大值是（

）A． B． C． D．2．（多选）（2022·海南海口·二模）已知函数及其导函数满足，且，则（

）A．在上单调递增 B．在上有极小值C．的最小值为-1 D．的最小值为03．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________.4．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知函数．(1)若在处的切线与轴平行，求的值；(2)有两个极值点，比较与的大小；(3)若在上的最大值为，求的值．5．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.试卷第=page11页，共=sectionpages33页第18讲导数与函数的极值、最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，由图可知，一共有个点符合.故选：A2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由题，，，所以单调递增，又，所以，，故为最小值点，即，解得，故选：A3．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知函数的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，则的值等于（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】依题意，的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，所以，其中，所以，，所以.故选：C4．（2022·福建·三模）关于函数，有下列四个命题：甲：在单调递增；乙：是的一个极小值点：丙：是的一个极大值点；丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】由于的最小正周期为，半周期为,，所以乙、丙为真命题，（否则两个都是假命题，不符合题意.）由丙可知，关于直线对称，所以函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，丁正确.故甲为假命题.另外，由丙可知，关于直线对称，的最小正周期为，所以关于直线对称，，所以在区间不单调，甲为假命题.故选：A5．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（

）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为【答案】C【解析】对于A，定义域为，，为偶函数，A正确；对于B，令，即，，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，，不是的极小值点，C错误；对于D，，；则当，，即时，取得最大值，D正确.故选：C.6．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0【答案】B【解析】解：因为函数满足：对，都有，所以，即，解得，所以，则，，，当或时，，当时，，所以的最小值为，故选：B7．（2022·辽宁·高三阶段练习）已知是函数的极值点，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．e【答案】C【解析】由题意可得：，因为是函数的极值点，故，得，经验证：时，，当时，，递减，当时，，递增，则是函数的极小值点，故，故选：C8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．9．（多选）（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点【答案】BD【解析】对于A，是的极大值点，并不是最大值点，不能得出在整个定义域上最大，A不正确；对于B，因函数与函数的图象关于y轴对称，则是的极大值点，B正确；对于C，因函数与函数的图象关于x轴对称，则是的极小值点，与无关，C不正确；对于D，因函数与函数的图象关于原点对称，则是的极小值点，D正确．故选：BD10．（多选）（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（

）A． B．在处取得极大值C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则【答案】ABD【解析】对于函数，，，；令，得，解得，当时，，所以函数在上为单调递增函数，当时，，所以函数在,上为单调递减函数，∴，又，∴，故A正确；所以函数在处取得极大值，故B正确；因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误；因为在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，，所以，选项D正确.故选：ABD.11．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.【答案】【解析】当时，，，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，易知为极小值点；当时，，恒成立，所以函数在单调递减，所以无极值点，综上所述，的极值点为.故答案为：.12．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．【答案】3【解析】令，则当时，单调增，当时，令，时，递减时，递增∴综上：故答案为：3．13．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．【答案】【解析】解：，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，所以，所以故答案为：14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】当时，由可得，令，其中，则，由，可得，列表如下：增极大值减如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则，所以，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则当时，，又因为，，所以，，因此，在上的最大值与最小值的和为.故答案为：.15．（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当时，求函数在区间上的最小值．【解】(1)当时，

，故切线方程为：(2)，①当时，，仅有单调递增区间，其为：②当时，，当时，；当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：③当时，，当时；当时的单调递增区间为：，单调递减区间为：综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：(3)当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，∴①当，即时，在上单调递增，，②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，③当，即时，在上单调递减，∴.．16．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.【解】(1)解：当时，函数，其定义域为，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由，可得，设，则，令，即，解得，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，且，显然，若在上存在极值，则满足或，解得，综上可得，当时，在上存在极值，所以实数的取值范围为.【素养提升】1．（2022·浙江·模拟预测）已知，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，；令，；令，解得：，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在，上单调递减；；当时，，；当时，，；综上所述：的最大值为.故选：C.2．（多选）（2022·海南海口·二模）已知函数及其导函数满足，且，则（

）A．在上单调递增 B．在上有极小值C．的最小值为-1 D．的最小值为0【答案】ABD【解析】设，则，所以（C为常数），所以，又，所以，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，因为，所以，所以在上有极小值可知A，B都正确．，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值即最小值为，故C错误．，当时，，，所以，当时，，，所以，而当时，，所以的最小值为0，故D正确．故选：ABD.3．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【解析】当时，，，当时，，当时，，即当时，取得极小值为.当时，为增函数，且，函数的图像如图：设，由题可知，由得，则，则，，所以当时，取得最小值为.故答案为：.4．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知函数．(1)若在处的切线与轴平行，求的值；(2)有两个极值点，比较与的大小；(3)若在上的最大值为，求的值．【解】(1)，由，解得，当时，，，符合题意；当时，，，此时切线与x轴重合，不符合题意；所以；(2)由（1）知：，令可得或，则在单增，在上单减，则是的两个极值点，不妨设，则，，又，即；(3)由（2）知：在单增，在上单减.当时，，则在上单增，则，解得或，故；当时，，则在上单增，在上单减，则，解得，不满足，不合题意；当时，，则在上单减，则，不合题意；当时，，则在上单减，在上单增，则，若，则，解得或，不满足，不合题意，若，则，解得或，不满足，不合题意；当时，则在上单增，则，解得或，故；综上：或.5．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【解】(1)解：当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，第18讲导数与函数的极值、最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，由图可知，一共有个点符合.故选：A2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由题，，，所以单调递增，又，所以，，故为最小值点，即，解得，故选：A3．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知函数的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，则的值等于（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】依题意，的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，所以，其中，所以，，所以.故选：C4．（2022·福建·三模）关于函数，有下列四个命题：甲：在单调递增；乙：是的一个极小值点：丙：是的一个极大值点；丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】由于的最小正周期为，半周期为,，所以乙、丙为真命题，（否则两个都是假命题，不符合题意.）由丙可知，关于直线对称，所以函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，丁正确.故甲为假命题.另外，由丙可知，关于直线对称，的最小正周期为，所以关于直线对称，，所以在区间不单调，甲为假命题.故选：A5．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（

）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为【答案】C【解析】对于A，定义域为，，为偶函数，A正确；对于B，令，即，，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，，不是的极小值点，C错误；对于D，，；则当，，即时，取得最大值，D正确.故选：C.6．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0【答案】B【解析】解：因为函数满足：对，都有，所以，即，解得，所以，则，，，当或时，，当时，，所以的最小值为，故选：B7．（2022·辽宁·高三阶段练习）已知是函数的极值点，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．e【答案】C【解析】由题意可得：，因为是函数的极值点，故，得，经验证：时，，当时，，递减，当时，，递增，则是函数的极小值点，故，故选：C8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．9．（多选）（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点【答案】BD【解析】对于A，是的极大值点，并不是最大值点，不能得出在整个定义域上最大，A不正确；对于B，因函数与函数的图象关于y轴对称，则是的极大值点，B正确；对于C，因函数与函数的图象关于x轴对称，则是的极小值点，与无关，C不正确；对于D，因函数与函数的图象关于原点对称，则是的极小值点，D正确．故选：BD10．（多选）（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（

）A． B．在处取得极大值C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则【答案】ABD【解析】对于函数，，，；令，得，解得，当时，，所以函数在上为单调递增函数，当时，，所以函数在,上为单调递减函数，∴，又，∴，故A正确；所以函数在处取得极大值，故B正确；因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误；因为在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，，所以，选项D正确.故选：ABD.11．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.【答案】【解析】当时，，，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，易知为极小值点；当时，，恒成立，所以函数在单调递减，所以无极值点，综上所述，的极值点为.故答案为：.12．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．【答案】3【解析】令，则当时，单调增，当时，令，时，递减时，递增∴综上：故答案为：3．13．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．【答案】【解析】解：，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，所以，所以故答案为：14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】当时，由可得，令，其中，则，由，可得，列表如下：增极大值减如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则，所以，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则当时，，又因为，，所以，，因此，在上的最大值与最小值的和为.故答案为：.15．（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当时，求函数在区间上的最小值．【解】(1)当时，

，故切线方程为：(2)，①当时，，仅有单调递增区间，其为：②当时，，当时，；当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：③当时，，当时；当时的单调递增区间为：，单调递减区间为：综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：(3)当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，∴①当，即时，在上单调递增，，②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，③当，即时，在上单调递减，∴.．16．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.【解】(1)解：当时，函数，其定义域为，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由，可得，设，则，令，即，解得，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，且，显然，若在上存在极值，则满足或，解得，综上可得，当时，在上存在极值，所以实数的取值范围为.【素养提升】1．（2022·浙江·模拟预测）已知，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，；令，；令，解得：，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在，上单调递减；；当时，，；当时，，；综上所述：的最大值为.故选：C.2．（多选）（2022·海南海口·二模）已知函数及其导函数满足，且，则（

）A．在上单调递增 B．在上有极小值C．的最小值为-1 D．的最小值为0【答案】ABD【解析】设，则，所以（C为常数），所以，又，所以，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，因为，所以，所以在上有极小值可知A，B都正确．，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值即最小值为，故C错误．，当时，，，所以，当时，，，所以，而当时，，所以的最小值为0，故D正确．故选：ABD.3．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【解析】当时，，，当时，，当时，，即当时，取得极小值为.当时，为增函数，且，函数的图像如图：设，由题可知，由得，则，则，，所以当时，取得最小值为.故答案为：.4．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知函数．(1)若在处的切线与轴平行，求的值；(2)有两个极值点，比较与的大小；(3)若在上的最大值为，求的值．【解】(1)，由，解得，当时，，，符合题意；当时，，，此时切线与x轴重合，不符合题意；所以；(2)由（1）知：，令可得或，则在单增，在上单减，则是的两个极值点，不妨设，则，，又，即；(3)由（2）知：在单增，在上单减.当时，，则在上单增，则，解得或，故；当时，，则在上单增，在上单减，则，解得，不满足，不合题意；当时，，则在上单减，则，不合题意；当时，，则在上单减，在上单增，则，若，则，解得或，不满足，不合题意，若，则，解得或，不满足，不合题意；当时，则在上单增，则，解得或，故；综上：或.5．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【解】(1)解：当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取第18讲导数与函数的极值、最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，由图可知，一共有个点符合.故选：A2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由题，，，所以单调递增，又，所以，，故为最小值点，即，解得，故选：A3．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知函数的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，则的值等于（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】依题意，的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，所以，其中，所以，，所以.故选：C4．（2022·福建·三模）关于函数，有下列四个命题：甲：在单调递增；乙：是的一个极小值点：丙：是的一个极大值点；丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】由于的最小正周期为，半周期为,，所以乙、丙为真命题，（否则两个都是假命题，不符合题意.）由丙可知，关于直线对称，所以函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，丁正确.故甲为假命题.另外，由丙可知，关于直线对称，的最小正周期为，所以关于直线对称，，所以在区间不单调，甲为假命题.故选：A5．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（

）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为【答案】C【解析】对于A，定义域为，，为偶函数，A正确；对于B，令，即，，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，，不是的极小值点，C错误；对于D，，；则当，，即时，取得最大值，D正确.故选：C.6．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0【答案】B【解析】解：因为函数满足：对，都有，所以，即，解得，所以，则，，，当或时，，当时，，所以的最小值为，故选：B7．（2022·辽宁·高三阶段练习）已知是函数的极值点，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．e【答案】C【解析】由题意可得：，因为是函数的极值点，故，得，经验证：时，，当时，，递减，当时，，递增，则是函数的极小值点，故，故选：C8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．9．（多选）（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点【答案】BD【解析】对于A，是的极大值点，并不是最大值点，不能得出在整个定义域上最大，A不正确；对于B，因函数与函数的图象关于y轴对称，则是的极大值点，B正确；对于C，因函数与函数的图象关于x轴对称，则是的极小值点，与无关，C不正确；对于D，因函数与函数的图象关于原点对称，则是的极小值点，D正确．故选：BD10．（多选）（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（

）A． B．在处取得极大值C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则【答案】ABD【解析】对于函数，，，；令，得，解得，当时，，所以函数在上为单调递增函数，当时，，所以函数在,上为单调递减函数，∴，又，∴，故A正确；所以函数在处取得极大值，故B正确；因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误；因为在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，，所以，选项D正确.故选：ABD.11．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.【答案】【解析】当时，，，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，易知为极小值点；当时，，恒成立，所以函数在单调递减，所以无极值点，综上所述，的极值点为.故答案为：.12．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．【答案】3【解析】令，则当时，单调增，当时，令，时，递减时，递增∴综上：故答案为：3．13．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．【答案】【解析】解：，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，所以，所以故答案为：14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】当时，由可得，令，其中，则，由，可得，列表如下：增极大值减如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则