【练习】等差数列基础习题选(附详细答案)

B.2C.3D.4等差数列基础习题选（附有详细解答）一，..选择题（共26小题）一，.TOC\o"1-5"\h\z.已知等差数列电｝中，a=9,a=3,则公差d的值为（）A.1B.1C.D.-122,已知数列｛aj的通项公式是a：2n+5,则此数列是（）A.以7为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列.在等差数列电｝中，a=13,a=12,若a：2,则n等于（）A.23B.24C.25D.26.等差数列｛a｝的前n项和为S,已知53=6,aj8,则公差d二（）A.一1B.2C.3D.一2.两个数1与5的等差中项是（）A.1B.3C.2D..一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A.-2B.-3C.-4D.-5.（2012福建）等差数列｛an｝中，a1+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为（）

.数列七1的首项为3,为等差数列且，若，则二（）A.0B.8C.3D.11.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A.25B.24C.20D.19.设S为等差数列｛a｝的前n项和，若满足a=a+2(n22),且53=9,则a=()A.5B.3C.-1D.1.(2005•黑龙江)如果数列｛a｝是等差数列，则()nA.a+a>a+aB.a+a—3+aC.a+aVa+aD.aa—3a.（2004•福建）设S”是等差数列｛aj的前n项和，若=（）A.1B.-1C.2D..(2009•安徽)已知｛a｝为等差数列，a+a+a=105,a+a+a=99,贝4a?。等于()A.-1B.1C.3D.714.在等差数列｛a｝中,

na—4,a—12,,那么数歹［｛14.在等差数列｛a｝中,

na—4,a—12,,那么数歹［｛｝的前n项和等于（A.B.C.D..已知S”为等差数列｛aj的前n项的和，a+a=4,S=21,则的值为（）A.6B.7C.8D.9.已知数列｛a｝为等差数列，a+a+a=]5,aj7,则Sf的值为()则数列｛an｝的前则数列｛an｝的前n项和Sn取得.（2012•营口）等差数列｛a｝的公差dVO,且/_/,n31-311最大值时的项数。是（）A.565或66或7A.565或66或7（2012•辽宁）在等差数列｛a｝中，nA.58B.88已知a4+a8=16,则该数列前11项和SC.143D.176=(11.已知数列｛a｝等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=()A.-1B.0C.1D.2.（理）已知数列｛2｝的前0项和S=n2-8n,第k项满足4〈2卜＜7,则k=（A.6B.7A.6B.7C.8D.9.数列a的前n项和为S,若5=202-175则当S取得最小值时n的值为（）A.4或5B.5或6C.4D.5.等差数列｛an｝中，an=2n-4,则之等于（）A.12B.10C.8D.4.若｛a｝为等差数列，a=4,a=19,则数列｛a｝的前10项和为（A.230B.140C.115D.95.等差数列｛a｝中，a3+ag=5则前10项和S;（A.5A.12B.10C.8D.4.若｛a｝为等差数列，a=4,a=19,则数列｛a｝的前10项和为（A.230B.140C.115D.95.等差数列｛a｝中，a3+ag=5则前10项和S;（A.5B.25C.50D.100.设S是公差不为0的等差数列｛a｝的前n项和S成等比数列，则山等alA.123426.设a=-2n+21,

n则数列｛a｝从首项到第几项的和最大nA.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项二.填空题（共4小题）.如果数列｛a｝满足:n.4口果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…)，且f(1)=2,贝4f(100)=.等差数列｛a｝的前。项的和

n，则数列｛忆」｝的前10项之和为30.已知｛a｝是一个公差大于0的等差数列，且满足aa=55,a+a=16.（I）求数列｛a｝的通项公式：n（II）若数列｛"和数列｛bj满足等式：a广义+.+3+…*（n为正整数），求数歹Mb）的前n项和S.参考答案与试题解析一.选择题（共26小题）.已知等差数列电｝中，a=9,a=3,则公差d的值为（）A.B.1C.D.-1考点：等差数列.501974专题：计算题.分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案.解答：解：等差数列电｝中，a=9,a=3,由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=-1.故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题.2,已知数列｛an｝的通项公式是an=2n+5,则此数列是（）A.以7为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列考点：等差数列.501974专题：计算题.分析：直接根据数列电｝的通项公式是a=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.解答：解：因为a：2n+5,所以a=2X1+5=7；a-a=2(n+1)+5-(2n+5)=2.故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列.故选A.点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用,如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项..在等差数列电｝中，a=13,a=12,若a：2,则n等于()A.23B.24C.25D.26考点：等差数列.501974专题：综合题.分析：根据a/13,a=12,利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值.解答：解：由题意得23『+2412,把产3代人求得d二-/则a=13-(n-1)=-n+=2,解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题..等差数列｛a｝的前n项和为S,已知53=6,aj8,则公差d二()A.一1B.2C.3D.一2考点：等差数列.501974专题：计算题.分析：根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差.解答：解：・・,等差数列｛aj的前n项和为S”，S=6,・・・a=2Va=8,.*.8=2+2d.*.d=3,故选C.点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算..两个数1与5的等差中项是()A.1B.3C.2D.考点：等差数列.501974专题：计算题.分析.由于a,b的等差中项为更瓦由此可求出1与5的等差中项.2解答：解：1与5的等差中项为：=3,故选B.点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a,b的等差中项为：是解题的关键,属基础题.一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数,则它的公差是（）A.-2B.-3C.-4D.-5考点：等差数列.501974专题：计算题.分析：设等差数列｛a｝的公差为d,因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以n,结合公差为整数进而求出数列的公差.解答：解：设等差数列｛a｝的公差为d,n所以a6=23+5d,a=23+6d,又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=-4.故选C点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算.（2012•福建）等差数列电｝中，a+a=10,a=7,则数列｛”的公差为（）A.1B.2C.3D.4考点：等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：设数列电｝的公差为d,则由题意可得22—4410,a+3d=7,由此解得d的值.解答：解：设数列｛a｝的公差为d,则由产5=10,a=7,可得2a/4d=10,a+3d=7,解得d=2,故选B.点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z数列a1的首项为3,为等差数列且，若则二（）A.0B.8C.3D.11考点：等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值.解答：解：・・・为等差数列，，，b=b+(n-3)X2=2n-8・b=a-a・,数歹的首项为3Z.2X8-8=a8-3,・.a8=11.故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题..已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,3都有100项，则它们的公共项的个数为（）A.25B.24C.20D.19考点：等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：（法一”根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11・,数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,・・{a}的公差d=3X4=12,n・・a=11+12（n-1）=12n-1.又・.・5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,・.a=12n-1W302,即nW25.5.又・.・n£N*,•・两个数列有25个相同的项.故选A解法二：设5,8,11,与3,7,11,分别为｛a｝与｛b｝,则a=3n+2,b=4n-1.设｛aj中的第n项与｛bj中的第m项相同，即3n+2=4m-1,n=Jm-1.3又m、n£N*,可设m=3r(r£N*),得n=4r-1.根据题意得1W3rW1001W4r-1W100解得WrWVreN*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高..设S为等差数列｛a｝的前n项和，若满足a=a+2(n22),且53=9,贝4a=()A.5B.3C.-1D.1考点：等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：根据递推公式求出公差为2,再由S=9以及前n项和公式求出a/勺值.解答：解：a=a+2(n22),Aa-a=2(n22),・••等差数列｛a｝的公差是2,n由S3=3a+=9解得，a1=1.故选D.点评：本题考查了等差数列的定义，以及前。项和公式的应用，即根据代入公式进行求解.(2005•黑龙江)如果数列｛a｝是等差数列，则()nA.a+a>a+aB.a+a—3+aC.a+aVa+aD.aa—3a考点：等差数列的性质.501974分析：用通项公式来寻求a/ag与a+a5的关系.解答：解：Va+a8-(a+a5)=2a+7d-(2a+7d)=0・・a+a—3+a・・・故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质.TOC\o"1-5"\h\z(2004•福建)设S”是等差数列电｝的前n项和，若多二旦则包二()J5A.1B.-1C.2D.考点：等差数列的性质.501974专题：计算题.分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.解答：解：设等差数列｛aj的首项为用，由等差数列的性质可得a+a=2a,a+a=2a,故选A.点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前。项和公式以及等差中项的综合应已知等差数列｛aj的前n项和为S”，则有如下关系S?…二(2n-1)a:(2009•安徽)已知｛a｝为等差数列，a+a+a=105,a+a+a=99,贝4a?。等于()A.-1B.1C.3D.7考点：等差数列的性质.501974专题：计算题.分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得23和2的值，进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项公式求得答案.解答：解：由已知得a+a+a=3a=105,a2+aj-a6=3a=99,3—35,a—33,d—3—a=一2..-.a2=a+17d=35+(-2)X17=1.故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得23和a4.14.在等差数列｛"中，a=4,a=12,,那么数歹”事｝的前n项和等于()A.B.C.D.考点：数列的求和；等差数列的性质.501974专题：计算题.分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数歹山利用错位相减法求出数列的前n项的和.解答：解：・・,等差数列｛"中，a=4,a=12；.・.公差d=a6~aV2~4=?;6-2-6-2~a=a+(n-2)X2=2n；••9的前n项和，两式相减得*••故选B点评：求数列的前。项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法..已知Sn为等差数列｛an｝的前。项的和，a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6B.7C8D.9考点：等差数列的性质.501974专题：计算题.分析：由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a/aja/ajd①，根据等差数列的前n项和公式可得，Ilpx?=21,联立可求d,a,代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列｛"中，a+a=4,S=21根据等差数列的性质可得a3+aja〔+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a+a=6(2)②-①可得d=2,a=-3所以a=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题..已知数列｛a｝为等差数列，a+a+a=]5,aj7,则Sf的值为()A.30B.35C.36D.24考点：等差数列的性质.501974专题：计算题.分析：利用等差中项的性质求得23的值，进而利用用+26=as+a’求得人十26的值，代入等差数列的求和公式中求得答案.解答：解：a+a+a=3a=15,a=5・・a+a-3+a—12X6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质..（2012•营口）等差数列电｝的公差dVO,旧］二曰*，则数列电｝的前n项和S”取得最大值时的项数n是（）A.5B.6C.5或6D.6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：由，知a「a;O.由此能求出数列电｝的前n项和S”取得最大值时的项数n.解答：解：由，知a+a^O..*.a=0,故选C.点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式.要求学生能够运用性质简化计算..（2012•辽宁）在等差数列电｝中，已知'+28=16,则该数列前11项和S:（）A.58B.88C.143D.176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和.501974专题：计算题.分析：根据等差数列的定义和性质得3+3^3+3=16,再由S“二运算求得结果.解答：解：•・•在等差数列｛a｝中，已知a4+a8=16,・・.ai+aii=a4+a8=16,...＜社1?+己口)=88,故选B.点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前。项和公式的应用，属于中档题..已知数列｛a｝等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10,az+a/a/a/a;2。，则a4=()A.-1B.0C.1D.2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前。项和.501974专题：计算题.分析：由等差数列得性质可得：5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4,再由等差中项可知：a4=2a5-a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a/aja/a=2a,又a/a/a+a+a9=10,故5a5=10,即a5=2,同理可得5a6=20,a6=4.再由等差中项可知：a4=2a5-a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题..(理)已知数列｛2｝的前0项和S=n2-8n,第k项满足4〈2卜＜7,则k=()A.6B.7C.8D.9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前。项和.501974专题：计算题.分析：先利用公式a]；J；“（求出a”，再由第k项满足4<2卜<7,建立不等式，求出k的值.解答：解：a=nVn=1时适合a=2n—9,.\a=2n-9.V4<ak<7,.\4<2k-9<7,<k<8,又・.・k£N,k=7,+故选B.点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a二的合理运用，属于基础题..数列a的前n项和为S,若S=2n2-17n,则当S取得最小值时n的值为（）A.4或5B.5或6C.4D.5考点：等差数列的前n项和.501974专题：计算题.分析：把数列的前n项的和S”看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S”取得最小值时n的值.解答：解：因为S=2n2-17"2-,n又n为正整数，所以当n=4时，Sn取得最小值.故选C

点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题..等差数列｛aj中，a=2n-4,则S,等于()A.12B.10C.8D.4考点：等差数列的前n项和.501974专题：计算题.分析：利用等差数列｛aj中，a=2n-4,先求出用，d,再由等差数列的前n项和公式求S.解答：解：・・,等差数列｛aj中，a=2n-4,.*.a=2-4=-2,a=4-4=0,d=0-(-2)=2,/.S=4a+4X3=4X(-2)+4X3=4.故选D.点评：本题考查等差数列的前。项和公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和.23.若电｝为等差数列，a3=4,a8=19,则数列｛”的前10项和为（）A.230B.140A.230B.140C.115D.95考点：等差数列的前。项和.501974专题：综合题.分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.解答：解：a=a+2d=4®,a=a+7d=19(2),②-①得5d=15,解得d=3,把d=3代人①求得与二-2,所以S:10X(-2)+10X9X3=115故选C.点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题.24.等差数列｛aj中，a+a=5,则前10项和S;()A.5B.25C.50D.100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质.501974专题：计算题.分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a+aio=5,代入前10项和储0=运算求得结果.解答：解：等差数列｛aj中，a+a=5,：.a+a=5f・,•前10项和S|°==25,故选B.点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a「a;5,是解题的关键，属于基础题..设S”是公差不为0的等差数列电｝的前n项和，且S/S?S,成等比数列，则差等nn%于()A.1B.2C.3D.4考点：等差数列的前n项和.501974专题：计算题.分析：由S/S2，S,成等比数列，根据等比数列的性质得到S?2二SR,然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代人即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0,即可求出公差与首项的关系并解出公差d,然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值.解答：解：由S/S?S’成等比数列，(2a+d)2二(4a+6d).・.・d/0,・・・d=2al.===3.故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题..设a=-2n+21,则数列｛a｝从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质.501974专题：转化思想.分析：方法一：由a”，令"1求出数列的首项，利用a「a…等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当也时，2a前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a”大于等于0,列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案.解答：解：方法一：由a=-2n+21,得到首项用工-2+21=19,a=-2(n-1)+21=-2n+23,贝4a—a=(-2n+21)-(-2n+23)=-2,(n>1,n£N+),所以此数列是首项为19,公差为-2的等差数列，则S=19n+•(-2)=-n2+20n,为开口向下的抛物线，n当n二一=10时，S”最大.所以数列｛a｝从首项到第10项和最大.n方法二：令a=-2n+2120,解得nW，因为n取正整数，所以。的最大值为10,所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列｛a｝从首项到第10项的和最大.n故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值；也可以直接令汽20,求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解.二.填空题(共4小题)27.如果数列｛a｝满足：二3,’-工5:口£阴),则社=__•arri-lan”考点：数列递推式；等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果.解答：解：・・,根据所给的数列的递推式,・数列｛｝是一个公差是5的等差数列，1=3，=,・・数列的通项是故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目..如果千(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…)，且f(1)=2,则f(100)=101.考点：数列递推式；等差数列的通项公式.501974专题：计算题.分析：由f(n+1)=f(n)+1,x£N+,f(1)=2,依次令n=1,2,3,…，总结规律得到千(n)=n+1,由此能够求出千(100).解答：解：Vf(n+1)=f(n)+1,xEN+,f(1)=2,Z.f(2)=f(1)+1=2+1=3,f(3)=f(2)+1=3+1=4,f(4)=f(3)+1=4+1=5,…・・.f(n)=n+1,Z.f(100)=100+1=101.故答案为：101.点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答..等差数列｛aj的前n项的和s二6口_门工，则