几何与代数：第7周第1次课-复习第二章-内积-空间坐标系

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几代QQ群已满员,未能加入的同学请到“课程中心”下载课件和交流。Page87页第18题：可直接使用结论

A1

A2

A1

A2-1=-1-1第二章矩阵§2.4矩阵的秩

d-b-ca注意对于二阶方阵

abcdA=当|A|=ad-bc≠0时，A-1=1ad-bc19题:结论可记住并可直接使用21题：A=PBP-1

AP=PB-1=OABOOB-1A-1OAP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-2A2x)已知P=(x,Ax,A2x).=(x,Ax,A2x)01003-200188页23题：方法一

A

初等变换1-23k02k-23k-300-3(k+2)(k-1):=B讨论：k=1,k=-2,其余的情形22题：学会通过将矩阵化为行阶梯形矩阵求秩的方法，建议用行变换，虽然列变换也可以注：r3-kr1中的k可以为0，不必讨论88页23题：方法二|A|=-6(k-1)2(k+2)讨论|A|≠0,r(A)=3;|A|=0,…88页25题：B=P(1,3)AAB-1=AA-1P-1(1,3)=P-1(1,3)=P(1,3)总结：

n阶方阵A可逆存在B使得AB=BA=E存在B使得AB=E(BA=E)|A|≠0Ax=0只有零解(Ax=b有唯一解)

r(A)=n

AE(等价记号最好用)A可以写成若干个初等矩阵的乘积……(最好用)88页第26题（A,E

）（E,A-1

）行变换88页第27题

X(A-2E)=B=>X=B(A-2E)-1

如何计算(A-2E)-1

？(A-2E，E)行变换(E，(A-2E)-1)88页27题：

X(A-2E)=BA-2EB初等列变换

EB(A-2E)-1

或者将方程组化为

(A-2E)TXT=BT((A-2E)T,BT)初等行变换(E,XT)注意，不要轻易×X-1X=B(A-2E)-188页28题(找班长)对m×n矩阵的分类秩为0,1,2,…,min{m,n}等价于EiOOO(i=0,1,2,…,min{m,n}

)有事找班长ErOOO=M1+M2+…+MrMi=010……第i行第i列ErOOOA=PQ=P(M1+M2+…+Mr)Q=PM1Q+PM2Q+…+PMrQ88页28题(找班长)88页29题(找班长)(1)AX=Es有解=>r(A)≥r(AX)=sr(A)≤s,n=>r(A)=s(2)r(A)=s=>A=PEs×nQ(s)求解AX=Es

等价于求解PEs×nQX=Es(s)Es×nQX=P-1Es[EsO]QX=P-1QX=P-1O,X=Q-1P-1OQ-1P-1O=(s)

A=PEn×nQ(r)En×n(r)2=En×n(r)En×n(r)Q-1=QEn×n(r)

QQ-12

A=PQ-1En×nQ(r)QPC思考1：给定一个n×n矩阵A,一定存在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得A=PC,且C2=C.思考2：(满秩分解)设矩阵Am×n

的秩为r，则存在Bm×r和Cr×n使得A=BC,并且r(B)=r(C)=r.证明：A=PQErOOOErOOO=ErO

Er

OA=PQErO

Er

O=BC例.设A为sn矩阵,证明r(A)=1的充要条件是存在非零s维列向量和非零n维列向量,使得A=T.证明:(必要性)若r(A)=1,则存在可逆矩阵P

和Q使得A=P

Q.

10…000…0………00…0第二章矩阵§2.5初等矩阵

A=P

Q.

10…000…0………00…0T=(10…0)1nQ,

令

=P

,10…0s1则可以直接验证为非零的s维列向量,为非零的n维列向量,

而且A=T.

第二章矩阵§2.5初等矩阵

(充分性)若存在非零s维列向量和非零n维列向量,使得A=T,则r(A)r()=1.设

=,a1a2…as=(b1

b2…bn),其中某个ai和bj非零,则aibj为A中的非零元素,故r(A)1.因而r(A)=1.第二章矩阵§2.5初等矩阵

r(A)+r(B)≥r≥max(r(A),r(B))ABr(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min(r(A),r(B))≤从“自由度”的角度来记忆第二章矩阵§2.4矩阵的秩相关题：填空（10）88页30题（秩的不等式）：注意由A2=E得不到A=E，例如

P-1(i,j)=P(i,j)提醒巧用转置运算

第二章矩阵§2.5初等矩阵例已知r(A+B)r(A,B)对任意同型矩阵A,B成立，可以推得

r(A+B)r.AB事实上，r(A+B)r(A,B)=r(A,B)T

=rATBT=r(A+B)T=r(AT+BT)88页31题(伴随矩阵)：(1)r(A)=n,容易推得|A*|≠0或A*可逆.

自然r(A*)=n.

(2)r(A)=n-1,易知A*至少有一个元素不为零，所以r(A*)>0.又因为r(A)+r(A*)≤r(AA*)+n,且AA*=|A|E=0，所以r(A*)≤1.最终可得r(A*)=1.(3)r(A)<n-1,

A*=O.

问：如果两个同阶方阵是等价的(阶数≥2)，那么它们的伴随矩阵是否等价？反之呢问：方阵A经过初等变换变成B，那么

A*和

B*有什么关系呢？另外在作业中易犯的一个错误：

由

r(An×n)=n-1，假设A有一个零行.事实上，只能得到A的等价标准形有一个零行.88页31题(伴随矩阵)：相关题填空（8），选择（5，8，10）补充题1，288页31题(伴随矩阵)：温故而知新共线、共面向量的判定1.定义给定一组向量α1,α2,…,αs,令αi

=OAi

(i=

1,2,…,

s).若点O,A1,A2,…,As在同一直线（平面）上，则称向量α1,α2,…,αs共线(共面).OA1A2Asα1α2

αs共线=平行第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广规定零向量与任何向量共线设α1,α2,…,αs,β为一组向量，若存在一组实数k1,k2,…,

ks使得

β=

k1α1+k2α2+…+

ksαs

,

则称β可由α1,α2,…,αs线性表示.

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广设α1,α2,…,αl为一组向量,若存在一组不全为零的实数k1,k2,…,

kl使得

k1α1+

k2α2+…+

klαl=,

则称α1,α2,…,αl

线性相关，否则

称α1,α2,…,αl

线性无关.定理3.1

设向量,则

向量β与共线可以由唯一线性表示

(即存在唯一的实数m使得=m).

推论3.1

向量1,2共线

1,2线性相关

(即存在不全为零的实数k1,k2使得

k11+k22=).第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广4.判定定理3.2

若向量,

不共线,则

向量与,共面

可以由,唯

一线性表示(即存在唯一的实数对(m,n),

使得

=m+n

).

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广推论3.2

向量1,2,3共面

1,2,3线性

相关(即存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33

=).

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

DABCA,B,C,D四点共面.<=>DA,DB,DC共面

第三章几何空间第一节平面向量及其运算的推广§3.1.2空间向量的数量积1.物理背景.2.两个非零向量之间的夹角.第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广M

·F·

M力F做的功为||||·||||·cos若非零向量与之间的夹角为,定义与的内积为(2)若向量

=或

=,则规定它们的内积为零，记为3.数量积(点积,内积)的定义.·=0.第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广·=||||||||cos

·=0与

垂直

|·|=||||||||与

共线注:若和是非零向量

，则4.点积的性质.(1)正定性:·=||||20,且·=0=.(2)对称性:·=·.(3)(m)·=m(·)=·(m).(4)(+)·

=·+·.定义2

=·第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

ABPQlABP在l上的投影

AB在l上的投影向量

5.投影第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

ABlAB5.投影AB在上的投影为一个实数AB

=||AB||——AB与同方向时0——AB=时||AB||——AB与反方向时第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广AB

=||AB||cos

若

≠;其中为向量AB与向量的夹角.ABlAB=,AB·||||B

A

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

对于任意非零向量,,

=||||cos

(2)

·=0=0.||=||||.

(3)与共线|·|=||||·||||(1)·=||||||||cos

·,==||||·||

||下面证明点积的性质(4):

(+)·

=·+

·.+ABCQP||||||||||||(+)

=+(+)

=+·的法线AB′·下面是投影的应用:

·B′则点B到平面的距离为|ABn

|，其中A为平面上的任意一点.法向量n§3.2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个

非零向量唯一的线性表示.

=2,

=.121.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个

非零向量唯一的线性表示.(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个

不共线向量唯一的线性表示.

k1k2=k1+k2

§3.2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个

非零向量唯一的线性表示.(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个

不共线向量唯一的线性表示.定理3.3

在空间中取定三个不共面的向量1,2,

3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(a,b,c),

使得

=a1+b2+c3.§3.2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系§3.2空间坐标系321OPQM定理3.3

在空间中取定三个不共面的向量1,2,

3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(a,b,c),

使得

=a1+b2+c3.第三章几何空间§3.2空间坐标系定理3.3

在空间中取定三个不共面的向量1,2,

3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(a,b,c),

使得

=a1+b2+c3.第三章几何空间OP=a1+b2+c3

=a1+b2+c3

(aa)1+(bb)2+(cc)3=

1,2,3不共面aa=bb=cc=0a=a,b=b,c=c.321O2.仿射坐标系{O;1,2,3

}坐标原点;坐标向量(基);坐标轴;坐标平面;§3.2空间坐标系第三章几何空间若OP=a1+b2+c3,则称(a,b,c)为OP或点P的坐标.

2.仿射坐标系{O;1,2,3

}坐标原点;坐标向量(基);§3.2空间坐标系第三章几何空间向径;321OPQM也可记OP=(a,b,c).(a,b,c)坐标;坐标轴;坐标平面;2.仿射坐标系{O;1,2,3

}O1

2

3

右手仿射坐标系O2

1

3

左手仿射坐标系§3.2空间坐标系第三章几何空间右手坐标系的像是左手坐标系

3.直角坐标系{O;i,j,k}§3.2空间坐标系第三章几何空间yzxO

P

abc(a,b,c)也可记OP=(a,b,c).若OP=ai+bj+ck,则称(a,b,c)为OP或点P的坐标.

i

j

k

第三章几何空间§3.2空间坐标系

卦限VIVIIIIIIIIIVVVIIIyzxO第三章几何空间§3.2空间坐标系

二.空间向量线性运算的坐标表示

+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),+=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,=a1i+a2

j+a3k,=b1i+b2

j+b3k,k=ka1i+ka2

j+ka3k,=(ka1,ka2,ka3).第三章几何空间§3.2空间坐标系

=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),k+l

=k(a1,a2,a3)+l(b1,b2,b3)

=(ka1,ka2,ka3)+(lb1,lb2,lb3)

=(ka1+lb1,ka2+lb2,ka3+lb3)

例.设两个定点为P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2),求向量P1P2的坐标.xyzP1P2OP1P2=OP2OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)

=(x2x1,y2y1,z2z1).

§3.2空间坐标系第三章几何空间P例.如何判定向量OP1(x1,y1,z1),

OP2(x2,y2,z2)是否共线？

定理3.1

设向量,则

向量β与共线可以由线性表示

(即存在唯一的实数m使得=m)提示：例.如何判定三点P1(x1,y1,z1),

P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)是否共线？

例.设两个定点为P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2),

若点P(x,y,z)把有向线段P1P2分成定比,

即P1P=PP2(1),求分点P的坐标.xyzP1POP2OPOP1=(OP2OP

)OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z21+.§3.2空间坐标系第三章几何空间第三章几何空间§3.2空间坐标系

三.空间向量数量积的坐标表示

=(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2

j+b3k)=a1i+a2

j+a3k

=b1i+b2

j+b3k

=a1i(b1i+b2

j+b3k)+a2

j(b1i+b2

j+b3k)+a3k(b1i+b2

j+b3k)=a1b1

+a2b2

+a3b3

i2=j2=k2=1,i·j=j·k=k·i=0.第三章几何空间§3.2空间坐标系

三.空间向量数量积的坐标表示

=a1b1+a2b2+a3b3

=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)

例.

=a12+a22+a32

||||2=||||=a12+a22+a32

点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为||P1P2||=()2+()2+()2

x2x1

y2y1

z2z1

第三章几何空间§3.2空间坐标系

例.设非零向量

=(a1,a2,a3),

=(b1,b2,b3)

之间的夹角为,则·=||||·||||·cos,cos=·||||||||a1b1+a2b2+a3b3

=b12+b22+b32a12+a22+a32=||||·cosa1b1+a2b2+a3b3

=b12+b22+b32第三章几何空间§3.2空间坐标系

yzxO

cos1,cos2,cos3——的方向余弦

1

2

3

1,2,3——的方向角

kcos1,kcos2,kcos3——的方向数(k0)第三章几何空间§3.2空间坐标系

=(a1,a2,a3)的方向余弦

cos21

+cos22

+cos23=1cos1=a1

a12+a22+a32

yzxO

1

2

3

cos2=a2

a12+a22+a32

cos3=a3

a12+a22+a32

作业习题三（B）

6,9,10,11,12；

第16题中点B的坐标改为(0,1,3)上交时间：11月6日（周二）笛卡尔(R.Descartes,1596-1650，法)，费马(P.

deFermat,1601-1665,法),

创立了平面解析几何学；约翰.伯努利(J.Bernoulli,1667-1748,瑞士)

引进了现在通用的三个坐标平面

；欧拉(L.Euler,1707-1783,)

给出了现代形式下的解析几何的系统叙述；拉格朗日(J.L.Lagrange,1736-1813,法)

提出了向量的概念。关于几何《几何原本》是古希腊数学家欧几里得公元前300年所著的一部数学著作，共13卷。这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。在几何学上的影响和意义《几何原本》提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学。并且《几何原本》中的命题1.47，证明了勾股定理，从而说明了欧洲是最早发现勾股定理的大洲。论证方法上的影响

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。作为教材的影响

由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，《几何原本》巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。《原本》的缺憾

由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（MatteoRicci，1552-1610）和徐光启(1562-1633，明末，上海吴淞人)合译的前6卷，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。该译本第一次把欧几里得几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的,一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。后9卷由英国人传教士伟烈亚力(1815-1887，汉学家)和中国科学家李善兰（1811-1882，浙江海宁人，清代）在1857年译出。五条公理

1.等于同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量减等量，