跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律

跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律一、问題的缘起B［例1】如图所示，物体Z和£由跨过轻质滑轮的轻绳连接后竖直悬挂，撚后由静止释放，己知/的质量为祝、2的质量为Af,且h^>m7不计一切摩擦，求力上升的加遠度。B本题常见两种解法，如下：解法一：设绳中张力为齐，则由牛顿第二定律，对有：班一徳=曲"对乩有盹一FT=Ma39其中：5=引，联立解得：乙=極_咚M-i-m解法二：选刃、B.轻绳系统为研究对象，由系统的牛顿第二定律，有：Mg~mg=(M+m>2,解得：a=阵_吨。【质疑】按常规理解，第二种解法存在一些明显的问题：等式左边，两个重力方向均向下，按矢凰合成规则，怎么能够相减？等式右边，无、如两个加速度方向相反，肱^和胺久怎么能够相加？而且.真的选丄、0、轻绳系统为研咒对象，其受力还有滑轮对整体向上的弹力F，且系统的牛顿第二定律的方程应为：砸+陛一【解释】当然，我们可以认为，解法二的方程实际上是解法一两个方程联立得到的一个数学结论式7没有物理意义。可是’列解法二方程时，我们的解释往往是：我们研究的是刿、鸟沿绳的运动——A.召沿绳运动的加遠度相同，沿绸方向看，两个莹力的方向相反，所以有:明显，这种理解足有物理意义的’那么’前面的质疑又如何回应？或者说这种理解是不科学・不严潼的？二u问理的解决K曲线坐标系下物体运动的动力学在上述问题中，我们可以在绳上取某个点为原点，规定从物体Z经厂、滑轮到物体召为该曲线的“正方向"，从而建立起一个描述物体运动位置的“曲线坐标系J如果物体沿绳运动，则其沿绳运动的加速度即为自然坐标系下的切4向加遠度，由牛顿第二定律，有：眞=叫；如果物体不沿绳运动，我们可以将物体运动分解到垂直绳和沿绳方向，物体沿绳方向的加速度可 、s根据极坐标系等求出，沿绳方向仍燃有动力学方程：巴=叫2.跨滑轮绳连接物体系的牛顿第二定律在前述例题中’若我们沿绳建立曲线坐标系’规定从力经滑轮到0为正方向，则分别对两物体列动力学方程，有：对壬雄十(-=maA对禺Mg+I^=MaM其中：aA=ag=a,用二-毘

前两式相加，得：Mg—mg=(M+m)2此式即为卫、B.轻绳系统在曲线坐标系下的牛顿第二定律方程，其理解就是：P均沿绸的运动一一沿绳方向看，月、召沿绳运动的加速度相同，两个重力的方向相反，所以有：【例2】如图所示，压力传感器能测量物体对其正压力的大小，现将质呈分别为/皿拠的物块和小球通过轻绳固定，并跨过两个水平固定的定滑轮(滑轮光滑且较小当小球在竖直面内左右摆幼且髙度相等时，物块始烫没有离开水平放宣的传感器.已知小球摆动偏离竖直方向的晟大角度为&，滑轮o到小球间细践长度为2,重力加速度为幻求；小球摆到最低点时，压力传感器示数为0,则必加的大小.【解析】设小球在最低点速度为仞则由机械能守恒，有加0(1-cos&)=-mv2当小球运动到最低点时，沿绳方向建立如因所示曲线坐标系；此时，物块M沿绳的加速度为零，但小球稲绕。点做圆周运动，因此有沿绳方向的加速度a召,则由系统的牛顿第二定N^-mg=MxQ+ma律,有N^-mg=MxQ+ma解得:M/m=3-2co&6三、对物体系的牛顿第二定律的一个说明物体系的牛顿第二定律的方程的得来，是先用隔离法分别对系统内各个物体列牛顿第二定律的方程，然后几个方程相加而得来，在相加过程中，我们傲了一个“数学处理”一一作用力和反作用力等大反向相加为零化这个数学处理，从物理角度来说是不合适的，作用力和反作用力分别作用在系统内不同物体上，其效果是不能叠加的7因此J相加为零^是不合适的。从这个意义上讲，物怵系的牛顿第二定律的方程是一个数学方程，不具有严谨的物理意义。很多学生很难理解物体系的牛顿第二定律，他们常常问的问題是：作用在月上的外力，如何能够在£上产生加速厦？但是，这个数学方程用起来是方便的，因为该方程中没有内力，所以列出的方程简駁。在用曲线坐标系处理跨滑轮绳连接物体系的运动时，绳中张力即是内力，且等大S反向，因此也没有出现在方程中。此时用物体系的牛顿第二定律还避免了a滑轮弹力(其方向是垂直绳的)的引入，大大简化了方程和计算。a四U应用示例【例3】如图所示，固定的粗糙斜面顶端有一个轻质滑轮，物体力和芳由跨过滑轮的轻绳连接，然后由静止释放，己知斜面倾角为出卫物体与斜面的动摩擦因数松貝的质昼为％、石的质屋:为血7且皿轻绳足够长，求爲下降的加速度。O.rag

O.rag【解析】如图，沿绳建立曲线坐标系，规定从卫经滑轮到£为正方向，则对A.£、轻绳系统，由系统的牛顿第二定律，有趣—咤sin8—卩陛cos^=（M+眈）比解得：Mgmgsin0pmgco&ffo Mim［例山】如图所示，质昼为加的物体卫静止放在光滑水平地面上，跨过等高的两个轻质小滑轮的轻绳将其与质量为M=lm的物体F连接。己知两小滑轮到地面高度乩开始时绳与水平方向夹角为a-30%现由静止释放必、乩此后运动过程中，-4-H未离开地面。试求：（1）刚释放瞬间3的加速度；〔2〕E下降勺时，E的加速度。【解析】整个运动过程中,V、绳与水平方向夹角为8时，的运动分解到垂直、沿绳方向,&的加速度均沿水平方向向右。当?!向右的速度为如图，以左边滑轮O为参考点建立极坐标系，将月兰dr标屋化，得而且有：=atan0. 二—-Tw dl〔1）【解析】整个运动过程中,V、绳与水平方向夹角为8时，的运动分解到垂直、沿绳方向,&的加速度均沿水平方向向右。当?!向右的速度为如图，以左边滑轮O为参考点建立极坐标系，将月兰dr标屋化，得而且有：=atan0. 二—-Tw dl〔1）刚释放瞬间’力速度为零：则有anl=a-r建立如图所不曲线坐标系，则由牛顿第二定律，有J^+F^siiia-mgsiiLa=(M+m)a^mgco&a—Fmco&a—maT[其中：arl=an{taika联立解得:an=MK+m(l+tan2a)g=06g〔2）当E下降?时，设/、E的速度分别为血、巾，则有:"吋血，其中：卜总一侖'Mgtmg+Fm"吋血，其中：卜总一侖'Mgtmg+Fmsmf