中考数学专题突破复习：题型专项(三)-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

题型专项(三)一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(2021·成都)关于x的方程3x2＋2x－m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．解：∵关于x方程3x2＋2x－m＝0没有实数根，∴Δ＝22－4×3×(－m)<0.解得m<－.2．(2021·自贡富顺县六校联考)关于x的方程x2－(k＋1)x－6＝0.(1)求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设方程的一根为2，试求出k的值和另一根．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(－6)＝(k＋1)2＋24≥24，∴无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)解法一：将x＝2代入方程x2－(k＋1)x－6＝0中，22－2(k＋1)－6＝0，即k＋2＝0，解得k＝－2.∴x2－(k＋1)x－6＝x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)＝0.解得x1＝2，x2＝－3.故k的值为－2，方程的另一根为－3.解法二：由题意得∵x1＝2，∴x2＝－3.∴k＋1＝2＋(－3)，即k＝－2.3．(2021·绵阳三台县一诊)关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)假设方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)假设方程两实数根为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝(－4)2－4m＝16－4m≥0.∴m≤4.(2)∵x1＋x2＝4，∴5x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋3x1＝2×4＋3x1＝2.∴x1＝－2.∴x2＝6.∴m＝x1x2＝－2×6＝－12.4．(2021·南充二诊)关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)假设x1，x2满足|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，求k的值．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－3)]2－4(k2＋1)＝4k2－12k＋9－4k2－4＝－12k＋5＞0.解得k＜.(2)∵k＜，∴x1＋x2＝2k－3＜0.又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝－2k＋3.∵|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，∴－2k＋3＝2k2＋2－3，即k2＋k－2＝0.∴k1＝1，k2＝－2.又∵k＜，∴k＝－2.5．(2021·鄂州)关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0.(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？假设能，求出此时k的值．假设不能，请说明理由．解：(1)证明：①当k－1＝0，即k＝1时，方程为一元一次方程2x＋2＝0，解得x＝－1.方程有一个解；②当k－1≠0，即k≠1时，方程为一元二次方程，Δ＝(2k)2－4×2(k－1)＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．综上，无论k为何值，方程总有实数根．(2)∵x1＋x2＝－，x1x2＝，∴S＝＋＋x1＋x2＝＋(x1＋x2)＝＋(x1＋x2)＝＝＝2(k－1)．假设S＝2，那么2(k－1)＝2.∴k＝2.∴当k＝2时，S的值为2.6．(2021·荆州)在关于x的分式方程＝2①和一元二次方程(2－k)x2＋3mx＋(3－k)n＝0②中，k，m，n均为实数，方程①的根为非负数．(1)求k的取值范围；(2)当方程②有两个整数根x1，x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；(3)当方程②有两个实数根x1，x2，满足x1(x1－k)＋x2(x2－k)＝(x1－k)(x2－k)，且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．解：(1)∵关于x的分式方程＝2的根为非负数，∴x≥0且x≠1.∴x＝≥0，且≠1.∴解得k≥－1且k≠1.又∵一元二次方程(2－k)x2＋3mx＋(3－k)n＝0中，2－k≠0，∴k≠2.综上可得，k≥－1且k≠1且k≠2.(2)∵一元二次方程(2－k)x2＋3mx＋(3－k)n＝0有两个整数根x1，x2，把k＝m＋2，n＝1代入原方程得－mx2＋3mx＋(1－m)＝0，即mx2－3mx＋m－1＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝＝1－，∵x1，x2是整数，k，m是整数，∴1－为整数．∴m＝1或m＝－1.∴把m＝1代入方程mx2－3mx＋m－1＝0得x2－3x＝0.解得x1＝0，x2＝3.把m＝－1代入方程mx2－3mx＋m－1＝0得－x2＋3x－2＝0，解得x1＝1，x2＝2.(3)|m|≤2不成立，理由：由(1)知：k≥－1且k≠1，k≠2.∵k是负整数，∴k＝－1.∵(2－k)x2＋3mx＋(3－k)n＝0有两个实数根x1，x2，且