5-1-1-奇数与偶数1.题库教师版

教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶例题精讲模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例1】的和是奇数还是偶数？【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【巩固】得数是奇数还是偶数？【解析】偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。【巩固】得数是奇数还是偶数？【解析】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。【例1】的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【解析】特殊数字：“”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有是奇数，又因为奇数偶数奇数，所以这个题的计算结果是奇数．【巩固】的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】在算式中，都出现了次，所以是偶数，而也是偶数，所以的和是偶数．【巩固】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：，他做得对吗？【解析】等式左边是偶数，是奇数，是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【解析】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。或【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.1【解析】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【巩固】能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.2【解析】从性质上看，选出5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.【例4】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？1【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75.【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？2【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题意知道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。【例5】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．1【解析】由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．【巩固】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？2【解析】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法【例6】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?1【解析】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？2【解析】不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。【巩固】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？3【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。【例7】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：是一个偶数1【解析】因为在a,b,c中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c两个数中至少有一个是奇数，那么和中至少有一个是偶数，所以中至少有一个因数是偶数，结果为偶数.【巩固】小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明的结论吗？2【解析】由小红的提出的等式组，我们可以得到，，，，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要求四个数都是奇数，因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样中任意三个数的乘积也为奇数，导致等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾。【例2】设,,,,,,都是整数，试说明：在中，必有奇数个偶数．【解析】加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考虑这7个数的和．，和是偶数，,,,,,,中，必有偶数个奇数，因而必有奇数个偶数．【例3】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【解析】入手点：最小的两位奇数是，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由，，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：，，，．【例4】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．【解析】甲手中的8张卡片上分别写了6，8和10．甲知道其余张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中．因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数．但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数．于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．【例5】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？【解析】甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的是23．设甲左手握的数为，右手握的数为，乙同学请甲计算所得结果为，则．⑴若为奇数，则为奇数，所以左手握的数是奇数．⑵若为偶数，则为偶数，所以左手握的数是偶数．因此，从的奇偶性就可以断定左手握的数的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32．在本题中，为奇数，因此合于第(1)种情况，是奇数，即左手中握的是23．【例6】在一张行列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如．问：填入的个数字中是奇数多还是偶数多？【解析】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多个．所以前行中奇偶数一样，余下第行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？【解析】奇数行奇数多1个，偶数行全是偶数，显然偶数多。模块三、奇偶模型与应用题【例7】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上等于．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．【解析】因为两个数的和与两个数的差的奇偶性相同，所以的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．【例8】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数【解析】不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1到9中共有5个奇数，分别分成3组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有5个奇数，所以无法填入。【巩固】你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?【解析】不能。分析过程与例7类似。【例9】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【解析】不能。2个三位数的和为999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27，而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a，则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。【巩固】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【解析】不能。本题为上一例题的拓展练习。【例10】有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？【解析】不会。观察前4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇，而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第5个数为奇数，第6个为偶数，第7个为奇数，第8个为奇数，整体的出现规律为奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶……，所以不肯能有两个连续的偶数，所以1、9、8、8不会出现。【巩固】数列，，，，，，，，，，的排列规律是前两个数是，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前个数中共有几个偶数？【解析】三个一组三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律．可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶…这样的变化规律，因为，所以前个数有个偶数.【巩固】黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？【解析】黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现2008。【例11】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？【解析】⑴握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人．总次数偶数次人数偶数⑵握奇数次手的总次数握手总次数由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次．那么贺年卡的总张数应能被整除，所以贺年卡的总张数应是偶数．送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数．另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数偶数偶数【解析】不能，杯子要翻过来得翻奇数次，5个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动4个，那总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，因此不能把5个杯子的开口全都向下．【巩固】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【解析】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动4只杯子，因为4是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．【例13】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？【解析】按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数是偶数．那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数．可是，要使7个房间的灯由开变为关，需要拨动各个房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次．这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数．所以按照要求不能把全部房间的灯关上．【巩固】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【解析】不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.【例14】四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问：⑴年龄最大的人是多少岁？⑵另外两人的岁数的奇偶性相同吗？【解析】先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将97岁减去7岁，则两组人的岁数和相等（可以按照和差问题求出大小数），然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶性．⑴另外两人的岁数和是：（岁）年龄最大的人的岁数：（岁）⑵因为另外两人的年龄和是45岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁数是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同．【例15】在“”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子．若要求行、列、条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“”的方格中最多可以放多少枚棋子？【解析】如图，观察向左下倾斜的15条斜线，其中的方格数依次是：1，2，3，，7，8，7，，3，2，1，其中有8个奇数，表明有8条斜线中必须至少缺一个棋子．同理右下倾斜的斜线中，也有8条必须缺一个棋子．这样，总共至少缺16个子．下图表明缺16个棋子的时候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空格．【例16】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3(如图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?【解析】假设满足条件的大正方体ABCD－EFGH可以拼成(见图2)，即它的每个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数．那么这个大正方体的六个面上的24个数字之和S就等于这6个连续自然数之和．又因为，6个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以6个连续自然数之和必是奇数，即S是奇数．另一方面，考虑大正方体的8个顶点A、B、C、D、E、F、G、H，它们分别是一个小正方体的顶点．由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的3个数字分别为1、2、3．这样大正方体的六个面上的24个数之和S=8×(1＋2＋3)=48．即S又应该是偶数．所以这是不可能的．【例17】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”那么请你证明：k为偶数．【解析】由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同，如果有a个物理学家说谎，同时也会有a个化学家说谎。所以总共有2a个人说谎。而最后发现有k个物理学家的身份被说谎的人改变了，每一个人只能影响有右邻的人，说明有k个说谎的人，那么k=2a，则说明k是偶数。【例18】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每