数学双专-常微分方程第四章

§

4.1General

Theory

of

Higher-Order

Linear

ODE§

4.1内容回顾(4.2)21(t)x

a

(t)x

0nn1x(n)

a

(t)x(n1)

a解的性质与结构。♣n阶齐次线性方程的所有解构成一个n

维线性空间方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。本节

要求/Requirements/熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法熟练掌握

方程的求解方法3§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE结构齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和。非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法4§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE4.2.1复值函数与复值解/Complex

Function

and

Complex

Solution/—

定义z(t)

(t)

i

(t)t

[a,b]，(t)，

(t)是定义在[a,b]上的实函数。极限lim

z(t)

lim

(t)

i

lim

(t)tt0

tt0

tt0t0

[a,b]，连续lim

z(t)

z(t0

)

t0

[a,b]，tt0导数tt0lim

z(t)

z(t0

)

lim

(t)

(t0

)

i

lim

(t)

(t0

)tt50dt

dtdt

t

tt

t0t

t000

t

t0z(t)

z(t

)

dzlim

0

z(t

)

t

t0

t

t0

t

t0

d

iddtd212z

(t))

1(z

(t)

dt

dtdtdz

(t)

dz

(t)1d

[cz

(t)]

c

dz1

(t)dt

ddt如dtz2

(t)

z1(t)dtdz

(t)dz

(t)(z1

(t)

z2

(t))

21§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE易验证j

1,2

t

[a,b]，z

j

(t)

j

(t)

i

j

(t)1

2

1

1

2

2dt

dt

d

(z

(t)

z

(t))

d

(

(t)

i

(t)

(t)

i

(t))dt1

2

1

2

d

{[

(t)

(t)]

i[

(t)

(t)]}dt

dt1

2

1

2

d

[

(t)

(t)]

i

d

[

(t)

(t)]

i

d

2

)

dz1(t)

dz2

(t)dtdtdtdt

(

d1

i

d1

)

(

d2dt

dt6二

关于ekt表示k

i共轭复数，定义ekt

e(

i

)t

eteit

et

(cos

t

i

sin

t)e(

i

)t

et

(cos

t

i

sin

t)eit

cos

t

i

sin

teit

cos

t

i

sin

tk

ik

i

,为实数，t为实变量。ekt

e(

i

)t

e(

i

)t

et

(cos

t

i

sin

t)

et

(cos

t

i

sin

t)

ekt7§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODEekt的性质1）

e(k1

k2

)t

ek1t

ek2t

kektdektdt2）

k

nekt8dt

nd

nekt3）结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致。§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODEdt

nnd

xd

n1xdt

n11

a

(t)n1dtn

a

(t)

dx

a

(t)x

f

(t)

(4.1)§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE三

线性方程的复值解/Complex

Solution

of

Linear

Higher-Order

ODE如果定义在

[a,

b]

上的实变量的复值函数

x

z(t)

满足方程则称

x

z(t)

为方程的一个复值解。d

n1xdtn19nd

x1

a

(t)dtn1

n

a

(t)

dx

a

(t)x

0

(4.2)dtn定理8

如果方程4.2中所有系数ai

(t)(i

1,2,,

n)都是实值函数，而

x

z(t)

(t)

i

(t)

是方程的复数解，则

z(t)

的实部

(t)，虚部

(t)

和共轭复数函数

z(t)也是方程4.2的解。d

n

x

dx定理9

若方程

dtn

a1(t)

dt

n1

an1

(t)

dt

an

(t)x

u(t)

iv(t)d

n1x有复数解x

U

(t)

iV

(t),这里ai

(t)(i

1,2,...,n)u(t)及v(t)都是实函数。那么这个解的实部U

(t)和虚部V

(t)

分别是方程dx

an1

(t)

dt

an

(t)x

u(t)d

n

x

a1

(t)

dt

n1d

n1

xdt

n和d

n

x

dx10

an1

(t)

dt

an

(t)x

v(t)a1

(t)

dt

n1d

n1

xdt

n的解。§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODEdx

an1

dt

an

x

0d

n1

xdt

n1L[x]

adt

n

1d

n

x…….(4.19)为常数。其中a1,a2

,...,an为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。n

阶常系数齐次线性方程x

e

t1n1nn1

tL[et

]

net

a

e

aet

a

et

01nn1nF

()

a

n1

a

a

0

…….(4.21)etF

()

0

满足etx

e

t结论：x

e

t

是方程(4.19)的解的充要条件

满足F

()

0特征方程特征根§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE4.2.2

常系数齐线性方程和

方程/Coefficient

Linear

Homogenous

Higher-OrderODE

And

Euler

Equation/L[et

]

et

F()11§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE下面根据特征根的不同情况分别进行

。1)特征根为单根的情况设1

,2

,,n

是特征方程（4.21）的n个互不相等的根，则相应的方程（4.19）有如下n个解e1t

,

e2t

,

,

ent这n个解在区间

t

上线性无关，从而组成方程1

n1

nnn1

a

a

a

0F

()

的基本解组。事实上，1213nn

te1tn

t

e

eW

(t)

e121.............

ee.....21n1

t2e2t

ent

tn1

t2112

nn1n1n111.....................n1ent范行列1....12....n............

e1

2

n(

)te1t

,

e2t

,

,

ent是方程的基本解组。方程4.19的通解可表示为

x

c

e1t

c

e2t

c

ent2

n1(Vandermonde)式i

j

0(i

j)§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE14对共轭的出现，设1

i2

i则方程（4.19）有两个复值解方程的一个特征根也是一个特征根e(

i

)

t

e

t

(cos

t

i

sin

t)e(

i

)

t

e

t

(cos

t

i

sin

t)§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成对应两个实值解e

t

cos

t,

e

t

sin

t例1求方程dt

415d

4

x

x

0的通解。解第一步：求特征根F()

4

1

0第二步：求出基本解组3,4

i1,2

1,et

,

et

,cost,

sin

t第三步：写出通解x(t)

c

et

c

et

c

cost

c

sin

t1

2

3

4§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE例2求方程x

0dt3d

3

x

的通解。解第一步：求特征根F()

3

1

02

23

1

i2,31

1,

第二步：求出基本解组e

t

,sin

ttte

cos

t,

e

32

321212第三步：写出通解t16t

32sin

t3t

c

e

32121x(t)

c

et

c

e2

cos1

2§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE17§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE2)特征根有重根的情况设1

,2

,,m

是特征方程（4.21）的m个互不相等的根。dt

nL[x]

d

n

xdx

a1

an1

dt

an

x

0dt

n1d

n1

x…….(4.19)1

n1

nn1

a

0

a

aF

()

n…….(4.21)重数k1

,

k

2

,

,

km

k1

k

2

km

n,

ki

1I.

设1

0

是

k1

重特征根1nk1n1

a

0n

k1

a

1nk

1n

n1a

a

a

0

0111n1d

n1x

a1

ankkd

k

xnd

n

xdtdtdt

01an

k显然

1,t,t

2

,,tk1

1是方程的k1

个线性无关的解，方程(4.19)有

k1

重零特征根方程恰有k1

个线性无关的解1,t,t

2

,,tk1

1II.

设1

0

是

k1

重特征根令x

ye1

tdt

ndtn1

nn

n1L[x]

d x

a

d x

a

dx

a x

01

dt

n1…….(4.19)118d

k1

x

ank

01d

n1xdtn1a1d

n

x

dtkdtn§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODEy

b

y)

0

b2

n1e1t

(y(n)

b

y(n1)

b

y(n2)n特征方程

G()

n

b1n1

bn1

bn

0(4.24)19L[ye1t

]

y

b y

0n…….(4.23)L

[

y]

y(n)11

b

y(n1)1

b

y(n2)

b2n11L[

ye1t

]

e1t

L

[

y]§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODEx(m)

(

ye1t

)(m)

111111m

t(m)

t

ye

yem(m

1)1

2!y

e

my

e

2

(m2)

t(m1)

tF(

1)

G()(4.19)的k1重特征根1(4.23)的k1

重特征根零,

j

1,2,,

k1120dG

j()d

jd

jjdF

(

)11(

)tF

(

)e

L[e(1

)t

]

L[e

te1t

]11

t

t

e L

[e

]1(

)t

e

G()1L[

ye1t

]

e1t

L

[

y]1j

1,2,,

k

11(j

)F

(

)

0,11(k

)F

(

)

0,§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE方程(4.23)恰有k1

个线性无关的解1,t,t

2

,,tk1

112mk1k

2kme1t

,te1t

,t

2e1t

,,tk1

1e1te2t

,te2t

,t

2e2t

,,tk2

1e2temt

,temt

,t

2emt

,,tkm

1emtk1

k

2

km

n,

ki

1由

x

ye1

t方程(4.19)恰有

k1

个线性无关的解

e1t

,te1t

,t

2e1t

,,tk1

1e1t类似地基21本解组(4.26)§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE22j证明

假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数

A

(

r

)使得0

1

k1

1(A(1)

A(1)t

A(1)

t

k1

1

)e1t(A(2)

A(2)

t

A(2)

t

k2

1)e2t0

1

k2

1(A(m)

A(m)

t

A(m)

t

km

1

)emt

00

1

km

11P

(t)e

1t

P

(t)e

2t

P

(t)e

mt

02

m(4.27)假定多项式

Pm(t)

至少有一个系数不为零，则

Pm(t)不恒为零，2

1m

P

(t)e

(m

1

)t

0(

)tP1

(t)

P2(t)e微分k1

次§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE[P

(t)e

(r

1

)t

](k1

)rrkr

1

r

1

r(k

)r

11(

)t(k

1))

P

(t)]e(t)

(r

1(t)

k

(

)P1

[Pr

Q

(t)e

(r

1

)tQm

(t)

不恒为零，

02mQ

(t)e

(2

1

)t

Q

(t)e

(m

1

)t(Qm

(t))

(Pm

(t))(Qr

(t))

(Pr

(t))

0mR

(t)e

(m

m1

)t(Rm

(t))

(Pm

(t))Rm

(t)

不恒为零，e(m

m1

)t

0！(4.26)

中函数线性无关，其构成的解本解组。23241

i2

i§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE方程的一个k

重特征根也是一个k

重特征根它们对应2

k个线性无关的实解是e

t

cos

t,

te

t

cos

t,,

t

k

1e

t

cos

t,e

t

sin

t,

te

t

sin

t,,

t

k

1e

t

sin

t,例3

求方程

d

3

x

3

d

2

x

3

dx

x

0dt3

dt

2

dt25的通解。解第一步：求特征根F()

3

32

3

1

0第二步：求出基本解组et

,

tet

,

t

2et

,第三步：写出通解1,2,3

1,x(t)

c

et

c

tet

c t

2et1

2

3§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE例4求方程d

4

x

d

2

x

dt

4

2

dt226x

0的通解。解第一步：求特征根F

()

4

22

1

0第二步：求出基本解组1,2

i

二重根cos

t,

t

cost,

sin

t,

t

sin

t,第三步：写出通解x(t)

c1

cost

c2

t

cost

c3

sin

t

c4

t

sin

t§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE27作业：P.113，第4，6，7，8，9题P.145，第2，3，4，5，6题§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE可化为常系数线性方程的方程------- (Euler)

方程(4.29)

a1xn1

d

n1

ydxn1dy

an1x

dx

an

y

f

(x)dxnxn

d

n

y其中a1,a2

,...,an引入自变量代换为常数。x

etln

x

tdx

et

dtdy

dy

dt

et

dy

1

dy(edx

dt

dxtdt

x

dtd

2

y

d

dy

)

dx2

dx

dtdt

2

dx(et

edy

t

d

2

y

dtdt)d

2y

dy2t1

d

2

y

dy

)dt

e(

dt

2

dt

)

x2

(

dt

2§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE28假设dxm

xm

(

dtmdtm1m1d

ymdm

y

1

d

y

1

m1dtdy

)自然数m

有以下关系式成立，1,2

,,m1为常数)]dxm1dm1

y

ddtdydtdx

x

dtmm1

d

y[

m

(m1m1d

y

1

m1

m1

dtdy

)]

dtdxdtmmd

ydmtdtm1m1d

y[e

(

1dtdt

dt

mdtmmd

ym1d

ydtm1d

m1

ydt

m1mtdtdy)]et

m1d d

m

yemt

m1dtdy

)

[me

(

(

11)291

xm1

(

dtm1

1dm1

ydtdydtmdm

y

m§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE对一切自然数m

均有以下关系是成立，dm

y

1

dm

ydxm

xm

(

dtmdm1

y

dtm1

1dy

m1dt

)原方程(4.30)d

n1

yb1

dt

n1tn

b

y

f

(e

)dt

nd

n

y

dtdy

bn1可化为常系数线性方程(4.29)30

a1xn1

d

n1

ydxn1dy

an1x

dx

an

y

f

(x)dxnxn

d

n

yx

et§

4.2

Solving

Method

of

Constant

Coefficients

Linear

ODE方程x

et常系数线性方程y

ek

ty

xk

F

(k)

0F

(

k

)

0确定求解方程的过程

a1xn1

d

n1

ydxn1dy

an1x

dx

an

y