指数函数及其性质(二)课件

（二）指数函数及其性质（二）指数函数及其性质

图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a>1)yx(0,1)y=10y=ax(0<a<1)定义域:值域:必过点：在R上是在R上是a>10<a<1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数1.指数函数:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数其中x是自变量,函数定义域是R.图象性质yx0y=1(02xoy在第一象限里,图象从低到高,底数逐渐变大.指数函数图象与性质的应用：

1.理解概念xoy在第一象限里,图象从低到高,底数逐渐变大.指数练习1.在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图,则a,b,c,d,1之间从小到大的顺序是__________________.指数函数图象与性质的应用：

练习1.在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,指数函数【2】指数函数满足不等式,则它们的图象是(

).C.A.B.D.D【2】指数函数例1.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1,求当x＜0时,f(x)的解析式.又因为f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).解:因为当x>0时,∴当x＜0时,-x>0,即所以当x＜0时,2.求解析式问题所以当x＜0时,例1.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)3.图像过定点问题例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经过哪个定点？点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平移2个单位得到.由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点(0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题3.图像过定点问题例2.函数y＝ax-3＋2(【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经过哪个定点？变式练习3.图像过定点问题【2】函数恒过定点(1,3)则b=____.【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必例3:求下列函数的定义域？思考探究：这几个函数的值域是什么呢？4.定义域与值域例3:求下列函数的定义域？思考探究：这几个函数的值域是什例4.求下列函数的值域：点评：“换元法、二次函数法、分离常数法”是解复合函数值域的常用方法；研究函数的值域要考虑其定义域。例4.求下列函数的值域：点评：“换元法、二次函数法、分离常数例5.设a是实数,(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；证明:任取x1,x2,且f(x1)－f(x2)=∵y=2x在R上是增函数,且x1＜x2,∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).故对于a取任意实数,f(x)为增函数.5.单调性与奇偶性问题例5.设a是实数,(1)试解:若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),利用f(0)=0例5.设a是实数,(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.∴a=1.解:若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(【1】已知定义域为R的函数为奇函数,则a=__,b=_____.变式练习21【2】设a>0,在R上为偶函数,(1)求a,(2)证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.【1】已知定义域为R的函数练习：练习：例1.讨论函数的单调性,并求其值域.解:任取x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,∵f(x1)>0,f(x2)>0,1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)则例1.讨论函数∵x1<x2≤1,所以f(x)在(-∞,1]上为增函数.又x2

-2x=(x-1)2

-1≥-1,所以函数的值域是(0,5].此时(x2-x1)(x1+x2-2)<0.例1.讨论函数的单调性,并求其值域.∴x2-x1>0,x1+x2-2<0.∵x1<x2≤1,所以f(x)在(-∞,1]【1】函数的单调增区间是【2】函数的增区间为________.值域为_________.(－∞,1]练一练【3】求函数的定义域为________4.求证函数是奇函数,且是增函数.(0,81]【1】函数例2.求证函数是奇函数,并求其值域.1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)证明：函数的定义域为R,所以f(x)在R上是奇函数.例2.求证函数例2.求证函数是奇函数,并求其值域.1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)解：所以函数f(x)的值域为(-1,1).例2.求证函数指数函数及其性质(二)课件x-3-2-10123在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.解：⑴列出函数数据表,作出图像问题1.0.130.250.512480.250.51248160.030.060.130.250.512x-3-2-10123在同一坐标系下作出下列函oxy①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;②将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.归纳总结oxy①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就【1】若函数f(x)=3x2,把图象向右平移1个单位,则得到函数____________的图象；若把函数f(x)的图象向左平移2个单位,则得到函数____________的图象；若把函数f(x)的图象向下平移3个单位,则得到函数_________的图象；若把函数f(x)的图象向上平移4个单位,则得到函数_________的图象.y=3x2+4y=3(x－1)2y=3(x+2)2y=3x2－3规律：左加右减；上加下减变式训练【1】若函数f(x)=3x2,把图象向右【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x)的图象经过下述哪种变换得到.…………()(A)向左平移一个单位，再向上平移一个单位；(B)向左平移一个单位，再向下平移一个单位；(C)向右平移一个单位，再向上平移一个单位；(D)向右平移一个单位，再向下平移一个单位；A(1)y=f(x)⇒y=f(x+a)上下平移(2)y=f(x)⇒y=f(x)+k☞函数图象的平移变换规律：左右平移【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有……().oxy【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象例1.已知函数作出函数图象,求定义域、值域,并探讨与图象的关系.所以,定义域为R,值域为(0,1].保留在y轴右侧的图象,该部分翻折到y轴的左侧,这个关于y轴对称的图形就是的图象.1oxy两图象关系例1.已知函数作出函数图象,求定义域、【3】作出函数的图像,求定义域、值域.

定义域:R,值域:(0,1].变式训练1oxy1【3】作出函数的图像,求定义域、值域.定义域:R,值域说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画出它们的示意图.问题2.yxoyxoyxo（x,y)和(-x,y)关于y轴对称！（x,y)和(x,-y)关于x轴对称！（x,y)和(-x,-y)关于原点对称！说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于

对称；

(2)

y=f(x)与y=-f(x)的图象关于对称；

(3)

y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于对称.

x轴y轴原点

(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象,并说明它们之间有什么关系？由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.问题3.oxy分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象,并说明它们（二）指数函数及其性质（二）指数函数及其性质

图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a>1)yx(0,1)y=10y=ax(0<a<1)定义域:值域:必过点：在R上是在R上是a>10<a<1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数1.指数函数:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数其中x是自变量,函数定义域是R.图象性质yx0y=1(032xoy在第一象限里,图象从低到高,底数逐渐变大.指数函数图象与性质的应用：

1.理解概念xoy在第一象限里,图象从低到高,底数逐渐变大.指数练习1.在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图,则a,b,c,d,1之间从小到大的顺序是__________________.指数函数图象与性质的应用：

练习1.在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,指数函数【2】指数函数满足不等式,则它们的图象是(

).C.A.B.D.D【2】指数函数例1.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1,求当x＜0时,f(x)的解析式.又因为f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).解:因为当x>0时,∴当x＜0时,-x>0,即所以当x＜0时,2.求解析式问题所以当x＜0时,例1.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)3.图像过定点问题例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经过哪个定点？点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平移2个单位得到.由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点(0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题3.图像过定点问题例2.函数y＝ax-3＋2(【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经过哪个定点？变式练习3.图像过定点问题【2】函数恒过定点(1,3)则b=____.【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必例3:求下列函数的定义域？思考探究：这几个函数的值域是什么呢？4.定义域与值域例3:求下列函数的定义域？思考探究：这几个函数的值域是什例4.求下列函数的值域：点评：“换元法、二次函数法、分离常数法”是解复合函数值域的常用方法；研究函数的值域要考虑其定义域。例4.求下列函数的值域：点评：“换元法、二次函数法、分离常数例5.设a是实数,(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；证明:任取x1,x2,且f(x1)－f(x2)=∵y=2x在R上是增函数,且x1＜x2,∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).故对于a取任意实数,f(x)为增函数.5.单调性与奇偶性问题例5.设a是实数,(1)试解:若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),利用f(0)=0例5.设a是实数,(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.∴a=1.解:若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(【1】已知定义域为R的函数为奇函数,则a=__,b=_____.变式练习21【2】设a>0,在R上为偶函数,(1)求a,(2)证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.【1】已知定义域为R的函数练习：练习：例1.讨论函数的单调性,并求其值域.解:任取x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,∵f(x1)>0,f(x2)>0,1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)则例1.讨论函数∵x1<x2≤1,所以f(x)在(-∞,1]上为增函数.又x2

-2x=(x-1)2

-1≥-1,所以函数的值域是(0,5].此时(x2-x1)(x1+x2-2)<0.例1.讨论函数的单调性,并求其值域.∴x2-x1>0,x1+x2-2<0.∵x1<x2≤1,所以f(x)在(-∞,1]【1】函数的单调增区间是【2】函数的增区间为________.值域为_________.(－∞,1]练一练【3】求函数的定义域为________4.求证函数是奇函数,且是增函数.(0,81]【1】函数例2.求证函数是奇函数,并求其值域.1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)证明：函数的定义域为R,所以f(x)在R上是奇函数.例2.求证函数例2.求证函数是奇函数,并求其值域.1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)解：所以函数f(x)的值域为(-1,1).例2.求证函数指数函数及其性质(二)课件x-3-2-10123在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.解：⑴列出函数数据表,作出图像问题1.0.130.250.512480.250.51248160.030.060.130.250.512x-3-2-10123在同一坐标系下作出下列函oxy①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;②将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.归纳总结oxy①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就【1】若函数f(x)=3x2,把图象向右平移1个单位,则得到函数____________的图象；若把函数f(x)的图象向左平移2个单位,则得到函数____________的图象；若把函数f(x)的图象向下平移3个单位,则得到函数_________的图象；若把函数f(x)的图象向上平移4个单位,则得到函数_________的图象.y=3x2+4y=3(x－1)2y=3(x+2)2y=3x2－3规律：左加右减；上加下减变式训练【1】若函数f(x)=3x2,把图象向右【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x)的图象经过下述哪种变换得到.…………()(A)向左平移一个单位，再向上平移一个单位；(B)向左平移一个单位，再向下平移一个单位；(C)向右平移一个单位，再向上平移一个单位；(D)向右平移一个单位，再向下平移一个单位；A(1)y=f(x)⇒y=f(x+a)上下平移(2)y=f(x)⇒y=f(x)+k☞函数图象的平移变换规律：左右平移【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则