2018年高考数学 专题10.2 双曲线试题 文

---双曲线三年高考】1.【2017课表1,文5】已知F是双曲线C：x2-Z3=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3),则厶APF的面积为A．【答案】DA．【答案】DB．C．D．【解析】由C2二a2+b2二4得c二2，所以F(2,0)，将x二2代入x2-*=1，得y二±3,13所以IPF1=3，又点A的坐标是(1,3)，故厶APF的面积为-x3x(2-1)二-，选D.x2y22.【2017天津，文5】已知双曲线一-1=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点A在双曲线a2b2的渐近线上，AOAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为]x2y2x2]y2-12=1⑻12-才=1（c）§—y2=1（D）x2-~3=1答案】c=2【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：<c2=a2+b2，解得：a2=1,b2=3,b厂—=tan6Oo=J3、a双曲线方程为：x2本题选择D选项.TOC\o"1-5"\h\zx2y23.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中，双曲线一—厂=1(a>0,b>0)的右a2b2支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点，若|AF|+|BF|=4|0F|,则该双曲线的渐近线方程为.【答案】y=±丁x

【解析】由抛物线定义可得：丨/門+皿尸冃丄+彳+旳+彳二仆彳亠叫+用二戸，因为1a2沪一1=>fl2y2-2pb2y+=0=>,所以yA+yB=密=@=>口=恵b=>渐近线方程TOC\o"1-5"\h\z宀2殆a为y=±^x.【2017江苏，8】在平面直角坐标系xOy中,双曲线寸-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F,F，则四边形FPFQ的面积是▲.1212【答案】2丘【解析】右准线方程为x二丄=3竺，渐近线为y二土口x，则p(3^°I30)，J101031010Q(3l1°,-^°)，F(—”10,0),F^-10,0)，则S=x虫=2朽.101012、丿10X2y2【2016咼考北京文数】已知双曲线——一—1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0，a2b2一个焦点为(J5，。)，贝ya—；b=.【答案】a—1,b—2.I-运【解析】依题意有<b,结合c2—a2+b2，解得a—1,b—2.-—-2、a6.【2016高考天津文数】已知双曲线——啟—1(a>0,b>0)的焦距为2杼，且双曲线的一a2b2条渐近线与直线2x+y—0垂直，则双曲线的方程为()y2(B)x2-y2(B)x2-才-1(C)3x23y2D)3x23y220—1答案】A【解析】由题意得.仝,a=2=a=2,b=1=7―节=1，选A.

7.【2016高考山东文数】已知双曲线E：7.【2016高考山东文数】已知双曲线E：一-1=1(a〉0,b〉0).矩形ABCD的四个顶点在a2b2E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是【答案】【解析】依题意，不妨设AB二6,AD二4，作出图象如下图所示：则2c=4,c=2;22c=4,c=2;2a=DF—DF21=5—3=2,a=1,故离心率—=—=2a18【2016高考浙江文数】设双曲线8【2016高考浙江文数】设双曲线X2-牛1的左、右焦点分别为F，.•若点P在双曲线上，且△FPF为锐角三角形，则|PF|+|PF|的取值范围是1212【答案】(2』7,8).【解析】由已知a=1,b=\'3c=2，则e=-=2，设P(x,y)是双曲线上任一点，由对称性a不妨设P在右支上，贝y1<X<2，\PF^=2x+1，|PF2|=2x—1，^FPF为锐角，则『FI2+|PFI2>|FF|2，即(2x+1)24(2x—)242，解得x>^L，所<x<<x<2PF|+|PF|=4xe(2j7,8).x2y29.【2015高考山东，文15】过双曲线C：——一=(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐

a2a2近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为【答案】2+丫3

【解析】双曲线=1的右焦点加询•不妨设所作直线与飓曲线的渐近线y=经平行，其方程为aaa严代入三上=1求得点尸的横坐标为"兰工，由以竺=加，得&-斗£+14aaalc1caa解之得三=2+£,-=2-^3〔舍去，因为离心率->1）,故双曲线的离心率为2+少.aaa10.【2015高考新课标1,文16】已知F是双曲线C:x2—害=1的右焦点，P是C左支上8一点，A0,6，当一点，A0,6，当NAPF周长最小时，该三角形的面积为【答案】12^6【解析】设双曲线的左焦点为F-，由双曲线定义知，]PF2a+IpFiI‘•••△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+IPFI+|AF|=|PA|+1PFI+|AF|+2a，由于2a+IAFI是定值，要使AAPF的周长最小，则使AAPF的周长最小，则|PA|+1PFI最小，即P、A、F共线，TAQ,6F1（－3,0）Xyyy2••直线AF的方程为一3+6^^=1，即x=—3代入x2—=1整理得y2+6^6y-96=0，解得y=2^6或y=-阮6（舍），所以P点的纵坐标为2*6，.:1S=S—S=—X6XAAPFAAFF1APFF1216.6--X6X2J6=12p6.^2x2y211.【2015高考重庆，文9】设双曲线一-]=1（a>0,b>0）的右焦点是F,左、右顶点分a2b2别是A,A，过F做AA的垂线与双曲线交于B，C两点，若AB丄AC，则双曲线的渐近121212线的斜率为（）1(A)±2(B)士-2(C)士1(D)±J2【答案】CTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"【解析】由已知得右焦点F(Ca0)(其中c2=a2+b\c>0)?*临,且2®,B(c?aa从而AxB=(c+a-—\A^=(C-a^f又因为A】B丄*,所以命•血d=0,即aa\o"CurrentDocument"(C-«)(c+«)+(-—)(―)=0,化简得到身=1亠2=±1,即双曲线的渐近线的斜率为±1,故选Caaa£i【2017考试大纲】双曲线了解双曲线的实际背景,了解性质求在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.了解双曲线的简单应用.理解数形结合的思想.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；(2)求双曲线的标准方程.(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数a,b,c,e及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等,直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大,故预测2018年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素a,b,c.另外，要深入理解参数a,b,c的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2018年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1•双曲线的定义：把平面内与两定点F,F的距离之差的绝对值等于常数(小于IFFI)的点1212的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：PFI-1PFI二±2a(2a<IFFI).1212注意：(1)当2a=IFFI时，轨迹是直线FF去掉线段FF.(2)当2a>IFFI时，轨迹不存12121212在.x2y22•双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上的双曲线的标准方程为一-'=l(a>0,b>0)；焦a2b2y2x2点在y轴上的双曲线的标准方程为二-厂=1(a>0,b>0).给定椭圆a2b2X2y2+=1(m与n异号)，要根据m,n的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的mn那个坐标轴上.(2)双曲线中a,b,c关系为：a2二c2-b2.【规律方法技巧】利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.求双曲线的标准方程方法定义法：若某曲线(或轨迹)上任意一点到两定点的距离之差(或距离之差的绝对值)为常数(常数小于两点之间的距离)，符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性■确定它是双曲线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量建立关于基本量a,b,c,e的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.

若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设双曲线的方程为Ax2+By2二1，其中A,B异号且都不为0可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为ax土bx=0，则可设双曲线的标准方程为ax土bx=九（九H0）可避免分类讨论.【考点针对训练】【贵州省遵义市2017届高三一模】已知动圆M与圆C:（x+41+y2=2外切，与圆1TOC\o"1-5"\h\zC:（x-4）2+y2=2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）2A.巳-兰=1（x沁）B.匕-兰=19-迈）C.巳+兰=1（x沁）d.\o"CurrentDocument"14214214乂+兰=1J-迈）\o"CurrentDocument"214【答案】A【解析】设动圆的半径为，由题意可得MC=r+払MC=r-迈，所以12MC-MC=2迈=2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C（-4,0）,C（4,0）为焦点，1212实轴长为2a=2迈的双曲线的右支上，即a=扛c=4nb2二16-2二14，故其标准方程为〒-暮=2），应选答案A。214x2y22-【宁夏石嘴山市2017届高三三模】已知FF2为双曲线c:药-厉=1（a>°，b>°）的左,右焦点，点P为双曲线右焦点，点P为双曲线C右支上一点,直线PF1与圆x2+y2a2相切，且PF=FF，则双曲线C的离心率为（）A.B.—C.D.A.B.—C.D.答案】C【解析】设尸耳与圆相切于点则因为|码冃耳码所以.AP耳骂为等腰三角形，设尸耳的中点为N,由0为耳码的中点，所以^M=-F{N=-PP[,又因为在直角阿MO中,2斗耳Af『=|耳0一—S所以耳Af=去=丄尸耳①斗又『耳冃PF^+2a=2c+2a②，小=/+沪（3故由①②③得，e=~=^故本题选匚【考点2】双曲线的几何性质【备考知识梳理】双曲线的几何性质焦点在X轴上焦点在y轴上图形(7」：」./:FiJ/fiJF--x;刃+N送*>'、标准方程X2y2=1(a>0,b>0)a2b2兰-兰=1(a>0,b>0)a2b2隹占八\、八、、(土c,0)(0,土c)焦距|FF|=2c(c2=a2+b2)12范围|x|2a；yWRxWR；|y|三a顶点实轴顶点（土a,0），虚轴顶点（0,实轴顶点（0,土a），虚轴顶点（土b,0）土b)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e=aG（1，+⑴），其中c=（a2+b2渐近线y二土经ay=±axb2•等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线,，其标准方程为x2-y2二九（九H0）,离心率为\：2,渐近线为y=±x.【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3•求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出a,b,c的等式或不等式，结合cc2二b2+a2化出关于a,c的式子，再利用e二一，化成关于的等式或不等式，从而解出的值a,c2a2+b2b2b,■或范围.离心率与a,b的关系为：e2===1+==\：e2—1.a2a2a2ax2y2bxy4.双曲线一一厂=1（a>0,b>0）的渐近线方程为y=±—x，可变形为一，即a2b2aabx2y2—=0，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.a2b22b24•椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，a是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5.双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为］c—a,+8）.【考点针对训练】X2y21.【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线一—t-=1（a>0，b>0）的左、a2b2右焦点分别为F、F，焦距为2c（c>0），抛物线y2二2cx的准线交双曲线左支于A，B两12点，且ZAOB=120。（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.<3+1B.C.\2+1D.<5+1【答案】Ac（c2—4a2）b2【解析】由题意得，当x=—y2=，贝y24a2，又因为ZAOB=120。，则-4a2）b24a2c2托LC4a2c2=tan=nc4-8a2c2+4a4=0n-8+4=03a4a2e4—8e2+4=0ne2=4±2\.；3（4—2^3<1,舍去）ne2=4+2帯'3ne=x3+1x2y2【2016届江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知双曲线———=1(a>0,b>0)a2b2的左右焦点分别为F(-c,0)，F(c,0)，以线段FF为直径的圆与双曲线在第二象限的交1212……(c\2b2点为P，若直线PF与圆E:x-三+y2=相切，则双曲线的渐近线方程是2I2丿16A.y=±xB.y=±J2xC.y=±、：'3xD.y=±2x【答案】DFE1【解析】设切点为M,则EM#PF，又一片=-,所以|PF|=4r=b,所以|PF|=2a+b,因此1FF41221b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x•本题选择D选项.【考点3】直线与双曲线的位置关系【备考知识梳理】x2y2设双曲线的方程为一-[=1(a>0,b>0)，直线Ax+By+C=0，将直线方程与双曲线方a2b2程联立，消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0.(1)若m工0,当厶〉。时，直线与双曲线有两个交点•当4=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.当厶<0时，直线与双曲线无公共点.(2)当m=0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行【规律方法技巧】1.直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，

这是进一步解题的基础．—x|=l+k2・x+x2—4xx=212122•直线y=kx+b（&0）与椭圆相交于A%,y”Eg,y）两点，则弦长|AB|=\：1—x|=l+k2・x+x2—4xx=21212Jl+L'yi+y22—4yiy2-3．对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1.【山西省太原市2017届高三第二次模拟】已知双曲线厂：「'■■■山的焦距为2c,直线1:y-kx-kc.若k=\：3，则l与厂的左、右两支各有一个交点；若k=<15,则l与厂的右支有两个不同的交点，则厂的离心率的取值范围为A.（1,2）B.（1,4）C.（2,4）D.（4,16）【答案】C【解析】由題意可知：直线过焦点血0）.双曲线的渐近线方程$=]?可得双曲线的渐近线斜率^<-<45m=£=Jl+绪,由3<^<15a斗cl+身cl6…第<心双曲线离心aa\aaa率的取值范围为他4）.本题选择C选项.、一X2-2.【广西桂林市2017届高三适应性考试】已知双曲线的标准方程为§—y2=1，直线1:y=kx+m（k丰0,m丰0）与双曲线交于不同的两点C、D，若C、D两点在以点A（0,—1）为圆心的同一个圆上，则实数m的取值范围是（）C.{mI0<m<4}D.A.{mIC.{mI0<m<4}D.1、{mI—<m.0或m；：4}答案】D【解析】设CD的中点为E,联立直线与双曲线的方程可得：丫）6k^m<1一3k2）x2一6kmx一3m2一3=0,「.x+x=，由AE丄CD可得:121—3k2

m-/3km、1-3k/3km、1-3k2'1—3k2丿,k-k=kx1-予2=一1,.・.1一3k2=-4m直线与双曲线有两个交ae3km1-3k2点，则判别式：A=36k2m2一4x(L-3k2)x(-3m2-3)>0，整理可得：m(12m-48)>0，解得A=36k2m2一4x又1+4m=3k2>0，解得：m>-1，综上可得实数m的取值范围是41、{mI-<m：0或m]4}.本题选择D选项.应试技巧点拨】1.焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形.(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式.2.离心率的求法双曲线的离心率就是-的值，有些试题中可以直接求出a,c的值再求离心率，在有些试题中a不能直接求出a,-的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a,-或a,b的方程，cbcIb2通过这个方程解出一或一，利用公式e=—求出，对双曲线来说，e=：1+，对椭圆来说，aaaVa2e=T-有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算.①斜率为的直线与双曲线的交于两点P(X,y)，P(x,y)，则所得弦长111222IPPI=J1+k2Ix-xI或1PP鼻J1+]1儿-y11，其中求Ix1-x2I与Iy2-儿I时通常121212k2211221

使用根与系数的关系，即作如下变形：②当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．Ix-xI=Ix-xI=12(x+x》-4xx1212Iy2-y1I=求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a,c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a,c的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．—=1—=1两渐近线的夹角满足1【2017届安徽省宣城市高三第二次调研】己知双曲线-b24sine二5，焦点到渐进线的距离d=1，则该双曲线的焦距为(2B.乎z八疔或用D乎或用【答案】C•・4或-设焦獻3渐近线【解析】•.•双曲线号■一石=1两渐近线的夹角8满足•・4或-设焦獻3渐近线方程加则―昭ab5方程加则―昭厂—沪=又心宀『=1,解得尸亨或厉，则有焦距为亦或2.故选C.X2y22-【2°17届四川省资阳市高三一模】已知双曲线E:圮-~b二1(a>0,b>°)的右顶点为A抛物线C:y2=8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得AP丄FP，则E的离心率的取值范围是()A.(1,2)B.[l，3^2]C.[342,+8D.(2,+8)【答案】B【解析】由题意得，A(a,0),F(2a,0)，设P(x,-x、由AP丄FP，得V0a0丿AP-卩卩二°=施X02-3aX0+2"2二0'因为在已的渐近线上存在点P，则*0，即c293^29a2一4x2a2x一>0n9a2>8c2ne2<一ne<——，又因为E为双曲线，贝卩a2841<e<孚，故选B.4x2y2【黑龙江省大庆2017届高三考前模拟】设.，f2分别是双曲线=l（a>°，b>°）的O为坐标原点，且左、右焦点，若双曲线右支上存在一点'’，使Gp+OF）•FP=O为坐标原点，且22PF田P©卜C+2語）a，贝y该双曲线的离心率为（—）—rhb.孕'+迈卩斗答案】A【解析】由Gp+Of；）F2P=0，得（OP+代）•（OP—佯）=0，即1OP-1翠|2=0，所以|OP|=|OF4c，所以AP^中」FF■上的中线等于|FF|的一半，贝怦F丄21212121PF.即|PF|#|PF|2=c^，又|PF|=73|PF|，解得|PF|=a/3c，|PF|=c，又|PF|—1212121|PF2|=73c—c=2a.所以e=73土1.故选A__.【天津市十二重点中学2017届高三第二次联考】已知双曲线—-啟=1的离心率为<5，a2b2圆心在轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2,则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A.y2=8^5xB.y2=4p5xC.y2=2v5xD.y2=x【答案】B【解析】设双曲线渐近线的方程为y=bx，圆心坐标为（c,0），因为圆与直线相切由点到直abca2+4线距离公式可得二2，即b=2，又因为离心率为=・5，可得a2+b2aa=c=*'5,-2=\/5,p=2f5，所以抛物线的方程为y2=4\5x，故选B.2【天津市河西区2017届高三二模】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:

2x2-y2二1，过C的左顶点引C的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及轴围11成的三角形的面积（）A.C.D.【答案】C（J2）【解析】不妨设直线的斜率为庞，则直线方程为y二匝卜诗I，另一条渐近线方程为I2丿L（迈1）y=-<2x，联立可得交点坐标为M+，-只I，故三角形的面积为142丿G1迈1迈S=2X丁X—-=-^'应选答案C。TOC\o"1-5"\h\zx2y26.【2017届广西南宁市高三一模】设双曲线C:—=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别a2b2为F,F，过尸2的直线与双曲线的右支交于两点A,B，若|AF|:|AB|=3:4，且F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（）A.<10B.A.<10B.~r5C.D.52答案】B=3m,AB=4m，因为F是AB的一个四等分2【解析】若|A£|：=3m,AB=4m，因为F是AB的一个四等分21点；若|BF|=—AB，则BF=m,AF=3m,但此时AF—AF=3m—3m=0，再由双1曲线的定义，得AF—AF=2a，得到a=0，这与a>0矛盾；若lAFI=4AB,则AF=m,BF=AF=m,BF=3m，由双曲线的定义，得｛2一AFLIAF1=2m=2a={1丨2丨丨{BF1BFI」BFI—3m=2a121IBF1=5am=a，则此时满足AF2AF2+AB21AF2+AF1=BF2，所以AABF是直角三角形，且ZBAF=90。，所以由勾股定理，得1--1o=FF2n（3a）2+a2=（2c匕，得e=,故选B.^27-【河北省武邑2017届高三四模】已知点F2,p分别为双曲线a—右=1（a>°’b>0）的右

焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2OM二OP+OF,Of冃Fm|，且°F；F2M=1，则该双曲线的离心率为（）_3—_3—A'B.㊁八'3D.<3+12【答案】D解析】解：由题意可知OF-FM二OF22|x|FM|cos<OF,FM〉=c2cos<OF,FM〉=OF-FM二OF22fCOs^OF,F眄=±Z°FP^60^20M=OP+°F可知，点M为线段PF的中点,2222。22由几何关系可得点p的坐标为由几何关系可得点p的坐标为p飞在双曲线上，贝y：b2=c2-a2整理得：4c2一8a2c2+a4=0,a4e4一8e2+1=0，由e>1可得:Lle2=—~^-,ae=-岁'•本题选择D选项.221."，…）的右焦点为—1."，…）的右焦点为—8.【山西省三区八校2017届高三二模】双曲线"4直线'T与双曲线相交于川、"两点，若川T处，则双曲线的渐进线方程为【答案】22【解析】由题意可知：双曲线(Q>0">°）焦点在x轴上,右焦点F（c,0），，整理得:（9於一16/）/=%2於X2，即9a2b2①‘m『，・・・A与B关于原点对称,Ta=Ta=4・・4F丄EF・FAFB=0即,•，…，即Cx-c)(-%-C)+-%XI--x\=0'丿,整理得:斥?259a2b22P2・齐矗亍原—即9涉-立护力2_16/=0，・・.@2_4/)(9用+4/)=0，・严〉0,b〉0,.・.9於+4^工0,・・"S’°,故b=2a，双曲线的渐近线方程，故答案为了二二.9•【河北省衡水中学2017届高三二摸】已知点F1，F2分别是双曲线C:x2-養=1(b>°)的FF12左、右焦点，0为坐标原点，点P在双曲线CFF122°p,tan"71>4，则双曲线C的焦点的取值范围为答案】【解析】由七F22OP可得口"A为直角三角形，上F1PF2=90°，可得tanZPF答案】【解析】由七F22OP可得口"A为直角三角形，上F1PF2=90°，可得tanZPF2F1>42即PF>4PF，PF2+PF2=FF2,又PF-PF=2a，得PF<一a即1212121223(PF+2a)+PF2=4e2化为(PF+a)=2e2-a2<—a+a可得:222c由双曲线中c〉a=l,所以双曲线C的焦点的取值范围为|1,x2y210-【福建省莆田2017届高三二模】已知双曲线C:石-令=1的右焦点为F'过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MF=FN，则双曲线的离心率【答案】e=233【解析】如图所示渐近线OM的方程为bx+ay=0,右焦点为F(e,0)，因此belFMla2+b2二b，过点F向ON作垂线，垂足为P,则|Fp=|FM|=b.又因为2MF=FN，所以|FN|=2b，在直角三角形FPN中，sinZFNP|PFb1」=击-，所以FN兀兀兀b3ZFNP=：,故在三角形OMN中，ZMON=〒，所以ZFON=：，所以一=—厂，即636a3va2va2+b2）的左焦点F作圆。x2+y2=扌的切线，且点为E，延长PE交双曲线C右支于点p，若E为PF的中点，，则双曲线C的离心率为（）J2+1J2+1B.2C.+1、:3+1D.2【答案】C【解析】如图所示，设双曲线C的右焦点为F，依题意可得EO〃PF,EO丄PF，则x2y2【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线一=1(a>0,b>0)的左a2b2顶点与抛物线y2二2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(—2,—1)，则双曲线的焦距为()A.2J5b.2叮3C.4*3D.4J5【答案】A【解析】由题意双曲线的左顶点为(一a,0)，抛物线的焦点为[P,0],准线方程为x二-P,12丿2「P-22又双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(—2,—1)，所以R+a-4，解得厶-1--X(-2)、aP—4,a—2,——1,c—\：5，所以双曲线的焦距为2c—2*5.故选A.【2016年河南省商丘市高三三模】已知抛物线y2—8x与双曲线一-y2—1的一个交点a2为M，F为抛物线的焦点，若|MF|—5，则该双曲线的渐近线方程为()A.5x土3y—0B.3x土5y—0C.4x土5y—0D.5x土4y—0【答案】A【解析】依题意，抛物线焦点F(2,0)，设M(x,y)，因为MF—5，所以x+2—5,x—3,TOC\o"1-5"\h\z00II00(Ix299x23,±2丿,代入——y2—1得——24—1,a2—――,所以令——y2—0,得双曲线的a2a225a2x渐近线为y—±_，即5x±3y—0.ax2y2【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M:一———1(a>0,b>0)的实轴的a2b2两个端点为A、B，点P为双曲线M上除A、B外的一个动点，若动点Q满足QA丄PA,QB丄PB，则动点Q的轨迹为()（A）圆【答案】C（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线【解析】设P（隔必双曲线M：乡-车1,实轴的两个顶点心,0）卫&0）,

abS-Jl?0^=(-^-^-jX^=(-^-^-«)'.QAlPA,=0,可得贰+口=一一，同x+a理根据如丄叽可得=-两式相乘可得沪-•.•点尸血越为双曲线M上除止、Bx—ax—a外的一个动点，二尊—岭=1,整理得沪=身5?—屮）4-^S=i故选匚abaaa15.【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点P为双曲线—-啟=1（a>0,b>0）右支a2b2上的一点，点FF2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为刁，若M为APFF的内心，且S=S+九S，则九的值为12'PMF1"MF2AMF!F2'【答案】宇【解析】设内切圆半径为R，由题意知S-S―S,匚［APMF!APMF2AMF!F2211，即2•lPFJ■R-2•Ipf2I'R11c1(b\=—•九IFFI-R，即—•2a-R=—•2c-R,e=—=—.又因为e=1+—122a九122，所以【一年原创真预测】x2y251.已知双曲线——一=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，点P（3,三）为双a2b2122曲线上一点，若△代F2的内切圆半径为】，则该双曲线的方程为（）x2y2A.=1x2y2B.——=1x2y2C.——=1D.x2y2—=145544334答案】A15【解析】设F(-c,0)，F(c,0)(c>0)，则S=三IFFI-y=人c，又12△PF1F2212P211S=-(IPFI+IPFI+IFFI)r=-(IPFI+IPFI)+c，所以△PF1F221212212-5-(IPFI+IPFI)+c=-c，即IPFI+IPFI=3c.由双曲线的定义，得IPFI-1PFI=2a,2-22-2-233所以IPFI=c+a，IPFI=c一a-222TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2-32-3又IPFI2=(3+c)2+=(〒c+a)2①，IPFI2=(3-c)2+=匕c-a)2②，两式相减，\o"CurrentDocument"-422423得(3+c)2-(3一c)2=(㊁c+a)2-(2c-a)2，整理，得a=2，代入①，得c=3，则b=后,x2y2故所求双曲线的方程为才-*=1，选A.入选理由】本题主要考查双曲线的方程和几何性质、三角形的面积公式等基础知识，意在考查学生的数据分析能力以及运算求解能力.本题双曲线的定义，与三角形的面积公式结合，有一定的新意，故选此题.x2y22-已知双曲线C:三-t=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2，A、B分别为双曲线的左、右顶点，过F作直线x二c,在直线x二c上存在点M(c,m)，使得ZAMB=60,2。则双曲线C的离心率e的最大值为()B．2201816【解析】由题意得tan【解析】由题意得tanZAMF2c+a,,tanZBMFm2c-a=，由两角差的正切公式可得,m12

2atanZAMB二tan(ZAMF-ZBMF)=—m—二<竺(当且仅当m2二b2221c+ac-ab2_2b1+-1+-

mmm2时取等号)，从而可得a3®，两边平方得a233b2，又因为a2+b2=c24a233c242乜e£3,・•.双曲线C的离心率e的最大值为于.故选D.【入选理由】本题考查双曲线的性质，两角差的正切公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是双曲线的性质与两角差的正切公式,解题方法比较巧，故选此题.x2y23-已知双曲线云-厉=1(a>°'b>°)的左、右焦点分别为FF2,且焦点与椭圆x2y