基本回归-七、联立方程模型

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本章以前所讨论的都是假定经济变量之间的关系为简单的单向关系，用单一方程模型来描述。七、联立方程模型2

然而，在实际经济系统中，诸多经济变量间的关系是错综复杂的多向关系。对这种关系，若仍以单一方程模型来描述，显然是不恰当的，只有建立联立方程模型才能更全面、真实地描述经济系统的运行机制。3（一）联立方程模型的基本概念

联立方程模型就是由多个相互联系的单一方程构成的经济计量模型。4其中，C=消费支出，I=投资，Y=国民收入，G=政府支出，Yt-1=Yt的滞后值，u1,u2=随机干扰项，=参数。

【例7.1】凯恩斯收入决定模型

消费方程投资方程收入方程

（7.1）（7.2）（7.3）5【例7.2】工资—价格模型

其中，W=货币工资变化率，UN=失业率（%），P=价格变化率，M=进口原材料变化率,Rt=利率,t=时间，u1,u2=随机干扰项。（7.4）（7.5）6联立方程模型描述经济变量间的因果关系是双向的，即某一经济变量决定着其它一些经济变量，反过来又受其它经济变量所决定。因此，联立方程模型可以更全面、真实地反映经济系统的运行过程。7

1．内生变量。由模型系统决定其取值的变量称为内生变量。内生变量受模型中其它变量的影响，也可影响其它内生变量，即内生变量是某个方程中的被解释变量，同时可能又是同一模型某些方程中的解释变量。8

在单一方程模型中，内生变量就是被解释变量。

92．外生变量。由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量。外生变量只影响模型中的其它变量，而不受其它变量的影响，因此只能在方程中作解释变量。

103．前定变量。外生变量和滞后内生变量合称为前定变量。前定变量影响现期模型中的其它变量，但不受它们的影响，因此只能在现期的方程中作解释变量，且与其中的随机干扰项互不相关。11

4．行为方程。

解释居民、企业和政府的经济行为，描述它们对外部影响是怎样做出反应的方程称为行为方程。例1中的消费方程和投资方程都是行为方程。

125．技术方程。技术方程是解释生产要素的投入与生产成果的产出之间工艺技术关系的方程。生产函数就是常见的技术方程。136．制度方程。由政府所颁布的法律、法令和规章制度所决定的方程称为制度方程。例如，根据税收制度建立的税收方程就是制度方程。

147．恒等式。联立方程模型中，经常包括恒等式。一些恒等式用来表示某种平衡关系，称为平衡方程。15

市场均衡模型中表示总需求等于总供给就是平衡方程。另外一些恒等式表示某个变量的定义，称为定义方程。例1中的第三个方程表示国民收入被定义为消费支出、投资额以及政府支出三者之和，就是定义方程。

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从数理性质上划分，也可将方程分为随机方程和非随机方程两种。包含随机干扰项的方程称为随机方程，不包含随机干扰项的方程称为非随机方程。17（二）联立方程模型产生的问题

在联立方程模型中，一些变量可能在某一方程中作为解释变量，而在另一方程中又作为被解释变量。这就会导致解释变量与随机干扰项之间存在相关关系，从而违背了最小二乘估计理论的一个重要假定。18

如果直接使用最小二乘法，就会产生所估计的参数是有偏的、非一致的等问题，称为联立性偏误。19

联立方程模型按方程的形式可分为结构式模型和简化式模型。（三）联立方程模型的形式20（1）结构式模型每一个方程都把内生变量表示为其他内生变量、前定变量和随机干扰项的函数，描述经济变量关系结构的联立方程组称为结构式模型。21【例7.３】简单的宏观经济模型（7.8）（7.9）其中，C=消费支出，Y=收入，S=储蓄，u=随机干扰项。第一个方程［式（7.8）］是消费函数，第二个方程［式（7.9）］是定义方程。22

C和Y均为内生变量，S为外生变量，该模型是结构式模型。23

结构式模型中的参数称为结构式参数，它表示每个解释变量对被解释变量的直接影响，其正负号表示影响的方向，绝对值表示影响的程度。24例如，在模型中，结构参数α1

表示内生变量Y对内生变量C的直接影响。

α1表示在其它变量保持不变时，Y变动一个单位所引起内生变量C的变动数量，α1＞0说明C随Y的增加而增加，两者呈正相关关系。25

模型的第一个方程不包括外生变量S，表示其结构参数为零，称为被排斥在方程外的变量。26

（2）简化式模型把模型中每个内生变量表示为前定变量和随机干扰项的函数，就得到一个新的模型，称此模型为简化式模型。将例7.3中的内生变量Yt

和Ct用前定变量和干扰项来表示，则得到该模型的简化式。27

式（7.10）和式（7.11）称为简化式方程。（7.10）（7.11）28简化式模型的一般表达式为

（7.12）（7.13）式中，简化式参数πi

是结构式参数βj的函数，v1t与v2t

是简化式方程的干扰项。

29简化式参数与结构式参数的关系为

简化式参数表达前定变量对内生变量的直接影响和间接影响的总度量。

30（四）联立方程模型的识别

估计联立方程模型之前，必须弄清模型的识别情况。模型的识别情况及问题，在模型设定时就应解决。31（7.14）（7.15）（7.16）1.引入识别概念的例子

为了说明识别概念，我们来分析需求－供给模型。

【例7.4】设有简单需求－供给模型32

显然，由于第一个方程（需求函数）、第二个方程（供给函数）的内生变量、前定变量都相同，且用同一形式给出的，我们不能肯定估计出的参数究竟是哪一个方程的参数。因此，估计是无效的。33产生这种情况的原因是因为这二个方程在统计形式上是相同的，无法加以区分，也就是说它们不具有唯一的统计形式。34

我们把由于方程不具有唯一的统计形式，致使不能判断方程属性的问题称为识别问题。方程不具有唯一的统计形式，就称该方程不能识别。例如，在上述模型中，需求函数和供给函数都是不能识别的。352.识别的概念

从前面的例子可以看到，模型的识别问题实际上就是模型的估计或评价问题，“识别”的概念是经济计量学的基本概念。下面从线性组合方程、唯一的统计形式入手，给出结构式方程识别性的概念。

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定义：若某一结构方程具有唯一的统计形式，则称此方程是可以识别的；否则，就称此结构方程是不可识别的。若线性联立方程中的每个结构方程都是可以识别的，则称此模型是可以识别的；否则，就称此模型是不可识别的。37理解“识别”概念时，应注意以下几点

1．只有当模型中每一个方程均可识别时，整个模型才是可识别的。因此，判断联立方程模型的识别性，必须对模型中的方程逐个进行识别。

2．模型中的平衡方程和定义方程，即恒等式不需识别。

38经济计量学把模型的识别分为可识别和不可识别两类。可识别的模型又分为恰好识别和过度识别两种情况。在可识别的模型中，结构式参数具有唯一数值的方程称为恰好识别；结构式参数具有多个数值的方程称为过度识别。3.识别的分类39前面已举例说明了不可识别情况，这里只举例说明可识别中的恰好识别与过度识别。【例7.5】设有需求－供给模型（7.22）（7.23）（7.24）40其中，D=需求量，S=供给量，P=市场商品价格，I=消费者收入。D，S，P=内生变量，I=外生变量，Pt-1=滞后变量。

式（7.24）表示供给量等于需求量，即市场是供求平衡的，供求平衡的量为Qt。因此，该模型可以简化为（7.25）（7.26）41这是结构式模型，据此可得简化式模型为（7.28）（7.27）42其中，43

从所给的需求－供给模型可知结构式模型中共有六个结构式参数，即和。而在其简化式模型中也含有六个参数，即因此，可以从六个简化式参数导出六个结构式参数，从六个简化式参数中求出结构式参数的唯一表达式，从而唯一地确定了结构式参数值。44所以，整个模型是可识别的，而且是恰好识别的。现在对上述需求－供给模型作了一些修改，引入表示财富的变量Rt（外生变量），得到下列模型。45【例7.6】需求－供给模型（7.29）（7.30）我们研究这个模型的识别性。仿照上例的讨论方法，简化式模型为（7.32）（7.31）46其中，47模型包含七个结构式参数，但是有八个简化式参数可用来求解这七个结构式参数。这时，方程数大于变量数，因此结构式参数没有唯一解，有多个解。所以，本例是过度识别的。48

4.识别的条件模型识别的条件有两个，即阶条件和秩条件。阶条件是必要条件，秩条件是充分必要条件。判断模型的识别情况，要将两个条件结合起来，灵活应用。

49设结构式模型所含方程的总数（或内生变量总数）为M，模型包含的变量总数（包括前定变量和内生变量）为H，待识别的方程包含的变量总数（包括内生变量和前定变量）为G。下面对方程可识别的阶条件、秩条件进行讨论。50（１）阶条件：若某一个结构式方程是可以识别的，则此方程排斥的变量总数大于或等于模型中方程数减一，即

H－G≥M－1式中，等号成立为恰好识别，不等号成立为过度识别，即51若H-G<M-1，则不可识别；H-G=M-1，则为恰好识别；H-G>M-1，则为过度识别。52应用阶条件时要注意：（1）阶条件是必要条件，不是充分条件。不能仅从不等式H－G

≥

M－1的成立，来断定方程是可以识别的。（2）如果阶条件不成立，则方程不可识别。53【例7.7】例7.6模型的识别。这里M=２，H=5，G1=4，G2=3，则有：

H－G1=1M－1=1，M－1=H－G1；

H－G2=2M－1=1，M－1<H－G2。所以，两个方程都满足阶条件，方程（7.33）为恰好识别，方程（7.34）为过度识别。（7.33）（7.34）54（2）秩条件：在具有M个方程的结构式模型中，任何一个方程可以识别的充分必要条件是：不包括在该方程中的变量（包括内生变量和前定变量）的参数所组成的矩阵（记为A）的秩为M－1，即r（A）=M－1。55秩条件是充分必要条件，也就是说：如果秩条件成立，则方程是可识别；如果方程是可识别的，则秩条件成立，或者秩条件不成立，则方程是不可识别的。56注意，秩条件虽然是充分必要条件，但它不能断定方程是恰好识别还是过度识别。因此，必须将秩条件和阶条件结合起来，才能完成方程识别性判断。下面举例说明应用阶条件判断结构式方程识别性的实际步骤。57对大型联立方程模型而言，秩条件的应用是一件令人生畏的任务。为此，哈维（Harvey)指出：幸亏，阶条件通常已足以保证可识别性，虽然秩条件是重要的，但不去验证它，一般不会造成什么危害。58（五）联立方程模型的估计对于可识别的联立方程模型，常用的估计方法有间接最小二乘法（ILS）、工具变量法（IV）和二阶段最小二乘法（2SLS），下面逐一加以讨论。59二阶段最小二乘法

二阶段最小二乘法是工具变量法在理论上的推广，其目的是尽量消除由于在解释变量中存在内生变量而产生的偏误。

601.二阶段最小二乘法的思路二阶段最小二乘法是工具变量法的特例。联立方程模型中，内生解释变量与外生变量均相关（直接相关或间接相关）。当外生变量较多时，就无法判断选用哪个外生变量为工具变量才是最好的。二阶段最小二乘法的思路就是将所有的外生变量结合起来产生一个复合变量，作为最优工具变量。61具体方法为将内生解释变量对联立方程模型中所有外生变量回归，得到内生解释变量的估计值（拟合值），将这个估计值（拟合值）作为工具变量，对结构方程使用普通最小二乘法。622.二阶段最小二乘法的假设条件二阶段最小二乘法必须满足以下假设条件：（1）被估计的结构式方程必须是可识别的，特别地，二阶段最小二乘法适合于过度识别方程。63（2）结构式模型中的各随机干扰项必须满足最小二乘法经典假定，即零期望值、同方差、无自相关且与全部前定变量无关。由于简化式方程的随机干扰项是结构式方程随机干扰项的线性组合，所以，简化式模型的随机干扰项也满足上述最小二乘法经典假定。64(3)所有前定变量之间不存在高度多重共线性。(4)解释变量之间不是完全共线性的。(5)样本容量足够大。至少观测值数目必须大于前定变量的数目，以保证简化式参数估计值有意义。

653.二阶段最小二乘法的步骤第一阶段：将待估计方程中的内生解释变量对联立方程模型中的全部前定变量回归，即估计简化式方程，计算内生解释变量的估计值。66第二阶段：用第一阶段得到的内生解释变量的估计值代替内生解释变量，对该结构方程使用普通最小二乘法估计结构式参数。67二阶段最小二乘法估计量特性由于二阶段最小二乘法是工具变量法的一个特例，因此，得到的估计量是有偏、一致估计量。

68经验表明，二阶段最小二乘法估计量在多数情况下优于其它估计量，并且其计算成本低。因此，二阶段最小二乘法已成为联立方程模型参数估计的首选方法。对于恰好识别的方程，二阶段最小二乘法与间接最小二乘法的估计结果完全相同。69【例7.10】美国收入－货币供给模型（7.43）（7.44）70其中，Y1，Y2分别表示收入和货币存量，X1，X2分别表示投资支出和政府用于商品和劳务的支出，X1,X2为外生变量。71第一个方程［式（7.43）］是收入方程，说明收入是由货币供给、投资支出和政府支出所决定的。第二个方程［式（7.44）］是货币供给方程，说明货币存量是根据收入水平决定的。模型中变量数据见表7.3。72年份国内总产值Y1M2货币供给Y2私人国内总投资X1联邦政府支出X219701010.7628.1150.3208.519711097.2717.2175.5224.319721207.0805.2205.6249.319731349.6861.0243.1270.319741458.6908.6245.8305.619751585.61023.3226.0364.219761768.41163.7286.4392.719771974.11286.6358.3426.419782232.71388.7434.0469.319792488.61496.7480.2520.319802708.01629.5467.6613.119813030.61792.9558.0697.8表7.31970—1991年美国若干宏观经济数据 单位：10亿美元

73年份国内总产值Y1M2货币供给Y2私人国内总投资X1联邦政府支出X219823149.61951.9503.4770.919833405.02186.1546.7840.019843777.22374.3718.9892.719854038.72569.4714.5969.919864268.62811.1717.61028.219874539.92910.8749.31065.619884900.03071.1793.61109.019895250.83227.3832.31181.619905522.23339.0799.51273.619915677.53439.8721.11332.7续表74

应用识别的条件可知，货币供给方程是过度识别的。因此，可用二阶段最小二乘法估计货币供给方程的参数。写出简化式方程为（7.45）75

计算估计值，如表7.4所示。第一阶段，用最小二乘法估计简化式参数。根据样本资料，调用EViews软件计算得：（7.46）76年份19701010.71000.62419711097.21073.89619721207.01184.77719731349.61284.23619741458.61420.21419751585.61633.38519761768.41773.28319771974.11938.95319782232.72141.66419792488.62359.99819802708.02707.281表7.4

估计值77年份19813030.63076.95819823149.63327.41219833405.03613.25219843777.23903.23819854038.74195.28819864268.64419.16119874539.9457804766.52119895250.85063.32519905522.25397.11119915677.55581.879续表78第二阶段，将估计的代替货币供给方程右边的内生变量，使用普通最小二乘法估计参数，得（8.47）79

在EViews软件包中，二阶段最小二乘估计可一次完成。在估计方法中选择二阶段最小二乘法，在工具变量栏中输入即可得到二阶段最小二乘估计的结果。

80DependentVariable:Y2Method:Two-StageLeastSquaresDate:03/21/01Time:12:39Sample:19701991Includedobservations:22Instrumentlist:X1X2VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C34.6038830.542101.1329890.2706Y10.6143990.00906367.791430.0000R-squared0.995668Meandependentvar1890.105AdjustedR-squared0.995452S.D.dependentvar942.5301S.E.ofregression63.56564Sumsquaredresid80811.82F-statistic4595.678Durbin-Watsonstat0.657762Prob(F-statistic)0.000000EViews输出结果如下81据此结果可得到二阶段最小二乘估计方程为（7.48）82

式（7.48）与式（7.47）的参数值完全相同。但估计量的标准误不同。式（7.47）的标准误仅为二阶段最小二乘法第二阶段的标准误，未考虑第一阶段最小二乘估计的标准误。而式（7.48）则是综合考虑二个阶段的标准误，EViews软件直接给出了结果。我们可使用式（7.48）中的各统计量对参数估计进行假设检验。83（六）联立性检验（内生性检验）当解释变量是外生变量时，2SLS估计量不如OLS估计量有效，2SLS估计量会有非常大的标准误。因此，检验一个解释变量的内生性是非常有意义的。84联立性偏误的出现是因为有内生解释变量的存在，并与随机误差项相关。联立性检验本质上是检验内生解释变量是否与误差项相关。可采用豪斯曼（Hausman)设定误差检验。85豪斯曼建