控制工程基础复习课件

习题课1习题课15.3常用串联校正传递函数1,超前校正：Cu2R1R2u1其中高通滤波器提升高频衰减低频5.3常用串联校正传递函数1,超前校正：Cu2R1R2u1其一般取α≤15一般取α≤15超前校正（1）改进相对稳定性(2)改善稳态精度和响应速度设计步骤：1按给定的静态误差系数确定系统的开环增益；

2画增益校正后的伯德图，计算相位裕量3根据对校正后幅值穿越频率wc’的要求，计算超前校正网络的参数αi

和T1。根据期望的相位裕量确定需要的超前角4计算5选定超前校正装置的最大相角频率w，计算6必要时，调整增益以维持Kv不变7检查校正后系统的各项指标是否复合要求。超前校正（1）改进相对稳定性2,滞后网络其中u2CR1R2u1低通滤波器提升低频衰减高频2,滞后网络其中u2CR1R2u1低通滤波器提升低频衰减高频控制工程基础复习课件滞后校正（1）改善稳态精度(2)改善相对稳定性设计步骤：1按给定的静态误差系数确定系统的开环增益；2画增益校正后的伯德图，计算相位裕量3选择增益穿越频率wc，使其满足4令5求出6检查校正后系统的各项指标是否符合要求。滞后校正（1）改善稳态精度3,滞后—超前网络：C1u2R1u1C2R2领先滞后带阻滤波器3,滞后—超前网络：C1u2R1u1C2R2领先滞后带阻滤波控制工程基础复习课件设计方法：方法一：独立设计滞后和超前部分。按照滞后和超前设计的原则选择参数。方法二：采用经验方法选择参数设计方法：例5.8要求kv=20,γ≥50(kg≥10dB)解：调整k满足稳态性能，再加超前校正满足动态性能1，设k=20低频段ω＝120lg20=26,-20转折频率例5.8要求kv=20,γ≥50(kg≥10dB)求相角裕量72012ωc-20-40求相角裕量72012ωc-20-40作图法使即若要求γ≥50，则校正装置应提供：Φm≈500-200+50=350(裕量)作图法使即若要求γ≥50，则校正装置应提供：Φm≈5校正时，将ωm放置在新的ωc’，此时可最大提升频率特性使则-20-20-4026.3ωc’(ωm)5.7dBωc=6.3ωc’-40-5.7dB则校正时，将ωm放置在新的ωc’，此时可最大提升频率特性使则+－(校正环节)校正后的系统：+－(校正环节)校正后的系统：校正后系统的Bode图：4,校算:77.2027.8062.70基本满足要求校正后系统的Bode图：4,校算:77.2027.8062.练习题：1、设火炮指挥系统如图所示，开环传递函数系统最大输出速度为2r/min，输出位置的容许误差小于2度。求（1）确定满足上述指标的最小K值，计算该K值下的相位裕量;（2）前向通路中串联超前校正Gc(s)=(1+0.4s)/(1+0.08s)试计算相位裕量R(s)E(s)G(s)C(s)练习题：1、设火炮指挥系统如图所示，开环传递函数R(s)E解（1）解（1）（2）（2）2已知一单位反馈控制系统，其固定不变部分传递函数G0(s)和串联校正装置Gc(s)分别如图所示，要求写出校正后各系统的开环传递函数。（1）（2）2已知一单位反馈控制系统，其固定不变部分传递函数G0(s)控制工程基础复习课件0.53黑线为校正前的，红线为校正后的，确定所用的是何种串联校正，并写出校正装置的传递函数0.53黑线为校正前的，红线为校正后的，确定所用的是何种串联控制工程基础复习课件4已知某单位反馈系统的校正前开环传递函数为校正后的开环传递函数为试求校正前后相位裕度，判断校正前后系统的稳定性；说明校正后闭环时域指标（Mr）及闭环频域指标wr和Mr大致为多少？4已知某单位反馈系统的校正前开环传递函数为0.221025100-20-40-60-40-20-40-60Wc1=45rad/s校正前系统是稳定的，但稳定储备很差0.221025100-20-40-60-40-20-40-校正后的系统Wc2=10rad/s0.221025100-20-40-60-40-20-40-60校正后系统是稳定的，稳定裕度有很大提高校正后的系统Wc2=10rad/s0.221025100-20.221025100-20-40-60-40-20-40-600.221025100-20-40-60-40-20-40-5已知单位反馈系统的开环传递函数为试设计串联校正装置，使校正后系统的相位裕量大于50度，增益穿越频率大于45rad/s，静态速度误差系数Kv>=100/s5已知单位反馈系统的开环传递函数为解：（1）确定期望的开环增益K,因为取K=100（2）分析增益校正后系统，该系统穿越频率31.62rad/s，相位裕量0度。可见校正的任务是增加相位裕量，同时提升增益穿越频率，所以采用超前校正。超前校正传递函数取为（3）计算导前角（4）计算解：（1）确定期望的开环增益K,因为（5）计算T，取超前校正装置的最大相角频率为50rad/s，则有T＝0.06325（6）写出校正装置的传递函数（7）检查校正后的系统特性测算出增益穿越频率63.3rad/s，相角裕量30.8，K=100/s（5）计算T，取超前校正装置的最大相角频率为50rad/s，例题1：已知系统开环传递函数试分别计算和时开环频率特性的幅值和相角。例题1：已知系统开环传递函数

计算可得

计算可得例题2：试绘制下列传递函数的幅相曲线；绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。例题2：试绘制下列传递函数的幅相曲线；绘制下列传递函数的渐近解(1)

取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形三个特殊点：①ω=0时，

②ω=0.25时,

③ω=∞时,

解(1)控制工程基础复习课件例题3：三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题图(a)、(b)和(c)所示。要求：（1）写出对应的传递函数；（2）概略绘制对应的对数幅频和对数相频曲线。例题3：三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题图依图可写出：，依图可写出：，

例题4已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：

（1）时，K值的范围值的范围。（2）时，T值的范围（3）例题4已知系统开环传递函数

令

，解出，代入表达式并令其绝对值小于1

得出：

或

（1）时，（2）时，（3）值的范围如图中阴影部分所示。令，解出，代入表达式并令其绝对值小于1习题课2习题课2第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型

（几个重要的拉氏变换1/(s+a)tcoswt1/s1(t)sinwt1δ(t)F(s)f(t)F(s)f(t)1/(s+a)tcoswt1/s1(t)sinwt1主要定理L[f(t)]=F(s)1）叠加定理 L[af1+bf2]=aF1+bF2 2）微分定理 L[f’]=sF-f(0)初始条件

L[fn]=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f’(0)-…-f(n-1) (0)3）积分定理 L[∫fdt]=F(s)/s+∫fdt|t=0/s

不定积分常数项初始条件4)延迟定理 L[f(t-T)]=e-sTF(s)5)衰减定理 L[e-atf(t)]=F(s+a)主要定理L[f(t)]=F(s)主要定理L[f(t)]=F(s)6)初值定理 limf(t)|t=0=limsF(s)|s=00条件:存在7)终值定理 limf(t)|t=00=limsF(s)|s=0

条件:存在8)卷积定理 L[f*g]=F(s)G(s)

f*g=∫0tf(t-x)g(x)dx=∫0tf(x)g(t-x)dx9)时乘变换 L[tf(t)]=-dF(s)/ds10)时间比例变换 L[f(t/a)]=aF(as)主要定理L[f(t)]=F(s)3.拉氏变换的基本性质

(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。(2)微分性质若，则有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。3.拉氏变换的基本性质

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换证：根据拉氏变换的定义有(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理，有(3)积分性质若即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。即：（4）.终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限（4）.终值定理注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以注：若时f(t)极限b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即证明：(8)卷积定理控制工程基础复习课件二.拉氏反变换

1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。二.拉氏反变换

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展2.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和2.拉式反变换——部分分式展开式的求法控制工程基础复习课件（2）情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方程（2）情况2:F(s)有共轭极点（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点控制工程基础复习课件控制工程基础复习课件控制工程基础复习课件如果不记公式,可用以下方法求解如果不记公式,可用以下方法求解微分方程解 解的拉氏变换(原函数）反变换部分分式展开(象函数) /\ /\ | 解代数方程|

微分方程带入初始条件拉氏变换象函数代数方程例：x”+5x’+6x=u u=1(t),x(0),x’(0)(s2+5s+6)X(s)-[(s+5)x(0)+x’(0)]=1/s解的组成分析 强制+系统自由分量解=零状态响应+零输入响应

=暂态响应+稳态响应解的分量运动形式组成决定于(s2+5s+6)=0的根(特征方程)微分方程解 解的拉氏变换一.数学模型1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。二.线性系统1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。三.传递函数1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。2-1概述一.数学模型2-1概述3.表示形式a.微分方程

b.传递函数

c.频率系统

三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换3.表示形式a.微分方程三种数学模型之间的关系线性系统例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。rLCur(t)uc(t)i(t)例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压依据：电学中的基尔霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律整理成规范形式整理成规范形式例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律消去中间变量，则微分方程为：例1：RC电路如图所示则微分方程为：可用方框图表示例2.双T网络对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：可用方框图表示对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取控制工程基础复习课件方法二：用复阻抗法方法二：用复阻抗法2-5结构图一.结构图的概念和组成1.概念

将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。2.组成

(1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。

2-5结构图一.结构图的概念和组成三.结构图的等效变换（1）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)三.结构图的等效变换G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(2-6梅逊公式一.术语介绍

1.节点结构图中所有的引出点，比较点称节点。

2.前向通路从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。

3.回路

2-6梅逊公式一.术语介绍

起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。

4.不接触回路相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。二.梅逊公式任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭式中：n为前向通路的条数

Pk为第k条前向通路增益

Δ为系统特征式

Δ=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+……Δk为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次Δ。式中：n为前向通路的条数Δk为第k条前向通路特征式的余子式1RC网络如图1、2所示，其中Ui,U0分别为网络的输入量和输出量。现要求（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数U0(s)/Ui(s)，化为标准形式rLCur(t)uc(t)i(t)1RC网络如图1、2所示，其中Ui,U0分别为网络的输入量注：同学作题可以不以元件为单位画。注：同学作题可以不以元件为单位画。2RC网络如图1、2所示，其中Ur,Uc分别为网络的输入量和输出量。现要求（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数Uc(s)/Ur(s)，化为标准形式2RC网络如图1、2所示，其中Ur,Uc分别为网络的输入量3,利用Mason公式求传递函数C(s)/R(s)|N=0,E(s)/R(s)|N=0,C(s)/N(s)|R=0,求R(s),N(s)同时作用下的总输出C(s)3,利用Mason公式求传递函数C(s)/R(s)|N=（1）本例C(s)/R(s)的求法（1）本例C(s)/R(s)的求法两两互不接触回路有L1L2（2）若以E(s)为输出，R(s)为输入，传递函数E(s)/R(s)如下求取：两两互不接触回路有L1L2（2）若以E(s)为输出，R(s

两两互不接触回路仍为L1L2

无论输入输出是什么，回路是不变的，所以Δ不变两两互不接触回路仍为L1L2(3).若在G2输入端有一点干扰N(s),求C(s)/N(s)

因为传递函数是单输入单输出，所以求C(s)/N(s）时令R(s)=0.(当然求C(s)/R(s)时也要令N(s)=0)，则有(3).若在G2输入端有一点干扰N(s),求C(s)/N(s(4).若求R(s),N(s)同时作用下的总输出，则有(4).若求R(s),N(s)同时作用下的总输出，则有4系统如图，利用梅逊公式求出传递函数

4系统如图，利用梅逊公式求出传递函数第三章：1基于微分方程和传递函数求解时间响应2稳定性：劳斯判据3稳态性能4动态性能第三章：1基于微分方程和传递函数求解时间响应稳态性能输出尽量跟随参考输入而不受干扰影响误差：误差=期望输出-实际输出实际输出=稳态分量+暂态分量稳态误差=期望输出-实际稳态输出稳态分量输出量取决于输入量和相应传递函数研究对象:原理性误差稳态误差产生的主要原因：非线性（分辨率、死区）+原理性稳态性能输出尽量跟随参考输入而不受干扰影响线性系统的原理误差：G(s)H(s)r(t)R(s)y(t)e(t)E(s)b(t)B(s)Y(s)-当H(s)=1时，参考输入即期望的输出当H(s)不等于1时，就不能用上式定义误差，可行的定义为线性系统的原理误差：G(s)H(s)r(t)R(s)y(t)根据稳态误差的定义：根据稳态误差的定义：例3：某反馈控制系统的方框图如图所示，试求闭环传递函数，并判别系统稳定性，例3：某反馈控制系统的方框图如图所示，试求控制工程基础复习课件例4利用梅逊公式求传递函数C(s)/R(s),C(s)/N(s)例4利用梅逊公式求传递函数C(s)/R(s),C(s)/N控制工程基础复习课件控制工程基础复习课件（1）系统稳定K=100/5=20,系统型别0系统稳定（1）系统稳定系统稳定6控制系统结构如图，扰动输入n(t)=2*1(t)（1）试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。（2）若K=20，其结果如何？6控制系统结构如图，扰动输入n(t)=2*1(t)控制工程基础复习课件7试求如图所示系统总的稳态误差，已知r(t)=t,n(t)=1(t)7试求如图所示系统总的稳态误差，已知r(t)=t,n(t)控制工程基础复习课件例5利用Mason公式求传递函数C(s)/R(s)|N=0,E(s)/R(s)|N=0,C(s)/N(s)|R=0,求R(s),N(s)同时作用下的总输出C(s)例5利用Mason公式求传递函数C(s)/R(s)|N=（1）本例C(s)/R(s)的求法（1）本例C(s)/R(s)的求法两两互不接触回路有L1L2（2）若以E(s)为输出，R(s)为输入，传递函数E(s)/R(s)如下求取：两两互不接触回路有L1L2（2）若以E(s)为输出，R(s两两互不接触回路仍为L1L2

无论输入输出是什么，回路是不变的，所以Δ不变两两互不接触回路仍为L1L2(3).若在G2输入端有一点干扰N(s),求C(s)/N(s)

因为传递函数是单输入单输出，所以求C(s)/N(s）时令R(s)=0.(当然求C(s)/R(s)时也要令N(s)=0)，则有(3).若在G2输入端有一点干扰N(s),求C(s)/N(s(4).若求R(s),N(s)同时作用下的总输出，则有(4).若求R(s),N(s)同时作用下的总输出，则有例6系统如图，利用梅逊公式求出传递函数

例6系统如图，利用梅逊公式求出传递函数系统有两个回路：

系统有两个回路：2个前向通道1（与G3H不相关）、-G1G32个前向通道1（与G3H不相关）、-G1G3习题课1习题课15.3常用串联校正传递函数1,超前校正：Cu2R1R2u1其中高通滤波器提升高频衰减低频5.3常用串联校正传递函数1,超前校正：Cu2R1R2u1其一般取α≤15一般取α≤15超前校正（1）改进相对稳定性(2)改善稳态精度和响应速度设计步骤：1按给定的静态误差系数确定系统的开环增益；

2画增益校正后的伯德图，计算相位裕量3根据对校正后幅值穿越频率wc’的要求，计算超前校正网络的参数αi

和T1。根据期望的相位裕量确定需要的超前角4计算5选定超前校正装置的最大相角频率w，计算6必要时，调整增益以维持Kv不变7检查校正后系统的各项指标是否复合要求。超前校正（1）改进相对稳定性2,滞后网络其中u2CR1R2u1低通滤波器提升低频衰减高频2,滞后网络其中u2CR1R2u1低通滤波器提升低频衰减高频控制工程基础复习课件滞后校正（1）改善稳态精度(2)改善相对稳定性设计步骤：1按给定的静态误差系数确定系统的开环增益；2画增益校正后的伯德图，计算相位裕量3选择增益穿越频率wc，使其满足4令5求出6检查校正后系统的各项指标是否符合要求。滞后校正（1）改善稳态精度3,滞后—超前网络：C1u2R1u1C2R2领先滞后带阻滤波器3,滞后—超前网络：C1u2R1u1C2R2领先滞后带阻滤波控制工程基础复习课件设计方法：方法一：独立设计滞后和超前部分。按照滞后和超前设计的原则选择参数。方法二：采用经验方法选择参数设计方法：例5.8要求kv=20,γ≥50(kg≥10dB)解：调整k满足稳态性能，再加超前校正满足动态性能1，设k=20低频段ω＝120lg20=26,-20转折频率例5.8要求kv=20,γ≥50(kg≥10dB)求相角裕量72012ωc-20-40求相角裕量72012ωc-20-40作图法使即若要求γ≥50，则校正装置应提供：Φm≈500-200+50=350(裕量)作图法使即若要求γ≥50，则校正装置应提供：Φm≈5校正时，将ωm放置在新的ωc’，此时可最大提升频率特性使则-20-20-4026.3ωc’(ωm)5.7dBωc=6.3ωc’-40-5.7dB则校正时，将ωm放置在新的ωc’，此时可最大提升频率特性使则+－(校正环节)校正后的系统：+－(校正环节)校正后的系统：校正后系统的Bode图：4,校算:77.2027.8062.70基本满足要求校正后系统的Bode图：4,校算:77.2027.8062.练习题：1、设火炮指挥系统如图所示，开环传递函数系统最大输出速度为2r/min，输出位置的容许误差小于2度。求（1）确定满足上述指标的最小K值，计算该K值下的相位裕量;（2）前向通路中串联超前校正Gc(s)=(1+0.4s)/(1+0.08s)试计算相位裕量R(s)E(s)G(s)C(s)练习题：1、设火炮指挥系统如图所示，开环传递函数R(s)E解（1）解（1）（2）（2）2已知一单位反馈控制系统，其固定不变部分传递函数G0(s)和串联校正装置Gc(s)分别如图所示，要求写出校正后各系统的开环传递函数。（1）（2）2已知一单位反馈控制系统，其固定不变部分传递函数G0(s)控制工程基础复习课件0.53黑线为校正前的，红线为校正后的，确定所用的是何种串联校正，并写出校正装置的传递函数0.53黑线为校正前的，红线为校正后的，确定所用的是何种串联控制工程基础复习课件4已知某单位反馈系统的校正前开环传递函数为校正后的开环传递函数为试求校正前后相位裕度，判断校正前后系统的稳定性；说明校正后闭环时域指标（Mr）及闭环频域指标wr和Mr大致为多少？4已知某单位反馈系统的校正前开环传递函数为0.221025100-20-40-60-40-20-40-60Wc1=45rad/s校正前系统是稳定的，但稳定储备很差0.221025100-20-40-60-40-20-40-校正后的系统Wc2=10rad/s0.221025100-20-40-60-40-20-40-60校正后系统是稳定的，稳定裕度有很大提高校正后的系统Wc2=10rad/s0.221025100-20.221025100-20-40-60-40-20-40-600.221025100-20-40-60-40-20-40-5已知单位反馈系统的开环传递函数为试设计串联校正装置，使校正后系统的相位裕量大于50度，增益穿越频率大于45rad/s，静态速度误差系数Kv>=100/s5已知单位反馈系统的开环传递函数为解：（1）确定期望的开环增益K,因为取K=100（2）分析增益校正后系统，该系统穿越频率31.62rad/s，相位裕量0度。可见校正的任务是增加相位裕量，同时提升增益穿越频率，所以采用超前校正。超前校正传递函数取为（3）计算导前角（4）计算解：（1）确定期望的开环增益K,因为（5）计算T，取超前校正装置的最大相角频率为50rad/s，则有T＝0.06325（6）写出校正装置的传递函数（7）检查校正后的系统特性测算出增益穿越频率63.3rad/s，相角裕量30.8，K=100/s（5）计算T，取超前校正装置的最大相角频率为50rad/s，例题1：已知系统开环传递函数试分别计算和时开环频率特性的幅值和相角。例题1：已知系统开环传递函数

计算可得

计算可得例题2：试绘制下列传递函数的幅相曲线；绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。例题2：试绘制下列传递函数的幅相曲线；绘制下列传递函数的渐近解(1)

取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形三个特殊点：①ω=0时，

②ω=0.25时,

③ω=∞时,

解(1)控制工程基础复习课件例题3：三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题图(a)、(b)和(c)所示。要求：（1）写出对应的传递函数；（2）概略绘制对应的对数幅频和对数相频曲线。例题3：三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频曲线分别如题图依图可写出：，依图可写出：，

例题4已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：

（1）时，K值的范围值的范围。（2）时，T值的范围（3）例题4已知系统开环传递函数

令

，解出，代入表达式并令其绝对值小于1

得出：

或

（1）时，（2）时，（3）值的范围如图中阴影部分所示。令，解出，代入表达式并令其绝对值小于1习题课2习题课2第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型

（几个重要的拉氏变换1/(s+a)tcoswt1/s1(t)sinwt1δ(t)F(s)f(t)F(s)f(t)1/(s+a)tcoswt1/s1(t)sinwt1主要定理L[f(t)]=F(s)1）叠加定理 L[af1+bf2]=aF1+bF2 2）微分定理 L[f’]=sF-f(0)初始条件

L[fn]=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f’(0)-…-f(n-1) (0)3）积分定理 L[∫fdt]=F(s)/s+∫fdt|t=0/s

不定积分常数项初始条件4)延迟定理 L[f(t-T)]=e-sTF(s)5)衰减定理 L[e-atf(t)]=F(s+a)主要定理L[f(t)]=F(s)主要定理L[f(t)]=F(s)6)初值定理 limf(t)|t=0=limsF(s)|s=00条件:存在7)终值定理 limf(t)|t=00=limsF(s)|s=0

条件:存在8)卷积定理 L[f*g]=F(s)G(s)

f*g=∫0tf(t-x)g(x)dx=∫0tf(x)g(t-x)dx9)时乘变换 L[tf(t)]=-dF(s)/ds10)时间比例变换 L[f(t/a)]=aF(as)主要定理L[f(t)]=F(s)3.拉氏变换的基本性质

(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。(2)微分性质若，则有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。3.拉氏变换的基本性质

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换证：根据拉氏变换的定义有(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理，有(3)积分性质若即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。即：（4）.终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限（4）.终值定理注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以注：若时f(t)极限b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即证明：(8)卷积定理控制工程基础复习课件二.拉氏反变换

1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。二.拉氏反变换

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展2.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和2.拉式反变换——部分分式展开式的求法控制工程基础复习课件（2）情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方程（2）情况2:F(s)有共轭极点（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点控制工程基础复习课件控制工程基础复习课件控制工程基础复习课件如果不记公式,可用以下方法求解如果不记公式,可用以下方法求解微分方程解 解的拉氏变换(原函数）反变换部分分式展开(象函数) /\ /\ | 解代数方程|

微分方程带入初始条件拉氏变换象函数代数方程例：x”+5x’+6x=u u=1(t),x(0),x’(0)(s2+5s+6)X(s)-[(s+5)x(0)+x’(0)]=1/s解的组成分析 强制+系统自由分量解=零状态响应+零输入响应

=暂态响应+稳态响应解的分量运动形式组成决定于(s2+5s+6)=0的根(特征方程)微分方程解 解的拉氏变换一.数学模型1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。二.线性系统1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。三.传递函数1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。2-1概述一.数学模型2-1概述3.表示形式a.微分方程

b.传递函数

c.频率系统

三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换3.表示形式a.微分方程三种数学模型之间的关系线性系统例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。rLCur(t)uc(t)i(t)例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压依据：电学中的基尔霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律整理成规范形式整理成规范形式例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律消去中间变量，则微分方程为：例1：RC电路如图所示则微分方程为：可用方框图表示例2.双T网络对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：可用方框图表示对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取控制工程基础复习课件方法二：用复阻抗法方法二：用复阻抗法2-5结构图一.结构图的概念和组成1.概念

将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。2.组成

(1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。

2-5结构图一.结构图的概念和组成三.结构图的等效变换（1）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)三.结构图的等效变换G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(2-6梅逊公式一.术语介绍

1.节点结构图中所有的引出点，比较点称节点。

2.前向通路从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。

3.回路

2-6梅逊公式一.术语介绍

起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。

4.不接触回路相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。二.梅逊公式任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭式中：n为前向通路的条数

Pk为第k条前向通路增益

Δ为系统特征式

Δ=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+……Δk为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次Δ。式中：n为前向通路的条数Δk为第k条前向通路特征式的余子式1RC网络如图1、2所示，其中Ui,U0分别为网络的输入量和输出量。现要求（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数U0(s)/Ui(s)，化为标准形式rLCur(t)uc(t)i(t)1RC网络如图1、2所示，其中Ui,U0分别为网络的输入量注：同学作题可以不以元件为单位画。注：同学作题可以不以元件为单位画。2RC网络如图1、2所示，其中Ur,Uc分别为网络的输入量和输出量。现要求（1）画出网络相应的结构图；（2）求传递函数Uc(s)/Ur(s)，化为标准形式2RC网络如图1、2所示，其中Ur,Uc分别为网络的输入量3,利用Mason公式求传递函数C(s)/R(s)|N=0,E(s)/R(s)|N=0,C(s)/N(s)|R=0,求R(s),N(s)同时作用