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§3.4解析函数与调和函数关系复习二元函数有两个有四个假如则P26定理2.2P50定理3.11即若解析，则解析，此时可微、也可微、一阶偏导数：二阶偏导数：二阶偏导数连续，在区域D内解析与在D内可微，且满足条件:解析函数一定是导数解析函数连续.连续.第1页1定义3.3假如在区域D内偏导数,且满足则称为区域D内假如与都是D内则称为共轭定理3.18定理与在区域D内设且为则是D内定义3.4且满足条件:含有二阶连续调和函数调和函数，调和函数，共轭调和函数，解析函数.若在区域D内可微，解析，则为共轭调和函数，二元函数Laplace方程第2页2证实设是区域D内则(1)也是D内在D内(2)一阶偏导数所以以这类推二阶偏导数(3)是D内同理也是D内是实部共轭而且虚部都可微、连续解析函数解析函数调和函数，调和函数，调和函数。都连续都连续第3页359页17设是D内证实是D内证实因为是D内所以(1)二阶偏导数可微，(2)由得到由得到是D内一样可证：若是D内则是D内调和函数，调和函数，调和函数，解析函数。解析函数。解析函数。连续，第4页4例2证实：一对共轭也是调和函数证：设为共轭则是区域D内是区域D内是调和函数，是调和函数.例3设是区域D内证实：也是解析函数，证：由解析得到可微，且所以可微，且解析是共轭解析函数在区域D内解析函数解析函数调和函数调和函数乘积调和函数，第5页5例4设求p值，使为调和函数，并求出解析函数解第6页6例5求证为调和函数，求出解析函数证实为调和函数，第7页7例6设为调和函数，求出解析函数解第8页8例7设为调和函数，求出解析函数解第9页9例8设为调和函数，

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