2020年高考数学专题五 第2讲

第2讲椭圆、双曲线、抛物线高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.y＝±C.y＝±xxB.y＝±D.y＝±xx解析法一由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.法二由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.答案A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝()A.5B.6C.7D.8解析过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.答案D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.B.C.D.解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，PE＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为答案D的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝.4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.(1)解由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.把x＝1代入椭圆方程＋y2＝1，可得点A的坐标为或.又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.(2)证明当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得kMA＋kMB，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补.所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标＝.①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).②双曲线－(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－，准线方程y＝－..②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝长|AB|＝x1＋x2＋p.，y1y2＝－p2，弦热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.C.－－＝1＝1B.D.－＝1－＝1(2)(2018·烟台二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则|NT|＝________.＝解析(1)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.(2)由x2＝4y，知F(0，1)，准线l：y＝－1.设点M(x0，y0)，且x0>0，y0>0.，知点M是线段FN的中点，N是FT中点，利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|＝y0＋1，且|FF′|＝2|NN′|＝2.又2(y0＋1)＝|FF′|＋|NN′|＝3，知y0＝.∴|MF|＝＋1＝，从而|NT|＝|FN|＝2|MF|＝3.由＝答案(1)C(2)3探究提高1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1＝1＝1有公共焦点，则C的方程为()A.C.－－B.－－＝1＝1D.(2)(2018·衡水中学调研)P为椭圆C：＋y2＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，记动点Q的轨迹为Ω，设点B为椭圆C短轴上一顶点，直线BF2与Ω交于M，N两点，则|MN|＝________.解析(1)由题设知＝，①又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝(2)∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，则双曲线C的方程为，且|PQ|＝|PF2|，－＝1.∴|F1Q|＝|F1P|＋|PF2|＝2.∴Ω为以F1(－1，0)为圆心，2为半径的圆.∵|BF1|＝|BF2|＝，|F1F2|＝2，∴BF1⊥BF2，故|MN|＝2＝2＝2.答案(1)B(2)2热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：渐近线的距离为()－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的A.B.2C.D.2(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.解析(1)法一由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方＝2程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为.法二离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.(2)设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，4a2(a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2e＝－1.＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝(舍)，e2＝4－2.由0<e<1，得答案(1)D(2)－1探究提高1.分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求到.或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得【训练2】(1)(2018·成都质检)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0<t<b).已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.解析(1)由椭圆的定义及对称性，△PEF2的周长的最小值为2a.∴2a＝4b，a＝2b，则c＝＝b，则椭圆C的离心率e＝＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，p，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴p＝p，即＝＝.∴双曲线渐近线方程为y＝±x.答案(1)A(2)y＝±x热点三直线与圆锥曲线考法1直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P又N为M关于点P的对称点，故N，，故直线ON的方程为y＝x，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H所以N为OH的中点，即.＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.探究提高1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】(2018·潍坊三模)已知M为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得|PA|＝2，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m与圆O相切，且与曲线C交于D，E两点，直线l1平行于l且与曲线C相切于点Q(O，Q位于l两侧)，＝，求k的值.解(1)设P(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，则M(x0，y0)且x＋y＝1，由题意知OAMB为矩形，∴|AB|＝|OM|＝1，∴＝2，即(x－x0，y)＝2(x0，－y0)，∴x0＝，y0＝，则＋＝1，故曲线C的方程为＋＝1.(2)设l1：y＝kx＋n，∵l与圆O相切，∴圆心O到l的距离d1＝∵l1与l距离d2＝＝1，得m2＝k2＋1，①，②∵＝＝＝＝，∴m＝－2n或m＝n，又O，Q位于l两侧，∴m＝n，③联立消去y整理得(9k2＋4)x2＋18knx＋9n2－36＝0，由Δ＝0，得n2＝9k2＋4，④由①③④得k＝±.考法2有关弦的中点、弦长问题【例3－2】(2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：点为M(1，m)(m>0).＋＝1交于A，B两点，线段AB的中(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且并求该数列的公差.＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由由题设知＝k得＋·k＝0.＝1，＝m，于是k＝－.①由于点M(1，m)(m>0)在椭圆＋＝1内，∴＋<1，解得0<m<，故k<－.(2)解由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0).由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.又点P在C上，所以m＝，从而P于是|，||＝.|＝＝＝2－.同理||＝2－.所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.故2|即||＝||，||＋||，||，|成等差数列.设该数列的公差为d，则2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|＝.②将m＝代入①得k＝－1.所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或－.探究提高1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|＝而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.|x2－x1|，设2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|·|AB|＝6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sin∠AOQ(O为原点)，求k的值.＝解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.＝，由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2).由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.又因为|AQ|＝故|AQ|＝，而∠OAB＝，y2.由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.由方程组消去x，可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，由方程组消去x，可得y2＝.代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，将等式两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝所以，k的值为.或.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算e＝；法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·合肥调研)已知双曲线C：曲线C的离心率为()－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则双A.2B.C.D.解析依题意，2·答案D＝－1，∴b＝2a.则e2＝1＋＝5，∴e＝.2.(2018·南昌质检)已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若＝0，则直线OA与OB的斜率之积为()·A.－B.－3C.－D.－4解析设A，B，由x2＝4y，得y′＝.所以kAP＝，kBP＝，由＝－·＝0，得PA⊥PB.∴·AB＝－1，则x·x＝－4，又kOA·kOB＝·＝.答案A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－标是(1，3)，则△APF的面积为()＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐A.B.C.D.解析由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝答案D.4.已知椭圆C：∠F1AF2＝＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接AF2交y轴于M点，若3|OM|＝|OF2|，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析设|AF1|＝m，|AF2|＝n.如图所示，由题意可得∵Rt△F1AF2∽Rt△MOF2.∴＝＝，则n＝3m.又|AF1|＋|AF2|＝m＋n＝2a，∴m＝，n＝a.在Rt△F1AF2中，m2＋n2＝4c2，即a2＝4c2，∴e2＝＝，故e＝.答案D5.(2018·石家庄调研)已知F1，F2分别为双曲线一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上，则双曲线的标准方程为()A.C.－－＝1＝1B.－＝1D.x2－＝1解析如图，不妨设点P(x0，y0)在第一象限，则PF2⊥x轴，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，则|PF2|＝，|PF1|＝，又因为|PF1|－|PF2|＝＝2a，即c＝a.又2b＝2，知b＝，且c2－a2＝2，从而得a2＝1，c2＝3.故双曲线的标准方程为x2－答案D＝1.二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.解析由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐4，所以4答案(1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－近线的距离为c，则其离心率的值是________.解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2.答案28.设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2；已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________.解析由x2＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1)，准线y＝－1.依题意，设A(x0，y0)(x0>0)，由定义，得|AF|＝y0＋，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y轴.易知当P(1，－1)时，|PA|＋|PF|最小，∴|PF|＝＝.由正弦定理，2R＝＝＝，因此△PAF的外接圆半径R＝.答案三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0