2021年河南省郑州市王鼎国贸大厦高三数学理上学期期末试题含解析

2021年河南省郑州市王鼎国贸大厦高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（

）（A）

（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：D∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设，则，解得.2.函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】分类，当x＞0时，令f（x）=0，解得：x=1，当x≤0时，令f（x）=0，解得：x=0，x=﹣2，可知函数f（x）有三个零点．【解答】解：当x＞0时，令f（x）=0，解得：x=1，当x≤0时，令f（x）=0，解得：x=0，x=﹣2，∴函数f（x）有三个零点，故选D．【点评】本题考查函数零点的判定，考查计算能力，属于基础题．3.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，下面说法错误的是（

）A.若a与b共线，则a⊙b=0

B.a⊙b=b⊙aC.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b)

D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2参考答案：B4.已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对(A，B)的个数为

（

）A.10 B.12 C.14 D.16参考答案：A【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果。【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1），；（2），；（3），；（4），。共计4种可能。3、可以推测集合A中不可能有3个元素；4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可。共计4种可能。5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可。共1种可能。综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10。答案选A。【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键。5.已知数列，满足，，，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是A.2012

B.2013

C.2014

D.2015参考答案：D略6.已知命题：，使得，则?为

（

）

A.，使得

B.，使得

C.，使得

D.，使得参考答案：A略7.已知矩形的四个顶点的坐标分别是，，，，其中两点在曲线上，如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形中，则骰子落入阴影区域的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C8.已知：关于的不等式的解集是R，：，则是的

（

）条件

A．充分非必要

B．必要非充分

C．既非充分又非必要

D．充分必要参考答案：D9.（5分）（2014?福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：直线与圆；简易逻辑．【分析】：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解析：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．10.当时，，则a的取值范围是A．

B．C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量__________；高考资源网

参考答案：-15

略12.过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴yB=﹣2yA∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．13.已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为．参考答案：5+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；7F：基本不等式．【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：y=ln（x+b）的导数为y′=，由切线的方程y=x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2．当且仅当a=b，即a=，b=3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．14.如右图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．

参考答案：

略15.设是等比数列的前n项和，若，，成等差数列，则公比等于____________________。参考答案：1/3略16.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.参考答案：17.（4分）（2015?浙江模拟）如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则?的取值范围是．参考答案：[﹣7，1]【考点】：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用；直线与圆．【分析】：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，=r（3+4+5），解得r=1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2=1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1．同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3．．综上可得，?的取值范围是[﹣7，1]．故答案为：[﹣7，1]．【点评】：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量的坐标运算，同时考查直线和圆联立求交点，考查不等式的性质，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．（1）求曲线的轨迹方程；（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

参考答案：（1）；（2）存在△面积的最大值；（2）：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）故曲线C的方程为．…（5分）（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）因为直线过点，设直线的方程为或y=0（舍）．则整理得．…（7分）由．设．解得，．则． 因为．…（10分）设，，．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m=0时取等号，即．所以的最大值为．…（14分）19.已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．参考答案：【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由c=丨OF丨=丨PQ丨=1，根据三角形的面积公式，即可求得b的值，a2=b2+c2=2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设S点坐标，求直线A1S及A2S代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得的最大值．【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）a2=b2+c2=2，∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理，设直线A2S：x=y+，得（+2）y2+y=0，解得y1=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则=丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．20.(本小题12分)如图，四棱锥中，为边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面⊥平面，，为点上一点，满足（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值的大小．参考答案：

21.（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标系与参数方程）（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；参考答案：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）22.已知函数()=，g()=+。（1）求函数h()=()-g()的零点个数。并说明理由；（2）设数列{}（）满足，，证明：存在常熟M,使得对于任意的，都有≤

.参考答案：解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有