高考数学：正态分布

正态分布Aa组基础巩固9一、选择题(2021江苏扬少M调研)已知随机变量X〜N(1,-P(X>0)=0.8,则P(X>2)=(A)A.0.2 B,0.4C.0.6 D,0.8［解析］由X〜N(1,(2),正态曲线关于X=1对称，P(X>2)=P(X<0)=1—P(X>0)=0.2;故选A.(2021九江一模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),则k的值为(B)A.6 B.7C.8D.9k—4+k［解析］•- 2-=5,，k=7,故选B.3.(2020河北唐山一模)随机变量E服从正态分布N(的处若P(<2)=0.2,P(2<36)=0.6，则四=(C)C.4D.3［解析］由题意可知P(笋6)=1—P(32)—P(2<36)=0.2,6+2•・P(登6)=P(K2),••・尸-2-=4.选C.4.(2021湖南益阳调研)已知随机变量E服从正态分布N(1,)若P(%4)=09则P(—2<34)=(D)0.4C.0.6D.0.8［解析］由正态曲线的对称性知6=0.6826,P(|X—UW23=0.9544,P(|X— 36=0.9974.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服第1页共10页

130分以上的学生人数约为从正态分布N(110,100),130分以上的学生人数约为B.46C.23D.C.23［解析］由题意，户110,o=10,1—0.9544故P(X>130)=P(X>叶2》=——2 =0.0228.，估计该校本次数学考试成绩在 130分以上的学生人数约为 1000X0.0228=22.8=23.故选C.6.(20206.(2020浙江宁波期末)已知随机变量X的分布列是X123P13ab11E(X)=k，则D(X)的值是(A)617181718A・3623C623C6D.2318［解析］由Pi+P2+P3=1,得a+b=!.①3TOC\o"1-5"\h\z1 11…E(X)=-+2a+3b=—,②3 62a+3b=,联立①②,a=1,b=1.2 6所以D(X)=E(X2)-(E(X))21 1-111c17=1*/4><2+9><6-(刀2=36.故选A.(2021甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的 3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X,已知E(X)=3,则D(X)=(B)随机摸取一球，有放回地摸取B6BB6B-5X~B(5,小)，5^［解析］由题意知"=3,解得m=2,［解析］由题意知m+3第2页共10页3 326.X〜B（5,5）,D（X）=5Xg><5=5.（2020福建模拟）已知随机变量X〜N（2,1）,其正态分布密度曲线如图所示.若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为 （D）附：若随机变量个N（内J）,则P（广西乒叶@=0.6826,P（厂24小叶26=0.9544.¥\x=2A.0.1359 B.0.6587C.0.7282 D.0.8641., ,—一 1［解析］由题意P（0VXW1）=2X（0.9544-0.6826）=0.1359.1 101359在正方形OABC内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为 P=J-1 9=X10.8641.故选D.（2021山东青岛模拟改编）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期， 某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 N（丛302）和N（280,402）,则下列选项不正确.的是（C）附：若随机变量X服从正态分布N（内（2）,则P（厂0<X<科+3=0.6826.A.若红玫瑰日销售量范围在（厂30,280）的概率是0.6826,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在（280,320）的概率约为0.3413［解析］对于选项A:叶30=280,户250,正确；对于选项BC:利用越小越集中,1 30小于40,B正确，C不正确；对于选项D:P(280<X<320)=P(FX<w+@=0.6826X3=0.3413,正确.故选C.（2021湖北荆州中学调研）已知某校高三年级有 1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为 ［60,300］,若使标准分X服从正态分布N（180,900）.(参考数据：①P(四—o<X<叶3=0.6827;②Pg2KXW叶26=0.9545;第3页共10页③P（四—3KXW叶36=0.9973.则下列结论正确的个数为（B）①这次考试标准分超过180分的约有450人②这次考试标准分在（90,270］内的人数约为997③甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为3④P（240<XW270）=0.04288TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2C.3 D.4［解析］这次考试标准分超过 180分的约有500人，①错；•••P（90<X<270）=P（厂3KX<W+30=0.9973,••・标准分在（90,270）内的人数约为0.9973X1000=997,.••②正确.甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C212><1=_3,.•.③正确；•「P（240<X<270）=2 2 8P90<X<270—P120Vx<240P厂3KX<叶3（r—P7—2o<X<叶2〉 0.9973—0.95452 — 2 — 2 —0.0214,••.④错误.故选B.二、填空题11.（2020吉林长春二模）已知随机变量X服从正态分布N（m,（2）,若P（xw—3）=P（x>4）,则m=1.—2——3+41［解析］由正态分布的性质可知， m= 2 =2..（2021苏鲁名校联考）设随机变量E服从正态分布N（1,<2）,若P（32）=0.8,则P（0<&2）=0.6.［解析］由题意知P（1<%2）=P（%2）—0.5=0.3,P（0<32）=2P（1<32）=0.6..（2021吉林一中模拟）若随机变量E服从正态分布N（的力则P（『o</叶6=0.682P（厂2Kx叶23=0.9544.设>N（1,（2）,且P（登3）=0.1587,则h_2.1析］..P（厂（<3叶4=0.6826,•.P（守叶@=QX（1—0.6826）=0.1587,「E〜N（1,%P（笋1+6=0.1587=P（登3）,•.1+户3,即户2.（2021新高考八省联考）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物2 理量的最后结果.已知最后结果的误差n〜N0,、，为使误差n在（一0.5,0.5）的概率不小于0.9545,至少要测量32次（若X~N（比，），则P（|X-4<2）=0.9545）.［解析］根据正态曲线的对称性知：第4页共10页

要使误差印在（一0.5,0.5）的概率不小于0.9545,0=则（口2（t,叶2力？（―0.5,0.5）且产0,0=,所以0.5>2\/n?n>32.故答案为：32.三、解答题（2021重庆巴蜀中学适应性考试）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即 2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1〜14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示.⑴由直方图可认为答题者的成绩 z服从正态分布 N（内原），其中核,3分别为答题者的平均成绩X和成绩的方差s2,那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表 ）（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”， 用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取 4人，“防御知识合格者”的人数为 E,求P（M3）.（精确到0.001）附：①s2=204.75,^204.75=14.31;②z〜N（丛（2）,则P（厂o<z<叶@=0.6826,P*—2Kz<^+26=0.9544;③0.84134=0.501,0.84133=0.595.［解析］（1）由题意知：x=45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5,因为z服从正态分布N(山仔)，其中产X=70.5,，=D(9=204.75,户14.31,，z服从正态分布N(内J)=N(70.5,14.312),而P(厂Kz<叶)=P(56.19<z<84.81)=0.6826,P(z>84.81)=1-0.6826=0.1587,第5页共10页，竞赛成绩超过84.81的人数估计为0.1587X10000=1587人.(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为-0.1587=0.8413,而丁B(4,0.8413),•・P(乒3)=1—P(土4)=1-C4-0.84143=1—0.501=0.499.16.(2021广东六校联考)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.万案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 4.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币， 决定是否继续进行第二次抽奖， 规定:若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元.2万案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 2,每次中奖均可获得奖金400兀.5(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？［解析］(1)由题意，X的所有可能取值为0,500,1000.14117则P(X=0)=-+-x-x-=—,552525412TOC\o"1-5"\h\zP(X=500)=5X-=-,5254^14 8P(X=1000)=-x-x-=一・••某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为X05001000P72825525TOC\o"1-5"\h\z(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金 X的期望E(X)=500X2+1000X78=520,5 25若选择方案乙进行抽奖，中奖次数 —B3,2,则EG)=3x1=6,5 55抽奖所获奖金X的期望E(X)=E(400$=400E(3=480,故选持方案甲较划算.♦B组能力提升.1.(2020北京朝阳期末)春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天， 播种绿色”为主题的第6页共10页

植物种植实践体验活动. 已知某种盆栽植物每株成活的概率为 p,各株是否成活相互独立. 该学校的某班随机领养了此种盆栽植物 10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)=2.1,P(X=3)<P(X=7),则p=0.7.且即2.［解析］由题意可知：X〜B(10,p),10p1-p=2.1PX=3<PX=7100p一0.9545+0.6827 =且即2.一0.9545+0.6827 = =0.8186,2E的数学期望为0.8186X10=8.186,故选C.3.(2021云南名校适应性考试)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中 2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者2一、___ 乙每道题正确完成的概率都是",且每道题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大?［解析］(1)设甲正确完成面试的题数为 已则E的可能取值为1,2,3.C4C21 ”~P（土1）=-CT=5；P（E=2）=,•1-p=0.7.p>0.5(2021河南洛阳统测)若某单位员工每月网购消费金额 (单位：元)近似地服从正态分布N(1000,5002),现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在 500元至2000元之间的人数为E,则E的数学期望为(C)参考数据：若随机变量 X服从正态分布则N(由J),则P(^—(<XW叶@=0.6827,P(科—2(<X<叶2)=0.9545,Pg3(<X<叶36=0.9973.A.2.718 B,6.827C.8.186 D.9.545［解析］P(1000—500<X<1000+2X500)=P(1000-2X500<X<1000+2X500)—P(1000-2X500<X<1000-500)=P(1000-2X500<X<1000+2X500)P（土3）=CP（土3）=C3C0 1C6—5.c2c2_3C6=5；第7页共10页，应聘者甲正确完成题数 E的分布列为123P131555E($=1X-+2X3+3X-=2.'' 5 5 5设乙正确完成面试的题数为 小则刀的可能取值为0,1,2,3.一1c1 , 2 ,1 c6p(y]=0)=c33=27； P(『1)=03 3 3=27；c2c2c1P(『2)=023231227TOC\o"1-5"\h\z32. 8P(『3)=0333=27应聘者乙正确完成题数 Y］的分布列为0123P1612827272727TOC\o"1-5"\h\zE(n)=0X—+1X—+2X12+3X—=2.匚(切027 27 27 27或因为刀〜B3,三,所以EY)=3X1=23 3c1 3 12—_一212一(2)因为D(3=(1—2)Xg+(2―2)X5+(3—2)Xg=jD(@=3X3X3=3.所以D(9<D(明综上所述，从做对题数的数学期望考查， 两人水平相当；从做对题数的方差考查,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大.4.(2021辽宁大连模拟)某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.而14而14(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线，且使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量 E,求E的数学期望E($.［解析］(1)二.各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，，路段acdb中遇到堵车的概率—gwv.第8页共10页

同理线路ACFB同理线路ACFB中遇到堵车的概率c1-8Po=一小于 ；22 15，路线AEFB中遇到堵车的概率P3一大于条.8 15所以选择路线ACFB,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(2)路线ACFB中遇到堵车次数 E可取值为0,1,2,3.4351P(土。1弓*'^，，47120；47120；P(?=1)=—x-x—+—x—x—+—x—x-=P(t1)5465465461—1—10'P(土2)=5><4><6+5><4><6+5><4><6=面111 1P(?=3)=-x—x-=——,P(t3)546120'E(9=0X1X2+2X恶+3X2=37() 2 120 120 12060.5.(2021河南洛阳尖子生联考)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了 100包某种品牌的速冻水饺， 检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.频率