不等式的解法和应用

不等式的解法和应用知识网络不等式的解法构造简图画龙点晴观点不等式的解集:在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的取值范围,叫做不等式的解集,也称不等式的解.解不等式:求出不等式的解或判断不等式无解的过程,称为解不等式.同解不等式:假如两个不等式的解集完整同样,就称这两个不等式为同解不等式.不等式的同解变形定理:若F(x)是任一整式,则不等式f(x)>g(x)与不等式f(x)+F(x)>g(x)+F(x)同解.若m>0,则不等式f(x)>g(x)与不等式mf(x)>mg(x)同解.若m<0,则不等式f(x)>g(x)与不等式mf(x)<mg(x)同解.一元二次不等式：只含一个未知数，而且经过归并同类项后，未知数的最高次数为2的整式所构成的不等式，叫做一元二次不等式。它的一般形式是ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0(a0).一元二次不等式的解法:对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0),设b24ac,则一元二次不等式的解可利用二次函数的图象和一元二次方程的根去求得,详见下表:[活用实例][例1]解不等式：x2－(a2＋a)＋a3＞0(a0).[题解]x2－(a2＋a)＋a3＞0,(x－a2)(x－a)＞0,当0＜a＜1时,a＞a2,∴解为x＞a或x＜a2;当a＞1或a＜0时,a2＞a,∴解为x＞a2或x＜a.当a=1时,原不等式为(x-1)2∴解为>0,22[例2]设ab,解对于x的不等式ax+b(1-x)[题解1]原不等式等价于(a-b)2x2+[2b(a-b)-(a

R且x1.[ax+b(1-x)]2.2-b2)]x0即(a-b)2(x2-x)0,ab,(ab)20，进而不等式同解于x2-x0,故原不等式的解集为{x|0x1}.[题解2]原不等式等价于a2(x2-x)+2abx(1-x)+b2x(x-1)0,即x(x-1)(a2-2ab+b2)0,ab,a22abb2(ab)20,进而不等式同解于x(x-1)0,故原不等式的解集为{x|0x1}.[例3]设不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3}，求不等式bx2-ax-1>0的解集。[题解]由题意可知，2和3是方程x2-ax-b=0的两根，则a=5,b=-6.方程-6x2-5x-1>0,即为6x2+5x+1<0，1x1.2321x1即不等式bx-ax-1>0的解集为{x|2}.3高次不等式的解法：解高次不等式常用“数轴标根法”.一般地，设多项式F(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-an)，它的n个实根的大小次序为a1<a2<.<an，把数轴分红n+1个区间：（-,a1）,(a1,a2),,(an-1,an)，(an,+)自右到左给这些区间编上次序号，则当a>0时有：在奇数区间内，F(x)>0;在偶数区间内，F(x)<0.解高次不等式也可按以下方法:(1)把多项式因式分解成一次因式的连乘积的形式,并化各一因式中x的系数为正,如(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)>0(<0);(2)把各因式按其根的大小从小到大摆列,如(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0(<0);(3)自右到左“+”、“-”相间标号：+-+-+(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0(<0);则(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x|x<-1或1<x<2或x>3}；(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为{x|-1<x<1或2<x<3}.如有同样的因式,即出现(x-ai)m,m是奇数,则可可去掉指数m,保存一个因式(x-ai),若m是偶数,则按以下方法办理:f(x)[g(x)]20f(x)020f(x)0或g(x)0.g(x);f(x)[g(x)]0若在实数范围内分解时,含有不可以分解的二次式,此时所得的二次式x2+px+q的鉴别式<0,所以二次式的值恒为正,故去掉此二次式,再求解.[活用实例][例4]解不等式(x5)(x2)(x1)(x4)80.[题解]原不等式等价于(x2x20)(x2x2)800,即(2)222(2x)120022x10)0xxx,(xx12)(x(x4)(x3)(x141(x1410.2))24x141或141x3.22[例5]解不等式(x2)2(x1)3(x1)(x2)0.[题解]原不等式等价于(x1)(x1)(x2)0且x2,x1,由_(x1)(x1)_(x2)0,得原不等式的解为{x|1x2或2x1或x2}.[例6]解以下不等式:(1)(x-1)2(x-2)(x-3)(x-5)0;(2)(x-1)2(x-2)(x-3)(x-5)<0.[题解](1)原不等式等价于(x-2)(x-3)(x-5)0或x=1,由-(x-2)+(x-3)-(x-5)+0得2x3或x5,原不等式的解集为{x|2x3或x5或x=1}.(2)原不等式等价于(x-2)(x-3)(x-5)<0且x1,由-(x-2)+(x-3)-(x-5)+<0得x<2或3<x<5.原不等式的解集为{x|x<2或3<x<5且x1}.分式不等式：在分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。分式不等式的解法：化f(x)0或f(x)0型的分式不等式为整式不等式组来解,但要特别注意除掉分母g(x)g(x)为零的点.f(x)( )()0f(x)f(x)g(x)0g(x)g(x)g(x)0须先移项把分式的一边化为0.假如已知分式的分母大于0或小于0,那么能够去分母.[活用实例]xa[例7]解对于x的不等式xa20(aR).[题解]xa0(xa)(xa2)0.xa2若a=0，则a=a2=0，故不等式为：x2<0，无解，解集为；若a=1,则a=a2=1,故不等式为：(x-a)2<0，无解，解集为；若0<a<1，则a2<a，所以a2<x<a，故解集为{x|a2<x<a};若a<0或a>1，则a2>a，所以a<x<a2，故解集为{x|a<x<a2}.[例8]解对于x的不等式3x52.2x3x2[题解]原不等式等价于(x1)(2x1)0,(x1)(x3)(x3)(x1)(2x1)(x1)0即3)0,(x1)(x原不等式的解集为{x|x3或11x或x1}.2无理不等式：在被开方式中含有未知数的不等式叫做无理不等式。无理不等式的解法：无理不等式一般转变为有理不等式（组）来求解，但在转变中要注意根式和不等式的性质，并用此来参加确定未知数的取值范围。g(x)0g(x)0g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)或f(x)[g(x)]2;.f(x)0f(x)[g(x)]2[活用实例][例9]解不等式：(x2)(x5)＞8－x.[题解]原不等式化为(x2)(x5)0①,(x2)(x5)0和8x0②8x0(x2)(x5)(8x)2x5或x274＜x≤8.由①解出x≥8;由②x8解出1313x74由①、②得解为x＞74.13[例10]解对于x的不等式5logax1logax.[题解]原不等式等价于1logax0或(2)：5logax0(1)：5logax(1logax)25logax0logax10解(1)得：1logax1解(2)得：logax1∴logax1当a>1时,有0<x<a;当0<a<1时,有x>a;∴原不等式的解集为{x|0<x<a,a>1}或{x|x>a,0<a<1}.[题解]指数不等式的解法：转变为代数不等式，同底法是常用的.当a>1时，f(x)g(x)f(x)>g(x);a>a当0<a<1时，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).[活用实例][例11]解不等式3x1183x29.[题解]原不等式可化为：332x293x180即(3x9)(33x2)0,解得3x9或3x2,3∴x>2或xlog32,∴不等式的解集为{x|x>2或xlog32}.33[例12]当0a时，解对于x的不等式a2x1ax2。1[题解]由0a1，原不等式可化为2x1x2这个不等式的解集是下边不等式组(1)及(2)的解集的并集：2x102x10(1)或x20(2)x202x1(x2)2解不等式组(1)得解集{x|1x2};解不等式组(2)得解集{x|2x5}.2所以原不等式的解集为{x|1x}.25对数不等式的解法当a>1时，当0<a<1时，

转变为代数不等式(组)，同底法是常用的.logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;logaf(x)>logag(x)0<f(x)<g(x).[活用实例][例13]解对于x的不等式：loga(43xx2)loga(2x1)loga2,(a0,a1).[题解]原不等式可化为loga(43xx2)loga2(2x1)2x10x121当a>1时有43xx2014x2,(其实中间一个不等式可省)x43xx22(2x1)3x222x10x12当0<a<1时有43xx2012x4.x443xx22(2x1)x3或x2∴当a>1时不等式的解集为{x|1x2}；当0<a<1时不等式的解集为{x|2x4}.2[例14]解不等式loga(11)1.x1101x[题解]当a＞1时,原不等式等价于不等式组:1a1,1axx由于1-a<0,所以x<0,1x0.1a110x或x0x11当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:11x,0x11a1ax1a1x0};综上，当a>1时，不等式的解集为{x|1a当0<a<1时，不等式的解集为{x|1x1}.1a绝对值不等式:含有绝对值符号的不等式叫做绝对值不等式.对于绝对值不等式的几个性质:(1)|ab|=|a||b|;a|a|;(2)||(b0)b|b|(3)|a||b||ab||a||b|;(4)|a1a2an|≤|a1||a2||an|.绝对值不等式的解法：（1）|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<-a;|f(x)|<a(a>0)-a<f(x)<a.(2)|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)].(3）含几个绝对值的不等式解法：分区间化为等价的不含绝对值的不等式组。[活用实例][例15]不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是（）A．{x|0x<1}B.{x|x<0且x-1}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<1且x-1}x0x0x0x0且,[题解1](1+x)(1-|x|)>00x1x1x20(1x)201x1x1即x<1且x-1.[题解2](1+x)(1-|x|)>01x0或1x01x1或x1.1|x|01|x|0即x<1且x-1.[例16]解不等式：x52x3＜1.[题解]原不等式即为(1)x5,解出x＞5,(x5)(2x3)1(2)3x5,解出1＜x≤5,2(x(2x3)135)(3)x3解出x＜－7,所以不等式的解为x＜－7或x＞1.2(x5)3)13(2x[例17]已知|x-a|<,0<|y-b|<,y(0,m),求证：|xy-ab|<.2m2|a|[题解]|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab||xy-ya|+|ya-ab|=|y||xa||a||yb|m|a|2|a|22.2m原不等式得证.不等式中常有的基本思想方法：1）等价转变:就是无理化有理，分式化整式，高次化为低次，绝对化为非绝对值，指数、对数化为代数式等。2）分类议论：分类议论的目的是办理问题解决过程中碰到的阻碍，在无阻碍时不要提早进行分类议论。3）数形联合：有些不等式的解决可能化为两个函数图象间的地点关系或几何问题。（4）函数方程思想：解不等式可化为解方程及函数图象与x轴交点问题，而后依据题意判断所求解的区间，如“标根法”其实是一种函数、方程思想。[活用实例][例18]解对于x的不等式：12ax(xR).x[题解]x22ax1x(x22ax1)0,4a240x（1）若<0，即当－1<a<1时，x2－2ax+1>0恒成立,∴原不等式的解集是{xx0}.(2)若△=0，即当a=1时，原不等式的解集是{xx0且x1};当a=－1时，原不等式的解集是{xx0}.若△＞0时，当a>1时，原不等式等价于:x·(x－a+a21)(x－a－a21)>0,解为:0<x<a－a21或x>a+a21.当a<－1时，解为a－a21<x<a+a21或x>0.当－1a<1时，原不等式的解集是{xx0};当a=1时，原不等式的解集是{xx0且x1};当a>1时，原不等式的解集是{x|0<x<a－a21或x>a+a21};当a<－1时，原不等式的解集是{x|a－a21<x<a+a21或x>0}.[例19]设函数f(x)=x21ax，此中a>0.解不等式f(x)1.[题解]f(x)1即x211ax,如图，在同向来角坐标系中，作函数y=x21,y=1+ax的图象，前者是双曲线y2-x2=1的上支，此双曲线的渐近线为y=x且一个极点A的坐标为（0，1）,后者是经过点A且斜率为a的直线.yy0<a<1a1A(0,1)A(0,1)oxox明显，当a1时，两函数图象仅有一个公共点A，在第一象限内，直线恒在双曲线的上方，进而不等式的解集为{x|x0};当0<a<1时，两函数图象有两个公共点，解方程x211ax，得x=0或x=2a.进而不等式的1a2集为{x|0x2a}.1a2[例20]对于x的方程x2－5xlogak＋6loga2k=0(a＞0,且a1)的二根中,仅有一个较小的根在区间(1,2)内,试用a表示实数的取值范围.[题解]设f(x)=x2－5x·logak＋6loga2k,由题意得f(1)0,即15logak6loga2k0f(2)0410logak6loga2k0,logak1或logak1logak1.即32得2213logax3不等式的实质应用:是指用不等式解答生产、科研和平时生活中的实质问题。解答不等式应用题一般可分为以下四步：1）阅读理解资料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，我们要仔细意会问题的实质背景，剖析各个量之间的关系，形成思路，想方法，把实质问题抽象成数学模型。（２）成立数学模型：依据（１）中的剖析，把实质问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，而且，成立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确定下一步的努力方向。（３）议论不等关系：依据（２）中成立起来的数学模型和题目要求，议论与结论相关的不等关系，获得相关理论参数的值。（４）作出问题的结论：依据（３）中和到的理论参数的值，联合题目要求作出问题的结论。[活用实例][例21]甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地址，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半行程乙以速度m行走，另一半行程以速度n行走，假如mn，问：甲乙两人谁先抵达指定地址？[题解]设从出发地到指定地址的行程为S，甲乙两人走完整程所需时间分别是t1,t2，t1mtSSt2，可得t12S,t2S(mn)1nS,2n222mmn2mnt1t22SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2mn2mn2(mn)mn2mn(