理论力学-课件19-虚位移原理

§11虚位移原理虚位移原理属于分析力学体系矢量力学(矢量物理量：动量动量矩)牛顿(I.Newton,1642-1727)分析力学(标量物理量：广义坐标，广义速度,能量

T，V，功W)拉格朗日(J.-L.Lagrange,1736-1813)虚位移原理比较抽象,但应用范围很广,本章介绍虚位移原理,并将虚位移原理用于静力学平衡问题。虚位移原理与达朗贝尔原理结合，可解决动力学问题。优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。——牛顿三定律——虚位移原理§11虚位移原理§11.1约束方程及其分类§11.2虚位移§11.3虚功§11.4虚位移原理§11.5广义力、平衡的稳定性§11.6虚位移原理与静力学平衡条件§11.1

约束方程及其分类

1.质点系的位形2.约束方程及分类用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。自由度其中l为独立的完整约束方程数。

n个自由质点组成的质点系——任一质点的位置可由其直角坐标确定，称这3n个坐标的集合为该质点系的位形，位形给定则质点系中每一质点的位置也就确定了。

n个质点的非自由质点系——设自由度k则，可用广义坐标确定质点系的位形：或例2.质点在曲面上运动。约束方程即曲面方程（2）例1.质点在平面的槽内运动。自由度自由度例3.质点A，B用绳子相连，且绳长l=l(t).xyBAxA广义坐标可选择约束方程（1）约束方程yA=0（3）（4）自由度k=2套筒M的约束方程:例4：冰刀在水平冰面上运动，其中点的速度沿冰刀方向。其约束方程：例5：或几何约束*:对质点的空间位置进行约束运动约束：对质点的运动（速度）进行约束几何约束：如例1、2。运动约束：如例4、5。根据研究目的的不同，约束可有不同的分类方式：定常约束*：约束条件不随时间变化（不显含时间t）非定常约束：约束条件随时间变化（显含时间t）定常约束：如例1、2。非定常约束：如例3、4。xyBAxA双面约束*：约束方程为等式形式单面约束：约束方程为不等式形式双面约束：如例1、2。单面约束：如例3。xyBAxA完整约束*非完整约束—只限制质点系中各质点的位置而不限制其速度的约束，即约束方程中不包含坐标对时间的导数。—约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分成有限形式的约束。如例4：当v(t)为常量。如例4、5：当v(t)的积分无法求出。本课程仅讨论完整、双侧、定常、几何类型的约束§11.2

虚位移1.位移Mx3x1x2O质点M的位移：质点系的位移：n个质点，k个自由度可取k个广义坐标质点系的位形:或质点系的位移其中称为广义位移（dt时间qj的增量）Mx3x1x2O质点系的位形:2.

实位移若质点系的位移或广义位移满足以下2个条件：（1）满足质点系的约束条件（2）满足质点系的动力学方程及初始条件则称其为实位移或广义实位移。实位移是惟一确定的真实位移。3.虚位移质点在一定位置上为约束所允许的假想的无限小位移称为虚位移。1）对于给定时刻t，系统处于一定位置，质点产生实位移，是时间dt的微分，而虚位移不需要时间，因此也称为等时变分。2）各质点的虚位移必须满足约束条件，因此只有广义坐标的虚位移可任意假设，而各质点的虚位移均是广义坐标虚位移的函数。实位移表示为：虚位移表示为：虚位移

称为的变分(等时变分）。、、根据质点系的位形实位移与虚位移间的关系：例如：当质点在某瞬时处于静止时，但不一定为0在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。例如：本章讨论静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。但在非定常和运动约束情况下则不然。例如：对自由度为k的质点系（刚体或刚体系）注意广义坐标位形广义虚位移

独立可将各点虚位移或用独立的广义虚位移表示出来。4.单个刚体上各点的虚位移之间关系表示方法与刚体上各点的速度关系类似任意点的虚位移均相等刚体平移c定轴转动方向如图刚体定轴转动的虚转角虚速度法几何法AB刚体一般平面运动—瞬时平移或瞬时转动PM刚体该瞬时的虚转角②虚位移投影关系刚体该瞬时的虚速度瞬心为P方向如图①③两点间虚位移的关系AB方向如图5.刚体系统各点虚位移之间的关系找出各点虚位移关系的方法：解析法和几何法。（1）解析法：将各点坐标用广义坐标表示，再求变分。（2）几何法（虚速度法）类比于运动学中速度分析方法（将速度矢量改为虚位移矢量）。例题2例题ABCyEHxRAB=BC=l0,E,H分别为杆AB，BC的中点，轮子C半径R=l0/4,在地面上纯滚动，EH为一弹簧，求：（1）B，H，C点虚位移之间的关系。（2）杆AB，BC，和轮子的虚转角（用广义坐标表示）。例题2例题解：1.几何法系统自由度为1，选择为广义坐标，广义虚位移为杆BC的虚速度瞬心为PABCyEHxRP(BC)2杆AB，BC，轮子C的虚转角分别为：()()()例题2例题ABCyEHxRP(BC)例题2例题ABCyEHxR2.解析法选择为广义坐标。写出B，H，C各点位形：例题2例题ABCyEHxR求变分：例题2例题ABCyEHxR由（负号表示）（）P(BC)（负号表示）1、作用于质点上力的虚功比较：力的元功和有限功实元功虚功有限功力在虚位移上做的功§11.3

虚功2作用于刚体上力系的虚功设刚体在平面力系(作用点为的力，)的作用下，刚体作平面运动。在刚体上取一点A作为简化中心，将力系向A点简化为等效力系力系的虚功或若将点A选为刚体的速度瞬心P点，则则作用于刚体上的力系的虚功为：若刚体作平动：若刚体作定轴转动：A点取转动轴上一点弹性力的虚功：令弹簧变形量为3、有势力的虚功设系统为有势系统，时刻t，系统的势能为V令其广义坐标产生一组虚位移，则重力的虚功：弹簧的刚度系数为k4、约束力的虚功元功为零的约束力一端固定柔绳的约束力固定光滑接触面的约束力光滑铰链提供的约束力纯滚动物体接触点的约束力（支持力、静滑动摩擦力）（内力）若约束力在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，则称这些约束为理想约束。理想系统：满足的系统。当遇到非理想约束时，可将非理想约束力看作主动力，则余下的约束为理想约束。其中为约束力，为与对应的虚位移。例题3例题

均质圆轮重,半径r,弹簧原长，刚度k，M为常力偶，轮子在斜面上纯滚动，求轮心O移动s时，重力、弹性力、力偶M所作的虚功。例题解：系统自由度为1。虚功：重力：弹性力：则轮心的虚位移为力偶：为理想约束力，对应的虚功为零。例题3例题系统的虚功：例题4例题ABCyEHxRM作用于系统的力系的虚功。前例中，设弹簧原长为l0，刚度系数为k，均质杆AB和BC均重mg，轮C重m1g,系统受主动力和主动力偶矩M作用，求：例题4例题ABCyEHxRM解：1.受力分析系统中作功的力：，弹性力，杆AB、BC的重力。系统中不作功