概率与数理统计1-7课件

第七节条件概率条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式第七节条件概率条件概率全概率公式

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

在解决许多概率问题时，往往需要在P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到P(A|B)于是P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)则P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.若事件B已发生,则为使A也发生,3.条件概率的性质(自行验证)3.条件概率的性质(自行验证)2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计例15个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不放回地取2次。（1）求第一次取到新球的概率；（2）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新球的概率。解法1解法2解设A={第一次取到新球}B={第二次取到新球}应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算例15个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)同步训练15设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).同步训练15设某种动物由出生算起活到20年以概率与数理统计1-7课件乘法公式应用举例例2一个罐子中包含t个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

（波里亚罐子模型）t个白球,r个红球乘法公式应用举例例2一个罐子中包含于是

表示事件“连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球.”

t个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Ai={第i次取出是红球},i=1,2,3,4于是表示事件“用乘法公式容易求出当a>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.用乘法公式容易求出当a>0时，由于每一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则表示“第i个人未抽到入场券”我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”显然，P(A1)=1因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：因为若第2个人抽到也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥,必有且仅有一个发生，故构成样本空间的一个划分。看一个例子:三、全概率公式有三个箱子,分别编号为1,2,3.将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即B=SB=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件某一事件A的发生有各种可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解某一事件A的发生有各种可能的原因，如果由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因A是结果由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因P27—例3例3市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。P27—例3例3市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件P29--例6某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}，求P(C|A).P29--例6某一地区患有癌症的人占0.005，患者则现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.10662.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.试验结果为阳性,此人确

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息例7商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.

B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1例7商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件第七节条件概率条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式第七节条件概率条件概率全概率公式

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

在解决许多概率问题时，往往需要在P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到P(A|B)于是P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)则P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.若事件B已发生,则为使A也发生,3.条件概率的性质(自行验证)3.条件概率的性质(自行验证)2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计例15个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不放回地取2次。（1）求第一次取到新球的概率；（2）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新球的概率。解法1解法2解设A={第一次取到新球}B={第二次取到新球}应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算例15个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)同步训练15设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).同步训练15设某种动物由出生算起活到20年以概率与数理统计1-7课件乘法公式应用举例例2一个罐子中包含t个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

（波里亚罐子模型）t个白球,r个红球乘法公式应用举例例2一个罐子中包含于是

表示事件“连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球.”

t个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Ai={第i次取出是红球},i=1,2,3,4于是表示事件“用乘法公式容易求出当a>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.用乘法公式容易求出当a>0时，由于每一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则表示“第i个人未抽到入场券”我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”显然，P(A1)=1因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：因为若第2个人抽到也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥,必有且仅有一个发生，故构成样本空间的一个划分。看一个例子:三、全概率公式有三个箱子,分别编号为1,2,3.将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即B=SB=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件某一事件A的发生有各种可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解某一事件A的发生有各种可能的原因，如果由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因A是结果由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因P27—例3例3市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。P27—例3例3市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事概率与数理统计1-7课件概率与数理统计1-7课件P29--例6某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试