数学文化课件

谈谈数学文化1M.克莱因：美国著名数学家，主要领域在几何学，他对当时各种新几何学的发展做出总结，指出他们结构上的一般原则。他用变换群的观点作为几何分类的基础。在这种观点下，几何学被看作是图形(某种元素的集合)对某种变换群为不变性质之学。2数学文化——序言4.数学文化的娱乐功能；1.欢迎来到“数学文化”课堂；2.数学文化内涵；3.数学素养和数学文化；5.几个小问题。3数学老师的情诗我的心就是一个圆形，因为它的离心率永远是零。我对你的思念就是一个循环小数，一遍一遍，执迷不悟。我们就像抛物线，你是焦点，我是准线，你想我有多深，我念你便有多真。零向量可以有很多方向，却只有一个长度，就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。生活，可以是甜的，也可以是苦的，但却不能没有你，枯燥平平，就像分母，可以是正的，也可以是负的，却不能没有意义，取值为零。5有了你，我的世界才有无穷大，因为任何实数，都无法表达，我对你深深的Ｌove。我对你的感情，就像以e为底的指数函数，不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永驻。不论我们前面是怎样的随机变量，不论有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗？你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件。6如果你的心是Ｘ轴，那我就是个正弦函数，围你转动，有收有放。如果我的心是Ｘ轴，那你就是开口向上、Δ为负的抛物线，永远都在我的心上。我每天带给你的惊喜和希望，就像一个无穷集合里的每个元素，虽然取之不尽，却又各不一样。7如果我们有一天身处地球的两侧，咫尺天涯，那我一定顺着通过地心的大圆来到你身旁，哪怕是用爬。如果有一天我们分居异面直线的两头，那我一定穿越时空的阻隔，划条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留。但如果有一天，我们不幸被上帝抛到数轴的两端，正负无穷，生死相断，没有关系，只要求个倒数，我们就能心心相依，永远相伴。8我是sin,你是cos.不求平方和，只求tan。sin、cos的平方和是1，而sin除以cos得到tan，tan范围是负无穷到正无穷。“我想其中意思是，两人的感情是无限延伸，不可估量的。”学生情感作品102.数学文化内涵2.1文化和数学文化数学文化，是指数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具，能力，活动和产品，在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学和人文的结合。数学文化，有狭义和广义两个方面的解释12数学文化一词的使用已有二、三十年的历史，较早正式使用的是1999年北大孙小礼等编的《数学文化》，近些年，这个词的使用多起来了，官方比较正式的使用这一说法是在2003年，中华人民共和中教育部制订的《普通高中数学课程标准》，其中使用并诠释了“数学文化”。143.数学素养和数学文化为了数学素养的培养，全国很多高校都开设了数学文化课程，之所以开设这门课程正是为了克服数学教学中忽视数学文化的这一弊病。那什么是数学素养呢？通俗地说，数学素养就是把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西。现实生活中，经常会用到一些数学的思维去解决问题。这种解决问题的方法就是数学素养的一种体现。数学素养是很重要的。15一个屋里有50个人，每人带一条狗，其中部分是病狗。主人只能通过对其它狗的观察得知自己的狗是否是病狗，并在发现当天用枪打死自己的狗，第一天没有听到枪声，第二天没有听到枪声……直至第十天听到一片枪声，问屋里有多少病狗。给大家看一道微软公司招聘员工的考题。同学们不要觉得这个题可笑。可是这道看似脑筋急转弯的题目其实是一道巧妙的数学应用题。

解答需要结合运用反证法和数学归纳法。

164.数学文化的娱乐功能17AJokehttp://haha.nu/funny/funny-math/18AJoke:“Findx”“Ican’tbelievetheteachermarkedhimwrong,hefoundit.”http://haha.nu/funny/funny-math/20AnotherJoke:“Findx”“Smartenough!”http://haha.nu/funny/funny-math/21

巧排顺序(扑克牌中的数学)

将1—K共13张牌，表面上看顺序已乱（实际上已按一定顺序排好），将其第1张放到第13张后面，取出第2张，再将手中的牌的第1张放到最后，取出第2张，如此反复进行，直到手中的牌全部取出为止，最后向观众展示的顺序正好是1，2，3，……，10，J,Q,K.

请你试试看！

扑克牌的顺序为：7，1，Q，2，8，3，J，4，9，5，K，6，10.

你知道这是怎么排出的吗？

23这是“逆向思维”的结果，将按顺序1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K排好的扑克牌按开始的操作过程反向做一遍即可.

24

数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。数独的基础是数字魔方，它的解也一定是数字魔方。制作一个数独，便是使用一个一般的数字魔方，盖住部分数字，成为一个拥有唯一解的数独。数独是现在最流行，最时尚的游戏。流行度甚至超过了俄罗斯方块。26

独立钻石（Solitaire），也叫单身贵族、中国称为孔明棋。源于18世纪法国的宫廷贵族，是一种自我挑战的游戏，可以锻炼逻辑思维能力。游戏玩法似中国跳棋，但不能走步，只能跳。棋子只能跳过相邻的柜子到空位上，并且把被跳过的柜子吃掉。棋子可以沿格线横、纵方向跳，但是不能斜跳，剩下越少棋子越好。是智力游戏界的三大不可思议之一，它指中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”和匈牙利人发明的“魔方”。而独立钻石受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹。27独立钻石285.几个小问题30平面上的点与球面上的点哪个多？多多少？(0，1)区间的实数与自然数哪个多，多多少？直线上的点与一个圆上的点哪个多？多多少？31瓷砖的铺设问题3233跑步问题：

每5分钟不跑500米，10分钟能跑1000米吗？34跑步问题：

设35That’sall.AnyQuestions?

Thankyouforyourattendance!

最后，祝大家在数学文化学习活动中不断提高素质和能力！36课堂小测验37

为了培养想像力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考。试尽可能迅速地回答下面的问题：（1）某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么?互动：

（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如果是n支球队比赛呢。

（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

（4）某人家往T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间。（5）一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处。(6)甲乙两人同时从A、B两地出发，中午12点相遇，然后分别过4小时、9小时后到达对方的出发点，问他们两人几点出发的？推理：

甲、乙、丙三人中两人进行乒乓球单打比赛，一人当裁判，输方当下一局的裁判．比赛结束后发现甲打了12局，乙打了21局，而丙当裁判8局．那么比赛的第12局输方是()

小刚，小强，小冬，小朱四个人参加百米赛跑决赛。赛前三位体育老师对比赛做了预测：

王老师说：小刚第二名，小朱第四名；张老师说：小强第一名，小冬第三名；李老师说：小刚第一名，小强第三名。

赛后发现每位老师对名次的确定只猜对一人。

请问正确的名次是什么样的？

甲、乙、丙、丁小朋友在踢球，不小心把邻居家的玻璃打裂了；

甲说：“是乙不小心闯的祸”；

乙说：“是丙闯的祸”；

丙说：“乙说得不是实话”；

丁说：“反正不是我闯的祸”；

四人中只有一人说了实话，说实话的人是谁？是谁闯了祸？【15，1，3，1】4【20，5，2，3】5【16，20，4，？】6

【？】处应该填什么数字？

小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是以下10组中的某一天，张老师把月份告诉了小明，把日子告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗？

3月4日3月5日3月8日

6月4日6月7日

9月1日9月5日

12月1日12月2日12月8日小明说：“如果我不知道，小强肯定也不知道。”小强说：“本来我也不知道，但是现在我知道了”小明说：“哦，那我也知道了。”请根据以上对话推断出张老师的生日。为什么下水道的盖子是圆的？

设赌博双方A、B各出相等的赌注，以掷骰子来决定一局的胜负。例如，A以出现偶数点为胜，B以出现奇数点为胜。胜1局得1分。约定先得若干分者为赢，赢者赢得全部赌注。

赌徒的困惑

若约定谁先得4分就赢得全部赌注。当A得2分、B得1分的时候，赌博必须中止，那么A和B应按什么比例来分割赌注？分析：不能仅看谁胜了几局，应该考虑谁还要胜几局才能赢得全部赌金。在A已经得到2分，B得到1分的情况下，若再进行4局，便一定可以决定输赢。假定A和B余下的4局全部赛完，胜负的各种可能情况有（以a,b分别表示两人的胜局）：（1）A胜4局（B全负），这只有1种情况：aaaa（2）A胜3局（B胜1局），这有4种情况：aaabaabaabaabaaa（3）A胜2局（B胜2局），这有6种情况：aabbabbaababbaabbbaababa（4）A胜1局（B胜3局），这有4种情况：abbbbabbbbabbbba（5）A胜全负（B胜4局），这有1种情况：bbbb

以上一共有16种可能的情况。在前11种情况下，A至少胜2局，连同已经获胜的2局，至少胜了4局，而B至多胜2局，连同已经获胜的1局，才至多胜3局。所以这11种情况都是A胜，只有后5种情况B才获胜。

A和B获胜的可能性是11：5。只有按照这个比例来分割赌金才合理。金币的称量问题

设有三堆金子，每堆中一个金子的重量为9,10,11这三个数字中的一个，但不知其精确值，每堆中单个金子的重量相等。如何称量一次可知每堆中每个金子的单重量？公式中的数学美

2.抓三推问题1.一道自主招生考试题的不同解法在单位圆上任取3个点，求这3个点构成锐角三角形的概率.(2011年复旦大学自主招生考试试题)

分析我们分两步走：先设圆周上有2n个等分点，求三点构成锐角三角形的概率；再对所得的结果求趋向于无穷大时的极限.

如图，对每一个固定的k()，为锐角三角形，这样的锐角三角形共有：.由点的等可能性，所有锐角三角形的总数为，因此任取3个点构成锐角三角形的概率为：（1）2，4，6，8，10（2）1、3、5、7、9（3）1234569（4）1+2+3（5）333，555数学成语谜语无独有偶无奇不有七零八落接二连三三五成群（6）1256789（7）7/2（8）5，10（9）9寸+1寸=1尺（10）7/8丢三落四不三不四一五一十得寸进尺七上八下（11）0+0=0（12）0+0=1（13）11=1（14）1的n次方（15）1：1一无所获无中生有一成不变始终如一不相上下（16）1/2（17）2/2（18）33.22（19）20/3（20）4，3一分为二合二为一三三两两陆续不断颠三倒四（21）1,2,3,4,5（22）1,2,4,6,7,8,9（23）2,3,4,5,6,7,8,9（24）1=365（25）1/100屈指可数隔三差五缺衣少食度日如年百里挑一抓三堆问题课堂小测验

甲、乙、丙三个人玩“石头、剪刀、布”,则三个人都不胜的概率为(),甲胜出的概率为().

有2张100元纸币,3张50元纸币和4张10元纸币,可以使用1张或n张纸币来进行价格组合,则共可凑成()种金额.

2015!=1×2×…×2015的末尾有连续几个零?把一张十元钱破成1元、5角、1角的零钱，共有多少种方法？圆锥曲线：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。上次测验讲解1.幻方问题2.同余问题3.Fibonacci数列问题

甲、乙、丙三个人玩“石头、剪刀、布”,则三个人都不胜的概率为(),甲胜出的概率为().

有2张100元纸币,3张50元纸币和4张10元纸币,可以使用1张或n张纸币来进行价格组合,则共可凑成()种金额.

2015!=1×2×…×2015的末尾有连续几个零?把一张十元钱破成1元、5角、1角的零钱，共有多少种方法？73数字中的美学完美数：6,28,496,812833550336,8589869056欧几里得：欧几里得：几何无王者之道辗转相除法74回文素数：314159,951413无理数：代数无理数和超越无理数孪生素数：素数的个数及分布：75黄金分割人体、名画、建筑、乐章等767778课堂小测验79请你举一些例子，展示数学的魅力。80圆锥曲线：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。81上次测验讲解82无限世界的一面整数和偶数一样多；整数和有理数一样多；(0,1)与(0,+∞)实数一样多；(a,b)与(-∞,+∞)实数一样多；838485课堂小测验86请你举一些例子，展示数学的魅力。87圆锥曲线：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。88上次测验讲解89

首先我看如下一道题：假设买某种彩票中奖的概率为,如下两件事，哪一件发生的可能性更大？(1)只买一张就中奖；(2)连续买了20张，全都不中奖。90（1）买一张就中奖的概率当然就是；（2）买了20张全都不中奖的概率是：91

若中奖率为千分之一，买两千张都不中奖的概率；以及中奖率为万分之一，买两万张都不中奖的概率。两种情况的概率分别为：计算机算得其近似值分别为：0.1352，0.1353。

92若中奖率为1/n，买2n张都不中奖的概率为：当n的值趋近于无穷大时，这个值趋近于：93选举的公平问题问题：三个系共200名学生（甲系100，乙系60，丙系40），会议代表共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。94系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.0002195“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标

人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同当p1/n1>p2/n2

时，对A不公平p1/n1–p2/n2=596公平分配方案应使rA

,rB

尽量小~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配.“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定义97一个数列的前99项依次为1,2,…,99,第100项为多少？能为2015吗？98算245,5,5,1;3,3,7,7;4,4,7,7;4,4,8,8;3,3,8,8.99出生8年才第一次过生日?

100

我们知道，一年就是地球绕太阳公转一圈的时间。一天是地球一昼夜的时间。平均起来，一年等于365.2422天。在制定历法时，只能让一年的天数是整数，最接近一年的当然就365天，所以只能规定一年365天。但这样一来，每年就少了0.2422天，由1/0.2422=4.12882知道:差不多每4年就少了一天。因此每4天就补充1天。历法规定:如果年份数是4的整数倍，就在这一年的2月份末尾补充1天，就是2月29日，这一年就称为闰年。101

但是，每4年少的天数实际上是0.2422×4=0.9688，每4年补充1天其实是多补了1-0.9688=0.0312天。经过1/0.0312=32.0513个闰年之后，就多补了1天，应当将这1天扣除，也就是扣除一个闰年。每4年闰一次，经过32个闰年就是4×32=128年。这128年本来应当有32个闰年，应当扣除1个闰年，只保留31个闰年。102

如果规定每128年扣除1个闰年，这样的规定不容易记忆，使用起来不方便。所以采用了另一个方法:以400年为单位来计算闰年的天数。400年包含3个128年零16年。3个128年应当去掉3个闰年。因此，现行的历法规定，在这400年中，年份数是100的倍数的4个闰年中，只保留其中是400的倍数那一年仍然作为闰年，将其余3个去掉，也就是将年份数是100的倍数但不是400的倍数的3个闰年去掉。103400年除了包括3个128年之外还剩16年没有加以考虑。经过128/16=8个400年之后，积累起128年，从这128年的闰年之中应当再扣除1个。8个400年也就是3200年。不过，人类迄今为止使用公历的历史还远不到3200年。而且，真的经过两三千年之后地球的转动速度也可能还会有微小的变化，一年是否仍等于365.2422天尚不清楚，所以现在去考虑那么遥远的未来的事情还为时过早，到时候自然会有办法。104金币的称量问题

设有三堆金子，每堆中一个金子的重量为9,10,11这三个数字中的一个，但不知其精确值，每堆中单个金子的重量相等。如何称量一次可知每堆中每个金子的单重量？1052.抓三推问题1.一道自主招生考试题的不同解法106在单位圆上任取3个点，求这3个点构成锐角三角形的概率.(2011年复旦大学自主招生考试试题)107

分析我们分两步走：先设圆周上有2n个等分点，求三点构成锐角三角形的概率；再对所得的结果求趋向于无穷大时的极限.108如图，对每一个固定的k()，为锐角三角形，这样的锐角三角形共有：由点的等可能性，所有锐角三角形的总数为因此任取3个点构成锐角三角形的概率为：

109抓三堆问题110课堂小测验111请你举一些例子，展示数学的魅力。112圆锥曲线：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。113上次测验讲解114

首先我看如下一道题：假设买某种彩票中奖的概率为,如下两件事，哪一件发生的可能性更大？(1)只买一张就中奖；(2)连续买了20张，全都不中奖。115（1）买一张就中奖的概率当然就是；（2）买了20张全都不中奖的概率是：116

若中奖率为千分之一，买两千张都不中奖的概率；以及中奖率为万分之一，买两万张都不中奖的概率。两种情况的概率分别为：计算机算得其近似值分别为：0.1352，0.1353。

117若中奖率为1/n，买2n张都不中奖的概率为：当n的值趋近于无穷大时，这个值趋近于：118选举的公平问题问题：三个系共200名学生（甲系100，乙系60，丙系40），会议代表共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。119系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021120“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标

人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同当p1/n1>p2/n2

时，对A不公平p1/n1–p2/n2=5121公平分配方案应使rA

,rB

尽量小~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配.“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定义122一个数列的前99项依次为1,2,…,99,第100项为多少？能为2015吗？123算245,5,5,1;3,3,7,7;4,4,7,7;3,3,8,8.124出生8年才第一次过生日?

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我们知道，一年就是地球绕太阳公转一圈的时间。一天是地球一昼夜的时间。平均起来，一年等于365.2422天。在制定历法时，只能让一年的天数是整数，最接近一年的当然就365天，所以只能规定一年365天。但这样一来，每年就少了0.2422天，由1/0.2422=4.12882知道:差不多每4年就少了一天。因此每4天就补充1天。历法规定:如果年份数是4的整数倍，就在这一年的2月份末尾补充1天，就是2月29日，这一年就称为闰年。126

但是，每4年少的天数实际上是0.2422×4=0.9688，每4年补充1天其实是多补了1-0.9688=0.0312天。经过1/0.0312=32.0513个闰年之后，就多补了1天，应当将这1天扣除，也就是扣除一个闰年。每4年闰一次，经过32个闰年就是4×32=128年。这128年本来应当有32个闰年，应当扣除1个闰年，只保留31个闰年。127

如果规定每128年扣除1个闰年，这样的规定不容易记忆，使用起来不方便。所以采用了另一个方法:以400年为单位来计算闰年的天数。400年包含3个128年零16年。3个128年应当去掉3个闰年。因此，现行的历法规定，在这400年中，年份数是100的倍数的4个闰年中，只保留其中是400的倍数那一年仍然作为闰年，将其余3个去掉，也就是将年份数是100的倍数但不是400的倍数的3个闰年去掉。128400年除了包括3个128年之外还剩16年没有加以考虑。经过128/16=8个400年之后，积累起128年，从这128年的闰年之中应当再扣除1个。8个400年也就是3200年。不过，人类迄今为止使用公历的历史还远不到3200年。而且，真的经过两三千年之后地球的转动速度也可能还会有微小的变化，一年是否仍等于365.2422天尚不清楚，所以现在去考虑那么遥远的未来的事情还为时过早，到时候自然会有办法。129世界三大数学家世界公认的三大著名数学家为：阿基米德、牛顿与高斯。他们为科学发展作出了巨大贡献。(Archimedes,公元前287年——公元前212年)：伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”.阿基米德：数学之神130

艾萨克·牛顿(IsaacNewton,（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。牛顿：数学巨人131

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。在经济学上，牛顿提出金本位制度。牛顿自己的评价是：如果我比别人看得更远一些，那只是因为我站在巨人的肩膀上。132约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯：数学王子133高斯一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。134世界三大数学危机第一次数学危机：无理数的发现毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。135

第二次数学危机：无穷小是0吗？微积分的严密

十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。136

第三次数学危机：悖论的产生十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”137罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。罗素悖论：138下图的照片是一个台灯，照到墙上的光亮的部分与阴影的分界线看起来是一条标准的数学曲线，是什么曲线？139圆锥曲线：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。1401)当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2)当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3)当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4)当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5)当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。6)当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。7)当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。141课堂小测验142请你举一些例子，展示数学的魅力。143一个数列的前99项依次为1,2,…,99,第100项为多少？能为2015吗？144无限世界的一面整数和偶数一样多；整数和有理数一样多；(0,1)与(0,+∞)实数一样多；(a,b)与(-∞,+∞)实数一样多；145146147算245,5,5,1;3,3,7,7;4,4,7,7;3,3,8,8.148出生8年才第一次过生日?

149

我们知道，一年就是地球绕太阳公转一圈的时间。一天是地球一昼夜的时间。平均起来，一年等于365.2422天。在制定历法时，只能让一年的天数是整数，最接近一年的当然就365天，所以只能规定一年365天。但这样一来，每年就少了0.2422天，由1/0.2422=4.12882知道:差不多每4年就少了一天。因此每4天就补充1天。历法规定:如果年份数是4的整数倍，就在这一年的2月份末尾补充1天，就是2月29日，这一年就称为闰年。150

但是，每4年少的天数实际上是0.2422×4=0.9688，每4年补充1天其实是多补了1-0.9688=0.0312天。经过1/0.0312=32.0513个闰年之后，就多补了1天，应当将这1天扣除，也就是扣除一个闰年。每4年闰一次，经过32个闰年就是4×32=128年。这128年本来应当有32个闰年，应当扣除1个闰年，只保留31个闰年。151

如果规定每128年扣除1个闰年，这样的规定不容易记忆，使用起来不方便。所以采用了另一个方法:以400年为单位来计算闰年的天数。400年包含3个128年零16年。3个128年应当去掉3个闰年。因此，现行的历法规定，在这400年中，年份数是100的倍数的4个闰年中，只保留其中是400的倍数那一年仍然作为闰年，将其余3个去掉，也就是将年份数是100的倍数但不是400的倍数的3个闰年去掉。152400年除了包括3个128年之外还剩16年没有加以考虑。经过128/16=8个400年之后，积累起128年，从这128年的闰年之中应当再扣除1个。8个400年也就是3200年。不过，人类迄今为止使用公历的历史还远不到3200年。而且，真的经过两三千年之后地球的转动速度也可能还会有微小的变化，一年是否仍等于365.2422天尚不清楚，所以现在去考虑那么遥远的未来的事情还为时过早，到时候自然会有办法。153世界三大数学家世界公认的三大著名数学家为：阿基米德、牛顿与高斯。他们为科学发展作出了巨大贡献。(Archimedes,公元前287年——公元前212年)：伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”.阿基米德：数学之神154

艾萨克·牛顿(IsaacNewton,（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。牛顿：数学巨人155

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。在经济学上，牛顿提出金本位制度。牛顿自己的评价是：如果我比别人看得更远一些，那只是因为我站在巨人的肩膀上。156约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯：数学王子157高斯一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。158世界三大数学危机第一次数学危机：无理数的发现毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。159

第二次数学危机：无穷小是0吗？微积分的严密

十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。160

第三次数学危机：悖论的产生十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”161罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。罗素悖论：162下图的照片是一个台灯，照到墙上的光亮的部分与阴影的分界线看起来是一条标准的数学曲线，是什么曲线？163圆锥曲线：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。1641)当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2)当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3)当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4)当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5)当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。6)当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。7)当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。165课堂小测验166请你举一些例子，展示数学的魅力。167世界三大数学家世界公认的三大著名数学家为：阿基米德、牛顿与高斯。他们为科学发展作出了巨大贡献。(Archimedes,公元前287年——公元前212年)：伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”.阿基米德：数学之神168

公元前212年,古罗马军队入侵叙拉古,阿基米德正在潜心研究一道深奥的数学题,一个罗马士兵闯入,用脚践踏他所画的图形,阿基米德愤怒地与之争论,残暴的士兵哪里肯听,他举刀一挥,一位璀璨的科学巨星就此陨落，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛,墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形,以纪念他在几何学上的卓越贡献.169

阿基米德求得了抛物线弓形、螺线、圆形的面积和体积以及椭球体、抛物面体等复杂几何体的体积.在推演这些公式的过程中,他熟练的启用了“穷竭法”,即我们今天所说的逐步近似求极限的方法,因而被公认为微积分计算的鼻祖.他还利用此法估算出π

值的区间(22/7,223/71).

170阿基米德在力学方面的成绩最为突出,这些成就主要集中在静力学和流体静力学方面.他在研究机械的过程中,发现了杠杆原理,并利用这一原理设计制造了许多机械.他在研究浮体的过程中发现了浮力定律,也就是有名的阿基米德定律.171

赫农王对阿基米德的理论一向持半信半疑的态度.他要求阿基米德将它们变成活生生的例子以使人信服.阿基米德说：“给我一个支点,我就能移动地球.”国王说：“这恐怕实现不了,你还是来帮我拖动海岸上的那条大船吧.”这条船是赫农王为埃及国王制造的,体积大,相当重,因为不能挪动,搁浅在海岸上已经很多天了.阿基米德满口答应下来.阿基米德设计了一套复杂的杠杆滑轮系统安装在船上,将绳索的一端交到赫农王手上.赫农王轻轻拉动绳索,奇迹出现了,大船缓缓地挪动起来,最终下到海里.国王惊讶之余,十分佩服阿基米德,并派人贴出告示“今后,无论阿基米德说什么,都要相信他.”172赫农王让金匠替他做了一顶纯金的王冠,做好后,国王疑心工匠在金冠中掺了银子,但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重,到底工匠有没有捣鬼呢?既想检验真假,又不能破坏王冠,这个问题不仅难倒了国王,也使诸大臣们面面相觑.后来,国王将它交给了阿基米德.阿基米德冥思苦想出很多方法,但都失败了.有一天,他去澡堂洗澡,他一边坐进澡盆里,一边看到水往外溢,同时感到身体被轻轻托起.他突然恍然大悟,跳出澡盆,连衣服都顾不得穿就直向王宫奔去,一路大声喊着“我找到了”，原来他想到,如果王冠放入水中后,排出的水量不等于同等重量的金子排出的水量,那肯定是掺了别的金属.这就是有名的浮力定律,既浸在液体中的物体受到向上的浮力,其大小等于物体所排出液体的重量.后来,该定律就被命名为阿基米德定律.173

艾萨克·牛顿(IsaacNewton,（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。牛顿：数学巨人174

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。在经济学上，牛顿提出金本位制度。牛顿自己的评价是：如果我比别人看得更远一些，那只是因为我站在巨人的肩膀上。175

牛顿小时侯家里很穷,他父亲早就病逝,牛顿和母亲相依为命,过着清苦的生活．十四岁那年,因家里实在拿不出钱,牛顿中途退学了．退学以后,他的心思仍然停留在数学书上．一天,母亲叫他骑马到山里办事．他扛着马鞍到马棚去牵马,其实这时他正在思考一道数学题．当他把马牵出来后,突然想起了解题的一种方法,他未牵着马,却扛着马鞍一边跑一边思考．到达山顶后,解决问题的另一种方法又想出来了,而马却早已跑得无影无踪,只有马鞍还在肩上．

牛顿专心致志研究数学,在解析几何、微积分等方面都有大量杰作,他后来成为著名的数学家．

牛顿小时侯性格内向,心灵手巧,但是在校成绩却很差.他小时侯妈妈就改嫁了,他跟着外婆生活.外婆发现牛顿很聪明,会发明很多工具,比如：小风车、小城堡等等……他都放在他的小作坊里.

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牛顿虽然会做风车、风筝等东西,但是在学校的每次考试都是劣等,因此常常挨老师的鞭子.一次,牛顿做了一个风车,一有风,风车就飞快的转起来,牛顿想：能不能让风车没有风也会转动呢?他一直在思考.后来,他用小白鼠踩圆笼,使风车不断的转动.

他后来不愿被别的同学看不起,于是发奋学习,取得了优等的成绩.他考上了剑桥大学,为力学、数学、光学作出了伟大的贡献.

牛顿小时侯养猫,家人叫他在门上给猫开个进出的通道.牛顿就在门上开了一大一小并排两个洞.邻居们见了好生奇怪,问牛顿为什么要开两个洞.牛顿答,大猫走大洞、小猫走小洞.却似乎不晓得大能兼小的简单道理,从此传为笑谈.

177约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯：数学王子178高斯一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。179家华罗庚的故事

华罗庚爷爷是一位只有初中文凭的世界一流数学家。他1910年11月12日出生于江苏省金坛县。他小时候学习很刻苦，初中毕业升入上海中华职业学校后，失学后他在小杂货店做记账员。与此同时，他坚持自学数学，到处借书、抄书，并养成了“啃”数学难题的习惯。他用五年时间自学了高中的课程，又用两年时间自学了大学的全部课程。他先后在国内外几所大学任教，19岁时开始发表论文，先后发表了几十篇论文，成为著名的数学家。华罗庚爷爷于1985年6月在访问日本时不幸逝世。学家华罗庚的故事

华罗庚爷爷是一位只有初中文凭的世界一流数学家。他1910年11月12日出生于江苏省金坛县。他小时候学习很刻苦，初中毕业升入上海中华职业学校后，失学后他在小杂货店做记账员。与此同时，他坚持自学数学，到处借书、抄书，并养成了“啃”数学难题的习惯。他用五年时间自学了高中的课程，又用两年时间自学了大学的全部课程。他先后在国内外几所大学任教，19岁时开始发表论文，先后发表了几十篇论文，成为著名的数学家。华罗庚爷爷于1985年6月在访问日本时不幸逝世

关于高斯的故事,最广为流传的是“5050”。老师本来想用一道难题,让全班的同学安静一节课的时间,却没有想到小高斯只用了一两分钟就说出了答案。他把1、2、3……分别和100、99、98结对子相加,就得到50个101,最后轻易就算出从1加到100的和是5050。小高斯在三岁时,就已经学会计算了。有一天他观看父亲在计算帮工们的工钱,当他父亲念叨了半天总算报出总数时,身边传来微小的声音,“爸爸!算错了,应该是这样……”父亲惊异地再算一次,果然是算错了。虽然没有人教过他,但小高斯靠平日的观察,自己学会了计算。180

小高斯家里很穷,冬天,爸爸总是要他早早地上床睡觉,好节省燃油。可是高斯很喜欢看书,每次都带着一棵芜菁(像萝卜的一种植物)。他把中心挖空,塞进棉布卷当灯芯,淋上油脂点火看书,一直到累了才钻入被窝睡觉。高斯的进步很快,不久之后,老师就没什么东西可以教他了。后来,高斯进了高一级学校,可数学老师看了他的作业后,告诉他以后不必上数学课了。181

值得一提的是,高斯不光数学好,语文也非常棒,当他18岁时,为自己将来到底是继续研究古典文学还是数学而苦恼,正在这时,他解决了一个困扰数学家两千多年之久的问题“尺规作正十七边形”,于是,他决定继续读数学系。有一个比喻说得非常好。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭,那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯;如果把19世纪的数学家想象为一条条江河,那么其源头