随机信号分析：CH6 6.1 希尔伯特变换与解析信号

电子科技大学通信学院随机信号分析第6章带通随机信号电子科技大学通信学院第6章带通随机信号带通：功率谱集中在某个非零频率处应用背景：通信、雷达和无线电技术。本章讨论：

1）希尔伯特变换与复随机信号的分析方法，

2）带通信号的基本特性、表示方法与重要关系、以及频谱搬移的原理；

3）两种带通信号的几种基本概率分布。窄带高斯信号、窄带高斯噪声

符号注意：本章小写字母也表示随机信号。第6章带通随机信号6.1希尔伯特变换域解析信号6.1.1希尔伯特变换6.1.2解析信号举例6.2复随机信号（自学）6.3带通信号与调制6.4窄带高斯信号电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院一、希尔伯特变换定义：实信号实信号的希尔伯特变换：时域正变换反变换h(t)实信号通过线性系统电子科技大学通信学院实信号的希尔伯特变换：频域-90度相移器h(t)j-j0希尔伯特变换定义：续电子科技大学通信学院希尔伯特变换定义：续电子科技大学通信学院二、希尔伯特变换定义：随机信号线性时系统不变LTIh(t)X(t)Y(t)分布特性矩特性平稳性功率谱样本函数输出过程电子科技大学通信学院三、希尔伯特变换性质1）-希尔伯特逆变换电子科技大学通信学院希尔伯特变换性质2）-90度相移器电子科技大学通信学院设具有有限带宽的信号的傅立叶变换为，假定，则有：a(t)的频谱

a(t)的信号波形

电子科技大学通信学院证明：的频谱

电子科技大学通信学院的波形

电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院还可证明：还可证明：电子科技大学通信学院还可证明：电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院HilbertFilter电子科技大学通信学院性质3：希尔伯特变换的平稳性电子科技大学通信学院性质4若X(t)是WSSR.S.，则有：证明：

等功率正交变换电子科技大学通信学院性质4若X(t)是WSSR.S.，则有：证明：

等功率正交变换电子科技大学通信学院性质4若X(t)是WSSR.S.，则有：证明一：

等功率正交变换证明二：

电子科技大学通信学院两式左右两边分别相加

又第6章带通随机信号6.1希尔伯特变换域解析信号6.1.1希尔伯特变换6.1.2解析信号举例6.2复随机信号（自学）6.3带通信号与调制6.4窄带高斯信号电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院解析信号Inmathematicsandsignalprocessing,theanalyticrepresentationofareal-valuedfunctionorsignalfacilitatesmanymathematicalmanipulationsofthesignal.ThebasicideaisthatthenegativefrequencycomponentsoftheFouriertransform(orspectrum)ofareal-valuedfunctionaresuperfluous,duetotheHermitiansymmetryofsuchaspectrum.Thesenegativefrequencycomponentscanbediscardedwithnolossofinformation,providingoneiswillingtodealwithacomplex-valuedfunctioninstead.Thatmakescertainattributesofthesignalmoreaccessibleandfacilitatethederivationofmodulationanddemodulationtechniques,especiallysingle-sideband.Aslongasthemanipulatedfunctionhasnonegativefrequencycomponents(thatis,itisstillanalytic),theconversionfromcomplexbacktorealisjustamatterofdiscardingtheimaginarypart.NottobeconfusedwithAnalyticfunction

afunctionwhichsatisfiescertainpropertiesregardingdifferentiability电子科技大学通信学院Ifx(t)isareal-valuedsignalwithFouriertransformX(ω),andu(ω)istheHeavisidestepfunction,thenthefunction:containsonlythenon-negativefrequencycomponentsofX(ω).Andtheoperationisreversible,duetotheHermitianpropertyofX(ω).Analyticsignal:解析信号TheinverseFouriertransformofZ(jω)iscalledtheanalyticsignal:Definition:Hilberttransform电子科技大学通信学院解析信号jh(t)+电子科技大学通信学院从解析信号得到原信号从解析信号得到原信号0解析信号本质上是原信号的正频率部分电子科技大学通信学院解析信号的谱原信号是确定信号：其解析信号是确定的。原信号是平稳随机信号：其解析信号是随机的。第6章带通随机信号6.1希尔伯特变换域解析信号6.1.1希尔伯特变换6.1.2解析信号举例6.2复随机信号（自学）6.3带通信号与调制6.4窄带高斯信号电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院例：解析随机信号的矩(输入信号平稳)均值相关函数：方法一（直接计算）相关函数电子科技大学通信学院输入平稳输出平稳且联合平稳相关函数：方法二（X(t)通过线性系统）电子科技大学通信学院例1：时域因果性与频域解析性一物理可实现系统的传递函数或一个实值函数的傅立叶变换，其实部与虚部之间存在某种相互可转换的联系，如：=电子科技大学通信学院例1：续即：时域的因果性与频域的解析性是等效的。电子科技大学通信学院例2：正频率实值信号的解析信号求信号的解析信号(复信号)。解:

或电子科技大学通信学院例3：实值信号的解析信号求信号的解析信号(复信号)。解:

有：电子科技大学通信学院例3：续或：电子科技大学通信学院例4：求复信号（负频率）的解析信号求信号的解析信号(复信号)。解：总结：1、任何函数总可以计算得到其解析信号；2、不是任何信号的解析信号都可以恢复其原始信号；3、只有在正负频率轴都有对称谱的信号具有可逆性；因此：解析信号通常仅应用在实值函数；不能从解析信号中恢复出原始信号！！！电子科技大学通信学院解析信号的应用解析信号可以采用幅度相位描述方式：其中：amplitudeenvelopeinstantaneousphase电子科技大学通信学院Asignalinblueandthemagnitudeofitsanalyticsignalinred,showingtheenvelopeeffect电子科技大学通信学院Thetimederivativeoftheunwrappedinstantaneousphaseiscalledtheinstantaneousfrequency.

Theamplitudefunction,andtheinstantaneousphaseandfrequencyareinsomeapplicationsusedtomeasureanddetectlocalfeaturesofthesignal.Anotherapplicationoftheanalyticrepresentationofasignalrelatestodemodulationofmodu