大同市重点中学2022年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知空间两不同直线m、n，两不同平面，，下列命题正确的是（ ）A．若m 且n ，则m nC．若m且m ，则

B．若m且mn，则n D．若m不垂直于，且n，则m不垂直于n y2cos2x1的图像向左平移mm0个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m的 2 8 最小值为（ ） A． B．3 4

C． D．2在ABCA

、C所对的边分别为a、b、cacosBbcosA

c a2，则

（ ）3 1B．2 2

1 1C． D．4 8

4 2c22已知六棱锥PABCDEF各顶点都在同一个球（记为球O）的球面上，且底面ABCDEF为正六边形，顶点P在26ABCDEF的中心GPA6

，AB

，则球O的表面积为（ ）A． B．3 4

C．

D．5．已知集合A0,1,2，B=xx(x2)0,则A∩B=． ．0, ．,2 ．0,1,P

x2a2

y2=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对b2称点为Q，设PD3PQ，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若则椭圆τ的离心率e=（ ）4212A． B．2 2

C． D．332 333一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）10A．3C．83

B．37D．3fx在Rfx若eaf(2a1)f(a1)，则实数a的取值范围是( )

f(x)e2xx0f(xf(x0，f(x)A．0,2

B．2,0

C．[0,) D．(,0]33

p:x 1,log x ;q:xR,exx，则下列说法中正确的是（ ）10 1 0 212A．pq是假命题Cpq是真命题

B．pq是真命题D．pq是假命题关于圆周率受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生2000个数对x,yxy都是区间上的均匀随机x能与1构成锐角三角形三边长的数对x,y的个数m﹔最后根据统计数m来估计的值若m435，则的估计值为（）A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是( )A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④3已知单位向量ab的夹角为4A．2 B．2

，若向量m2a，n4ab，且mn，则n（ ）C．4 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。若sin

1，则cos ，cos2cos . 23 23xy20x y

满足约束条件3xy0 ，则z3x2y的最大值为 ．xy0某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入为50万元；④利润最高的月份是2月份．如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将AMN沿线段MN 进行翻折得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数fxxlnxx，gxx.ex（1）若不等式fxgxax2对x1,恒成立，求a的最小值；（2）证明：fx1xgx.fxgxx

Fxfxx,1xx

x x （3）设方程

的实根为x.令

0若存在，

，x

，使得0Fx01

Fx2

，证明：Fx2

0F2x0

x.1

g x,xx,

1 2 1 2 x22cos x8tcos418（12分）已知曲线C1

的参数方程为y2sin （

为参数，曲线C2

的参数方程为 （t为ytsin 4参数）.求C和C1 2

的普通方程；

|ON|过坐标原点O作直线交曲线C1

于点M（M异于O，交曲线C2

N

|OM

的最小值.19（12分）已知函数fxexax，gxexlnx.x0fx0恒成立，求实数a的范围；当a时，是否存在实数x0

e，使曲线Cygxfxx0

处的切线与y轴垂直？若存在，求x.020（12分在多面体ABCDEF中四边形ABCD是正方形CF平面ABCDCF DEABCF2DE2，G为BF的中点. CGAF；求平面BCF与平面AEF 所成角的正弦.21（12分）设函数fx2x2alnx（aR）.yfx在点fy2xm、m的值；f2x122fxx2,a的取值范围；xfx2cosx5.22（10分）已知椭圆C

x2y2

1ab0FF2，且经过点T1,3，a2 b2

1 2

2Hk0的直线lM，与椭圆C交于G，两点.H1求椭圆C的方程；xPPGPH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围，.参考答案125601、C【解析】A中的直线B中的直线nC中的直线m中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线m也有可能垂直于直线n，故不正确．应选答案C．2、B【解析】

ycosx

，要想在括号内构造44

变为正弦函数，至少需要向左平移个单位2 4长度，即为答案.【详解】

x

x

y2cos22

81cos22

8cosx

4对其向左平移4个单位长度后，

ycosx

44cosx

2sinx，其图像关于坐标原点对称 故m的最小值为4故选：B【点睛】3、D【解析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】aa2c2b2

bb2c2a2c，2ac 2bc 4a2

c2，a2b21.4 2c2 8D.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.4、D【解析】

P

PG

2，再结合球的性质，求得球的半径R3，PA2PA2AG2利用表面积公式，即可求解.【详解】PABCDEFABCDEFPABCDEF的中心G可得此六棱锥为正六棱锥，22又由AB ，所以AG ，226PA6

PG

2，PA2PA2AG23在AOG中，可得AO2AG2OG2，即R2(2R)2( 2)2，解得R ，32SR2.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.5、A【解析】先解A、B集合，再取交集。【详解】xx200x2,BA集合的交集为A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。6、C【解析】

y 设P x,y ，则Ax,

，Qx,y ，Dx,

1，设Bx

，根据PAPB化简得到3a24c2，得到1 1 1

1 1

1 2 2 2答案.【详解】

，则

，

， 3 ，则 y，设 ，设P x,y

Ax,

Qx,

PD PQ Dx, 1

Bx,y1 1 1 1 1

4 1 2 2 2x2 y2 1 1 1

a2 则

，两式相减得到：

xx1

xx1

1

yyy1 2 ，yx2

y2 a2 b22 2 1a2 b2yy

b2 xx

y y

y 4yyk

2 1 2，

k

1

2，

1 1 2 ，PB xx1 2

a2 yy1

AD

4x xx1 1

PA x1

xx1 2PAPB，故k kPA PB

1，即4b2a2

1，故3a24c2，故e .323C.【点睛】7、A【解析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积VA.【点睛】

1222112210.2 3 2 38、B【解析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】g(x)exf(x)x0g(x)exf(xf(x0，g(x)exf(x)exf(x)g(xg(x为偶函数，从而eaf1f1等价于e2af(2a1)eaf(a1),g(2a1)g(a1)，2g(|2a1|)g(|a1|),|2a1||a1|,3a22a0【点睛】

a0.B.39、D【解析】举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】当x 1时，log

0,故p命题为假命题；0 1 02f（x）＝ex﹣xf′（x）＝exf（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即xR,exx，故q命题为真命题；∴pq是假命题故选D【点睛】10、B【解析】xy能与1x能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.【详解】xy都是区间上的均匀随机数，所以有0x10y1xy能与1构成锐角三角形三边长，xy1 11 则 ，由几何概型的概率计算公式知P

41

m435，x2y2

1 11 4 n 2000所以4(1故选：B.

435)3.13.2000【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.11、D【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】故选：D【点睛】12、C【解析】根据mn列方程，由此求得的值，进而求得n.【详解】由于mn，所以mn0，即2ab8a22ab82cos8 20，4解得

84 2.2所以n4a4 2b所以n 4a4 2b2 16a232 2abb

4832 2cos4

4.484832【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 413、3 9【解析】根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【详解】4sincos1 coscos2cos21cos .4 ，故239 23914.3 9【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.314、2【解析】3根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线y xz在y轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的32 2方式可确定过B1,3时，z取最大值，代入可求得结果. 22【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：z3x2yy3x

z，则z最大时，直线y x

zy轴截距最大；32 2 2 233 由直线y x平移可知，当y x3

zBy轴截距最大，2 2 2xy2

13 1 3 3由 得：B

z 3

2 .3xy03

22

max

2 2 2故答案为：.2【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.15、①②③【解析】通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．【详解】8060对于①，2至月份的收入的变化率为

20，111270

20，故相同，正确．32 2111对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．9月每个月的收入分别为405060405060503万元，正确．31030280﹣60＝20万元，错误．故答案为①②③．【点睛】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．316、2 33【解析】AMxAMN，在x关于x的最小值．【详解】AMxAMNBM1xAMBBAM，AM BM

，3sinABM sinBAM3x 1x3即 sin260，∴x32

2 ，3sin260233∴当26090即

时，x取得最小值 2 3313323

3．故答案为2

3．【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。117（1）e（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】1 lnx1a kx

lnx1

kx

1,（）由题意可得， ex ，令

ex ，利用导数得 在

上单调递减，进而可得结论；不等式转化为lnx1

1，令txlnx1hx

1，利用导数得单调性即可得到答案；x ex x ex由题意可得ln

1F

F2x

，再利用单调性可得xlnx

2x x10 1，1e0 x 1 0 1e0

1 1 e2x0xe记mxxlnx2x0x，1xxe

，再利用导数研究单调性可得mx在

上单调递增，即mxm

2xx0101

lnx

02x x 0

0，即可得到结论.0【详解】

1 1 e2x0x（1）fxgxax2，即xlnxxxex

lnx1ax2，化简可得 a.ex令kx

lnx1ex

1，kx

xex

x1，所以1x1

1，lnx11.所以kx0kx在1,kxk1.e1所以a的最小值为.e（2）fx1xgxxlnx1xx0.ex两边同除以x可得lnx

11.x ex设txlnx1，则tx

11

x1.x x x2 x2在tx0，所以tx在上单调递减.在1,tx0，所以tx在1,上单调递增，所以txt1.hx1，因为hx在上是减函数，所以hxh01.ex所以txhx，即fx1xgx.（3）fxgxx在区间1,x

，即lnx0

1，要证exe0Fx2

F2x0

xFx1

Fx2

可知，即要证Fx1

F2x0

x.1当1xx0

FxxlnxFx1lnx0Fx在0

上单调递增.xxFxxFx1x0Fx在x

,上单调递减.0 ex ex 0因为x1

1,x0

，所以2x x0 1

xFx0

F2x0

x.1

lnx

2x x 1 11 1 e2x0x1e记mxxlnx2x0x，1xx.e2x01

0x x因为lnx0

xex e0

lnx0

0，则m xeex0 e

xlnx0 0

00.x0

1x2x

1 2xxm x 1lnx 01lnx 0 .eee2xeee0

2x0

2xx0设n

tnt1t，当t0,1nt0.et ett1,nt0，故nmax

1.e且nt0，故0n

1，因为2x

x11

2xx000

0.ex0，即mx在0

0上单调递增.

e e2xx所以mxmx0

0，即x1

lnx1

2x x0 1.1e2x0x1Fx2

F2x0

x得证.1【点睛】2本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.218（1）曲线C1

(x2)2y2

4；曲线C2

xy80（2）

1)【解析】消去曲线CC1 2

参数方程中的参数，求得C和C1 2

的普通方程.设出过原点O的直线的极坐标方程，代入曲线CC1 2

ONOM的表达式，结合三角函数|ON|值域的求法，求得|OM|的最小值.【详解】曲线C1

(x2)2y2

4；曲线Cxy80.2设过原点的直线的极坐标方程为

0,

3,R；4 由(x2)2y24x2y24x0，所以曲线C1

的极坐标方程为4cos在曲线C1

|OM|4cos.xy80得曲线Ccossin80，所以2而O到直线与曲线C2

的交点N的距离为|ON| 8 ， sin |ON|因此

8sincos 2 4 ，2|OM| 4cos sincoscos22

sin2

144|ON||OM|

的最小值为

4(

21).242421本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.19（）,（）不存在实数x0

eyMxxx0

处的切线与y轴垂直.【解析】x0x0时，分离参数为aexH(xex，利用导数求得函数最值即x x可；Mxf(xg(x)exlnxexx，导出导函数M(x，问题转化为M(x)0在上有解．再用导数研M(x的性质可得．【详解】（）因为当x0时，fxexax0恒成立，x0afxexax0恒成立.x0fxexax0恒成立，即当x0时，aex，x设Hxex

，H'xexxex

1xex，x x2 x2x0,1H'x0Hx在上单调递增，xH'x0Hx在1,上单调递减，x1Hx取得最大值.Hxmax

He，所以，要使x0时，fx0恒成立，a的取值范围为e,.（2）由题意，曲线CyexlnxexMxexlnxexx，

x.M'x

exlnxex1 lnx1ex1，ex 1 x ex 1 hx1lnx1h'x11

x1，x x2xeh'x0，

x x2hx在e上为增函数，因此hx在区间e上的最小值hln10，hx

1lnx10，xxeex

0

1lnx

10，0M'x

1

0ln

x01ex

010，0 x 0 00曲线yexlnxex

xxx0

处的切线与y轴垂直等价于方程M'x0

0在x1,e上有实数解.M'x0

0，即方程M'x0

0无实数解.故不存在实数x0

eyMxxx0

处的切线与y轴垂直.【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．3020（1）证明见解析（2）306【解析】首先证明CGABBF，AB

BFBCGABF.AFABFAF.DxyzBCF.【详解】∵CF平面ABCD，AB 平面ABCD，∴CFAB.又∵四边形ABCD是正方形，∴ABBC.BC CFCABBCF.CGBCFCGAB.BCCF2GBFCGBF.AB BFBCGABF.AFABFCGAF.∵CF平面ABCD，CF DE，∴DE平面ABCD.以D为坐标原点，DA，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.如图所示：DA2,0,0CE0,0,1F.如图所示：∴AE2,0,1，EF0,2,1，DC.nx,yzAEF的法向量，n·AE0 2xz0则n·EF0，得2yz0 ， x1n1,1,2.由题意知DC0,2,0为平面BCF的一个法向量，6 nDC 26∴cosn,DC ，|n||DC| 62 6∴平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为 .1(61(6)2630【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.21（）a2，m0（）,

4 2ln2ln3（）不能，证明见解析【解析】（1）求出fx，结合导数的几何意义即可求解；（）构造hxf2x22fx，则原题等价于hx0对任意x2,恒成立，即x2,时，hxmin

0，利用导数求hx最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由h20求出a的范围，再研究该范围下hx单调性；（3）gxfx2cosx5gx.【详解】（1） fx2x2alnx，fx4xa，xyfx在点fy2xm，f4a2

221m，a2解得 .m 0（2）记hxf2x122fx，整理得hx4x2a

x2，2x1

2 2

2x42x2xah x

x1

a x 2x1

2x2x由题知，f2x22fx对任意x2,恒成立， hx0x2,x2,h min

0，h20，解得a 4 ，2ln2ln3a

42ln2ln3时，对任意x2,，x10，2x2x2x1216,， 4 8 4

4ln

46e ，42x2x

a46 2ln2ln3 2ln2ln3hx0hx2,单调递增，此时hxmin

h20， 4 a的取值范围为2ln2ln3. （3）xfx2cosx5gxfx2cosx52x2alnx2cosx5x0,+，xfx2cosx5gx有三个零点，gx4xa2sinx，xa当a0时，a