专题复习二 相似的综合应用

专题复习二相似的综合应用相似三角形的判定与性质与圆、函数、特殊三角形等知识的综合应用要注意知识之间的关联，应用转化化归思想化繁为简.AD1如图所示，将△ABC沿DE翻折，折痕DE〃BC，若BD=2,BC=9，则DE等于(B).A.2 B.3 C.4 D.4.53题)如图所示，在^ABC中，ZC=90°，AC=4,BC=3,AB边上有一点D，且AD=AC，过点D作DELAB交BC于点£，则左BDE的周长是(B).A.3 B.4 C.5 D.6EB1AF如图所示，E为的边CB的延长线上一点，若~BC=2，则B的值为(C).AdLD1 1A.1 1A.2 B.3 C.2D.3如图所示，已知在梯形ABCD中，AD〃BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD交于点O，^AOB，^BOC，^COD，^DOA的面积分别记作S1，S2，S3，S4，那么下列结论中，不正确的是(B).A.S1=S3 B.S2=2S4 C.S2=2S1 D.S1・S3=S2・S4题)如图所示，在△ABC中，BC=3,G是AABC的重心，如果DG〃BC，那么DG=1.如图所示，四边形ABCD内接于。O,BD是。O的直径，AC和BD交于点E，AC=BC，10

如图所示，在^ABC中，AB=AC,过点C作CF〃AB交^ABC的中位线DE的延长线于点F,连结BF,交AC于点G.AEEG求证：AC=CG.若AH平分ZBAC，交BF于点H,求证：BH是HG和HF的比例中项.【答案】(1)・「CF〃AB,DE是中位线，...四边形BCFD是平行四边形,ADE=EF.AAE_DE_EF_ECAE_EG就一而一而一苏即我一赤*-■■■-V (第7题答图)(2)如答图所示，连结CH.VAH平分ZBAC,AZBAH=ZCAH.在AABH与^ACH中，,AAABH^AACH.ABH=CHZHCG二ZDBH二ZHFC.,AAABH^AACH.ABH=CHZHCG二ZDBH二ZHFC.又'(第'(第8题)CHHGZGHC二ZCHF,.•.△GHCs^CHF..'HF=CH.ACH2=HG-HF.又BH=CH,・.・BH2=HG・HF...・BH是HG和HF的比例中项.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点(不与点A,B重合)，EFLDE交BC于点F.求证：△ADEs^BEF.设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.求y关于x的函数表达式及x的取值范围.当x取什么值时，y有最大值？求出这个最大值，并指出该函数图象的变化情况.(第8题)【答案】(IE四边形ABCD是正方形，.\ZDAE=ZEBF=90o.AZADE+ZAED=90°.VEF±DE ,・.・ZAED+ZBEF=90°...・ZADE=ZBEF...・^ADEs^BEF.BFBE⑵•「△ADEs^BEF,...AE=AD..・・x=4，即y=-4x2+x.Ay关于x的函数表达式为y=-4x2+x(0<x<4).

1 1 1(3)y=-4x2+x=-4(x2-4x)=-4(x-2)2+1.当x=2时，y有最大值，y的最大值为1.该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的.在Rt^ABC中，ZC=90°，P是BC边上不同于点B，C的一动点，过点P作PQXAB于点Q，连结AP.(1)(2)(3)试说明不论点P在BC边上何处，都有△试说明不论点P在BC边上何处，都有△PBQ与^ABC相似.若AC=3,BC=4，当BP为何值时，^APQ面积最大？求出最大值.在Rt^ABC中，两条直角边BC，AC满足关系式BC二入AC，是否存在一个入'衣一而一曲，即亍一T-5-・・性?一互》，成一25至=一厂..・当x=8时，Q，K，M，N.设^Q，K，M，N.设^BPQ，^DKM，^CNH的面积依次为S1，S2,则S2的值为(B).C.10 D.1275△APQ的面积最大，最大值是32.存在.VRt^AQP^Rt^ACP，AAQ=AC.VRt^AQP^Rt^BQP・.・AQ=BQ...・AQ=QB二AC.在Rt^ABC中，BC2二AB2-AC2..・.BC=*3AC..'当入二言时，Rt^AQP既与Rt^ACP全等，也与Rt^BQP全等.如图所示，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE，BF，DF，DG，CG分别相交于点P，S3.若S1+S3=20，ZACB的平分，把这两点分别题)11.如图所示，线相交于点E12.ZACB的平分，把这两点分别题)11.如图所示，线相交于点E12.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，在Rt^ABC中，/ABC=90°，AB=6，BC=8，ZBAC，过点E作EF〃BC交AC于点F，则EF的长为(C).与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为(B).分线交于点E，连结BE.若SAACE=73SABDE=14，则AC=2(第13题)-（第14题）如图所示，ACLBC分线交于点E，连结BE.若SAACE=73SABDE=14，则AC=2(第13题)-（第14题）.•（第.•（第15题）(第如图所示，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，ZDME=ZA=ZB=45°，8且DM交AC于点F，ME交BC于点G，连结FG，若AB=4命，AF=3,则BG=3，5FG=3.如图所示，在四边形ABCD中，AC平分/BCD，AC±AB，E是BC的中点，AD±AE.求证：AC2=CD・BC.过点E作EGXAB，并延长EG至点K，使EK=EB.若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FHLGH.若/B=30°，求证：四边形AKEC是菱形.【答案】（1）・「AC平分/BCD，AZDCA=ZACB.又VACXAB，AD±AE，AZDAC+ZCAE=90°，ZCAE+ZEAB=90°.AZDAC=ZEAB.又VE是BC的中点，ACAAE=BE.AZEAB=ZABC.AZDAC=ZABC.AAACD^ABCA.ABCCDAC...・AC2=CD・BC.

.•（第.•（第15题答图）(2)①如答图所示，连结AH.由(1)知左ACD^ABCA,AZADC=ZBAC=90°.V点H,D关于AC对称，AAH±BC.VEG±AB,AE=BE,AG是AB的中点..・・HG=AG.A/GAH=/GHA.・「 点F为AC的中点，AAF=FH.AZHAF=ZFHA.AZFHG=ZAHF+ZAHG=ZFAH+ZHAG=ZCAB=90°.AFH±GH.②VEK±AB,AC±AB,AEK#AC.又VZB=30°,AAC=2BC=EB=EC.又EK=EB,AEK二AC.A四边形AKEC是平行四边形.又AC=EC,・.・平行四边形AKEC是菱形.矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使点B落在CD边上的点P处.（1） 如图1所示，已知折痕与边BC交于点0，连结AP，OP，OA.求证：△OCPs^PDA.若△OCP与^PDA的面积比为1：4，求边AB的长.（2） 如图2所示，在（1）的条件下，擦去A0和0P，连结BP.动点M在线段AP上（不与点P，A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEXBP于点E.试问动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，请说明理由.（第16题）•（第16（第16题）•（第16题答图)【答案】⑴①四边形ABCD是矩形，AZC=ZD=90°.AZDPA+ZDAP=90°.VZAPO=ZB=90°AZDPA+ZCPO=90°.AZCPO=ZDAP.VZC=ZD，A^OCP^^PDA.一 1OP_CP_/1_1 -②•「△OCP与APDA的面积比为1：4，A1一3一、一—：.ACP=2AD=4.・「CO=CB-BO,・.・CO=8-OP，在Rt^PCO中，0P2=C02+CP2,即0P2=(8-0P)2+16,解得OP=5.AAB=AP=2OP=10.A边AB的长为10.(2)如答图所示，作MQ〃AN交PB于点Q.「AP二AB，MQ〃AN，AZAPB=ZABP=ZMQP.AMP=MQ.1「BN二PM， ABN二QM.「MP二MQ，ME±PQ， AEQ=2PQ.「MQ〃AN，1 1 1 1AZQMF=ZBNF.AAMFQ^ANFB.AQF=2QB..LEF=EQ+QF=2PQ+2QB=2PB.由（1） _ 1 _得PC=4,BC=8,..・PB=V'8242=4*5...・EF=2PB=2^5..L在⑴的条件下，点M,N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2•杏.【东营】如图所示，在正方形ABCD中，ABPC是等边三角形，BP,CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD，DP，BD与CF相交于点H，有下列结论:①BE=2AE；②^DFPs^BPH:③^PFDs^PDB:④DP2=PH・PC.其中正确的是（C）.A.①②③④ B.②③C.①②④D.①③④【解析】・「^BPC是等边三角形，..・BP=PC二BC，/PBC=/PCB=/BPC=60°.在正方形ABCD中， .「AB=BC二CD，ZA=ZADC=ZBCD=90°，AZABE=ZDCF=30°.ABE=2AE.故①正确.・..PC=CD，ZPCD=30°，AZPDC=75°.AZFDP=15°.VZDBA=45° ，AZPBD=15°.AZFDP=ZPBD.VZDFP=ZBPC=60°，AADFP^ABPH.故②正确.VZFDP=ZPBD=15°，ZADB=45°，AZPDB=30°.而ZDFP=60°，AZPFD^ZPDB.AAPFD与△PDB不会相似.故③错误.VZPDH=ZPCD=30°，ZDPH=ZDPC，AADPH^ACPD.DPPH.・.pC=Dp..・・DP2=PH・PC.故④正确.故选C.: "“图2: "“图2二「图1(第18题)【常德】如图所示，在RtAABC中，/BAC=90°，点D在BC上，连结AD，作BFXAD分别交AD于点E，交AC于点F.如图1所示，若BD=BA，求证：△ABE^^DBE.如图2所示，若BD=4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于点M，求证：GM=2MC.AG2=AF・AC.【答案】(1)在Rt^ABE和Rt^DBE中，VBA=BD,BE=BE,ARt^ABE^Rt^DBE.

,■ ' *、(第18题答图)(2)①如答图所示，过点G作GH〃AD交BC于点H.VAG=BG,ABH=DH.VBD=4DC,GMHD2设DC=1,BD=4,・.・BH=DH=2.・「GH〃AD,..・MC=DC=1..・.GM=2MC.AG②过点C作CN±AC交AD的延长线于点N,则CN#AG.AAAGM^ANCM.ANCGM=MC.由①知GM=2MC,A2NC=AG.VZBAC=ZAEB=90AFAZABF=ZCAN=90°-/BAE.又ZBAF=ZACN=90°,AABAF^AACN.ANC=ABAFABAC.・.・AB=2AG,.・・CN2AG=AC..・.2CN・AG=AF・AC...・AG2=AF・AC.在^ABC中，P为边AB上一点.如图1所示，若ZACP=ZB,求证：AC2=AP・AB.若M为CP的中点，AC=2.如图2所示，若ZPBM=ZACP,AB=3，求BP的长.如图3所示，若ZABC=45°,ZA=ZBMP=60°，求BP的长.•图“二一^图1上当图上刍图3（第19题）"上3图1 图2（第19•图题答图）AC【答案】(1)・「/ACP=/B,ZA=ZA, ...△ACPs^ABC...・AP=ABAC...・AC2=AP・AB.(2)①如答图1所示，取AP在中点G,连结MG,设AG=x，则PG=x,BG=3-x.VM1是PC的中点，..・MG〃AC,MG=2AC=1..../BGM=/A.又VZACP=ZPBM,

.•.△APCs^GMB.APAC2x2 3-拓 3+15.・.MG=BG，即1二3-x，解得x=2或x=2 （不合题意，舍去）