2022-2023学年江苏省常州市高三数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是A． B．C． D．2．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A． B． C． D．3．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．194．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为()A． B． C． D．6．在展开式中的常数项为A．1 B．2 C．3 D．77．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm38．已知下列命题：①“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④9．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或10．复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（）A． B．1 C． D．12．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________．14．的展开式中的系数为____.15．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.16．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（）求与平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．18．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.19．（12分）数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.22．（10分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.2、D【解析】

可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出，这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.3、B【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出，则不符合题意，排除；若输出，则，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.4、A【解析】

化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5、C【解析】

由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P一定在左支上.由及，得，，再结合M为的中点，得，又因为OM是的中位线，又，且，从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，则渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.6、D【解析】

求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为：,，所以展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。7、B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.8、B【解析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“”的否定是“”，正确；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；“”是“”的必要不充分条件,错误；“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．9、C【解析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，即，所以直线的方程为.当直线的方程为，联立，解得和，所以；同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.10、A【解析】

试题分析：由题意可得：.共轭复数为，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系11、D【解析】

建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵，，，∴，设抛物线，代入点，可得∴焦点为，即焦点为中点，设焦点为，，，∴.故选：D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.12、C【解析】

由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析：，，对应点为，在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设直线l与函数及的图象分别相切于，，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为．14、28【解析】

将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.【详解】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为故答案为：28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.15、【解析】

根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得：，故答案为：【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.16、【解析】

不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解，【详解】不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示：由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，，顶点D到面ABC的距离为所以，由余弦定理得：，所以，所以，又顶点A到面EDF的距离为，所以，因为，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).【解析】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.详解：（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，两两垂直，∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，，得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故与平面所成角的正弦值为．（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故二面角的余弦值为．点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.18、（1）（2）【解析】

（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可根据上述方法求出，解，即可得出最小值.【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：00.010.020.030.04频率0.40.30.20.0750.025所以的数学期望的估计为.（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件，则，故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为，由题意，又，解得，所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．19、（1）见解析，（2）【解析】

（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】

（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意，当时，，①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；②当时，若，；若，；故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）方法1：由得令，则，依题意有，即，要证，只需证（不妨设），即证