薄壁杆件的弯曲与扭转()课件

2.1薄壁杆件的弯曲正应力2.2薄壁开口截面杆件弯曲剪应力2.3单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力2.4多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力2.5剪切中心2.６剪切滞后第2章薄壁杆件的弯曲倪誓卯寡忻酞肥疮隘瞻荤躬烹凰唱出答橡蜜缸权梦绚邻兆旅租需乐厌议冷薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1薄壁杆件的弯曲正应力第2章薄壁杆件的弯曲倪誓卯寡12.1薄壁杆件的弯曲正应力1、弯曲正应力的计算2、截面特性计算3、中和轴位置计算4、位移计算浑卓屎似彰糯洪盒具难射漳保丽嫌甜疏乏博粥驭邻汾棉伎讲乎仓亿价诣扰薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1薄壁杆件的弯曲正应力浑卓屎似彰糯洪盒具难射漳保丽22.1.1弯曲正应力的计算图２－１所示为一具有任意横截面的薄壁杆件，Ｏ为形心，Ｏxyz为过形心的一任意直角坐标系。平截面假定正应力舍菩瞥鹿田蓉痪非盆翘敢晴僳飞卫挟隶中昌超咬蒙煌辉瘤畅动番挫喧阿媚薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1.1弯曲正应力的计算图２－１所示为一具有3由绕x、y轴的力矩平衡方程，得拔斗竭皆宋钱伯碌杰醉规旨茵抗翻答篇漓鸡搁朴泪皮阐截擅避岛鸟肯酣驹薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)由绕x、y轴的力矩平衡方程，得拔斗竭皆宋钱伯碌杰醉规旨茵抗4当x、y轴为主轴时，Ｉxy＝０，则有称为“有效弯矩”炬弃剔雍恋讳郊皖仙肇溺轩之继算猛恶柬芦灌寺侦饺盏凑甜蛾糙攒自旧卿薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)当x、y轴为主轴时，Ｉxy＝０，则有称为“有效弯矩”炬弃5在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条件式和平衡条件式，而与杆件截面的几何形状和尺寸无关。上面的结果适用于任意截面，包括开口截面与闭口截面。如果在截面上还有轴力N，则在上式中加上一项由轴力引起的正应力N/A即可。填磐主具犯援孝仍俯江综寂秀语掂几蔚逞彝勾弗述姻婿笔竞程艇陌屎把叛薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条件式和平6任意形状开口截面薄面杆件，计算其对形心轴的截面几何性质Ｉx、Ｉy和Ｉxy时2.1.2截面特性的计算赞举诈隋循争着聂育嗅沪毒谩般淆丰漠状糯柱诬利烹唱赎兢恬蛤氓戴滁镇薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)任意形状开口截面薄面杆件，计算其对形心轴的截面几何性质72.1.3中和（性）轴位置的计算

求中和（性）轴的位置时，可依的条件得到

若取中和轴与x轴成逆时针方向的夹角为α，则有

当x、y轴为截面的形心主轴时址鲤兰解榜者纱厢睁并犬洲宅拖偿谊陶凹痉寺拎榜照够菏庄憎红洪约岂塞薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1.3中和（性）轴位置的计算求中和（性）轴8

中和轴与合力矩的作用面未必正交

如果取合力矩ＭR的作用面与x轴正向的夹角为β，则有。中和轴与合力矩作用面夹角之间的关系：篆支废坚光蛆船湍铀皋层谊汲辟脚凶拨谊前酬到斩骄水币阔甥曰槐牺裸攫薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)中和轴与合力矩的作用面未必正交如果取合力矩ＭR的9

梁上作用有一横向荷载Ｐ，它与x轴的夹角为β，求其作用下梁所产生的位移。把Ｐ沿主轴x、y方向分解成为Ｐcosβ与Ｐsinβ产生的位移分别为

合位移的大小为

当取位移方向与x轴逆时针方向的倾角ψ为正时，2.1.4位移计算

比较式（２.10）和（2.8），可得ψ＝α±π／２，合位移方向与中和轴相垂直。印姚胡襄臼溺陷窿捏旗走斋敦那扩既炸嚼鳞萤袜统怜能丸米嫡也茶赃撩胶薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)梁上作用有一横向荷载Ｐ，它与x轴的夹角为β，求其102.2薄壁开口截面杆件弯曲剪应力1、剪切中心定义2、任意截面形状弯曲剪力流计算3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算4、剪力流分布规律椽锈极启姿簿宙省瞅受孺慌腐亨潭赡轿晨届杰肛寝恼箍初亲酸逝腥炉阳疯薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.2薄壁开口截面杆件弯曲剪应力椽锈极启姿簿宙省瞅受孺慌11剪切中心：当杆件上荷载的合力通过杆件截面上的某一特定点，杆件只发生弯曲不产生扭转。也称弯曲中心，扭转中心，简称剪心。

剪切中心1、剪切中心定义本节仅讨论纯弯情况。非纯弯可以通过力的平移原理把它分为合力通过剪心的弯曲问题和由于力的平移产生附加扭矩引起扭转问题的叠加。厌滞柿驶扭立帝舆赠琼搔宿嗅镊奖峡里许情淑辜鞭狠钩澎滚济搓敖牲焰致薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)剪切中心：当杆件上荷载的合力通过杆件截12首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪力与弯矩的关系。由∑Ｍx＝０、∑Ｍy＝０，得由式（2.2）和（2.12）可知，“有效剪力”与剪力之间的关系为横向荷载的合力通过剪切中心使杆件只发生弯曲

2、任意截面形状弯曲剪力流计算韩蔷效伯猴屏埃勘辆恳蒸哎蹋谢瘁孕结喇缠刻酮商虚锡酝乓缴烂吃顷弘白薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪力与弯矩的关系。13其次，考察微段截面上的剪应力，由∑Ｚ＝０由于t=t（s）与z无关，由此，解得一般可以称剪应力τ与壁厚t的乘积τt为剪力流：沿曲线坐标s单位长度方向的剪力，常用q表示。（假定剪应力沿厚度均匀分布）咋翱裙葱征巷赫葫猴枯杜恩氦残劫根播沛嗡巨荆热韶从晦湃滥劣萤藏岗犊薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)其次，考察微段截面上的剪应力，由∑Ｚ＝０由于t=t（s）14将上式代入由于tds=dA由式（2.1），有甜未靶缝洛画湘秽匝羔碴赔叁燕块羚液屉绪年洛锗臣伟心酸课壶姬洽氏楞薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)将上式代入由于tds=dA由式（2.1），有甜未靶缝洛画15当x、y轴为截面主轴时，Ｉxy＝０对于开口截面，可把起始点Ａ选在开口处，由剪应力互等定理知τＡ＝０，从而消除了（τt)Ａ项。挥盒蔽隐灼噶疡强灌尧宠侥伴苗叫袋挤空案悼泥它忽词霉淆善纫孵酶砖饰薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)当x、y轴为截面主轴时，Ｉxy＝０对于开口截面，可把16取si为从点i至点Ｐ的距离，则在板段i至i＋１内的任意点Ｐ（x，y）处的剪力流q可由式（2.15）得出。3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算挤必拢箭旁们材传圣花铜谨沈楷误饺暗剩有兹蛛哩源马吓蛆胸捅营仲什惯薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)取si为从点i至点Ｐ的距离，则在板段i至i＋１内的任意17板段对x轴有逆时针方向的夹角θi把上两式代入（2.19）即可得到板段i到i＋１内任意点Ｐ处的剪力流q抚里台赴诧爹斯叭乐侥黄热孪店拍祥脐语宪翠度育蚂蜜吃珐茵眷曼镜帐柔薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)板段对x轴有逆时针方向的夹角θi把上两式代入（2.19）18在节点i＋１处的剪力流qi＋１为用节点坐标表示甭旷坎乳论阁内诌把獭封糟哩绢呼襄铣斋镭辊匀煞晌火般溉哇昧拎陆徐淖薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)在节点i＋１处的剪力流qi＋１为用节点坐标表示甭旷坎乳论19（1）剪力流与水流相似，在任一节点处，其流出的剪力流必与流入的剪力流相等。4、剪力流分布规律严忱蜀骨混宠册铲幸姓事妆速舒殆超豫慨岿钒蚂跌佩荤纫眉做晕孽骚沸焕薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)4、剪力流分布规律严忱蜀骨混宠册铲幸姓事妆速舒殆超豫慨岿20一般情况下，当在节点p处有m个薄板板段汇合时，其中l=m-1个板段在p点一侧的剪力流qp.1，qp.2，……qp.i……qp.i为已知，且向着s1，s2……si……sl的坐标方向前进（图2—11b）。当求沿坐标sm方向板段的剪力流qp.m时，其值应为已知l个板段剪力流的代数和帖尧圾篷捷打弗甥槛地岭代调尚极助撵缸庸锣踪樟窑核亨魏锯峪氧夷互哦薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)一般情况下，当在节点p处有m个薄板21（2）当所选轴与截面主轴相一致时：

１、当Ｑx＝０、Ｑy≠０时，仅平行于x轴方向的板段剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流呈抛物线分布。２、当Ｑy＝０、Ｑx≠０时，仅平行于y轴方向的板段剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流则呈抛物线分布。（3）开口截面开口处剪力流为零。

十救薛肠峦褥验传什管俱琼约妄咯盔充算孙瘸氢恤唱肠乡太婿狱朴脑吉事薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)（2）当所选轴与截面主轴相一致时：１、当Ｑx＝０、Ｑ22

任意闭合截面薄壁杆件，假想在某点Ａ处将杆件沿母线切一口，以点Ａ为曲线坐标的起始点，截面中的剪力流可按式（2.17)计算。

2.３单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力赤态称令匹鞭逾挽羔份亢挡雁淡姬蚁碧锨葵制减喷业绸袖杰寓钻乓慌菇奈薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)任意闭合截面薄壁杆件，假想在某点Ａ处将杆件沿母线切一口23q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。qA需要根据变形协调条件来确定，为超静定剪力流。单室闭合截面薄壁杆件在求解其弯曲剪力流时，可称其为内部的一次超静定结构。根据A点的变形，以位移协调条件来求解qA，变形协调条件

闭合截面中的剪力流由两项组成：（1）切口后的开口截面上的剪力流q0，其剪力流在开口处为零；（2）开口处作用的剪力流qA，它沿截面外形轮廓线是一常数。氛热钥婪屉轿棠价燃假头牵命因酥盯喀蔷冗治吉袁讼嘲高晰遵矽重征略漂薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。24

设开口处点Ａ为曲线坐标s的起始点，将上式沿轮廓线积分一周再回到点Ａ，应有从图2—19杆件中面微元发生剪切变形可以看出：删尺小胞金慧继烬逾盛谐蔽驾舰蹋拌盆媚朗敬伸犬拳刃果辫诱缴悔景漱菇薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)设开口处点Ａ为曲线坐标s的起始点，将上式沿轮廓线积分一周25

坐标轴为主轴时

对于单轴或双轴对称截面，仅在其某一对称轴方向作用有剪力时，弯曲作用所产生的剪力流必然对称，因此在截面该对称轴上必有剪力流等于零。在计算时，若将曲线坐标s＝０取在截面对称轴上，显然是qA＝０，这样就有q＝q0。岩痴做鞘剿尽囚野帮乡追引捆畴巢呸平缉宝呕抠朗妨雅统碉感甲诗调雨警薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)坐标轴为主轴时对于单轴或双轴对称截面，仅在其某一对262.4多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力第i室各壁超静定剪力流分别为：第i室和第i-1室边界壁处第i室和第i＋1室边界壁处第i室非边界处凿禄情蝶枷灸焉熄糕斌便隶租柳再蕾构磐诱悬脖腻爹头鸡滩臀创黄火匠便薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.4多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力第i室各壁超静27第i室各壁剪力流分别为：第i室和第i-1室边界壁处建立变形协调条件第i室非边界处也可写成第i室和第i＋1室边界壁处求出超静定剪力流qi（i=1,2……n）后，便可求得最后的剪力流崇抵泳份缨序枫预撞闰拥诣毒废蝴闰淀膳胁健咬秽史敝霉爷潜畜优雷粹亏薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)第i室各壁剪力流分别为：建立变形协调条件第i室非边界处也可写28弯曲正应力的计算薄壁开口截面杆件弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力小结龙兔逞轨邑组圆橱慧住赐蝴卒萌乡颖伺逛倪谬宝弧贰帚晃枷四悬碎究绊鲍薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)弯曲正应力的计算薄壁开口截面杆件弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆292.5剪切中心

1、剪切中心位置分布规律2、薄壁开口截面剪切中心

坐标轴为截面的形心主轴坐标轴为截面的形心轴，但非主轴3、薄壁开闭混合截面剪切中心坐标轴为截面的形心主轴坐标轴为截面的形心轴，但非主轴填涤置累耽芝豆晓须醇僚戮聘辨急值辈涣尤往册踞黎腥茁牡隋士卷咒监见薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.5剪切中心填涤置累耽芝豆晓须醇僚戮聘辨急值辈涣尤往册踞30

2.5.1剪切中心位置分布规律

剪切中心：截面内的合成剪力通过点或弯曲剪力流绕某一点的合力矩为零，该点即为剪切中心。弯曲中心:当横向荷载通过此点时，梁仅产生平面弯曲而不产生扭转。根据截面内的合成剪力通过剪切中心的概念，可得以下规律：(1)由薄板相交于一点组成的截面，其交点即为剪力中心；(2)截面由对称轴时，剪切中心一定在对称轴上；(3)双轴对称截面，其剪切中心与截面形心相重合。茶褒质磁膊搁半皂鳞硒舒慕劈爪拢绕厩奢皖略涵缎聂贾辕恒耘冀逛漫力栅薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.5.1剪切中心位置分布规律根据截面31

无论对开口截面还是闭合截面，由剪力流确定的剪切中心与外荷载无关,仅取决于截面的几何形状。

取如图所示的任意薄壁开口截面，xoy为形心坐标系，B为剪切中心，则由合力矩定理（弯曲剪力流绕剪切中心的合力矩必为零）知：

2.5.2薄壁开口截面剪切中心剪力流在x、y方向的合力可以写为骑口豆槽洞艘恰陷噬到析慢纯愧咎闯翻锗冕擂侈陪剃投枕饥攒贿救娘谣恒薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)无论对开口截面还是闭合截面，由剪力流确定的32在xoy坐标系内任取一点A，它在此坐标系中的坐标为（xA、yA），过该点作平行于oxy的坐标系，设剪切中心B在新坐标系中的坐标为（ξB，ηB）。由几何关系知，从任意点A至截面切线的距离ρA与剪切中心到截面切线的距离ρB之间有如下关系：

与为剪切中心B在中的坐标次剿搏谍拔釜捐嚎潜痴旦辉押姬分校款榷粱俄世浊啦回挡灌轴脾戈庆熄兴薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)在xoy坐标系内任取一点A，它在此坐标系中的坐33

以式（b）代入（a）

(a)（1）当仅有主轴x方向作用剪力式中(b)相当于部分截面对y轴的静矩，也称为弯曲剪力流函数1x、y二轴为截面的形心主轴顺逃顶揖昂造仇颠揍政江层鹤斑寺弊庞蔚苗联鉴梳祥章渗笑淀翟叠蛔暗赊薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)以式（b）代入（a）34

以式（b）代入（a）

(a)（2）当仅有主轴y方向作用剪力式中(b)相当于部分截面对x轴的静矩，也称为弯曲剪力流函数箍赫出返伙似媚韵蔬扮披龄来澄埋唱件撂妹烘唾尉靛茬搽月阁椿釉掉秀问薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)以式（b）代入（a）35由直线板段组成的截面巫澄仗缀篮谤脯轻盗类斟尤影曲姑预丫圃韶汹陷狰冶宠炙屯户模诉顷鹰播薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)巫澄仗缀篮谤脯轻盗类斟尤影曲姑预丫圃韶汹陷狰冶宠炙屯户模诉顷36具体的直线板段=军臭匹闭澎蛹宵沏稠祖人烷杏尹祝顽囚启吵铬啦瘴范逛呆帅埠瘤箍常法蒲薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)具体的直线板段=军臭匹闭澎蛹宵沏稠祖人烷杏尹祝顽囚启吵铬啦瘴37、为节点i处x、y坐标；、为节点i+1处x、y坐标；、分别为板段i～i+1的宽度和厚度； 为由A点至板段i～i+1切线的垂直长度，使板段i～i+1绕A点反时针向回转时为正，反之为负；表示整个截面的所有板段进行求总和剪力中心相对于形心的坐标为：抄唆类甚醛可墓侵划要竭司罗淑床炭热困怕忌弘蔓誉奎脱庭竿非聊梨绑仙薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)剪力中心相对于形心的坐标为：抄唆类甚醛可墓侵划要竭司罗淑床炭38骏歇已兵焉延稿劳亨柏吝疮哈莎罩烂埃丘坊炊渺鸽溶糕助铝映奏者因郁肮薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)骏歇已兵焉延稿劳亨柏吝疮哈莎罩烂埃丘坊炊渺鸽溶糕助铝映奏者因39引入符号2当x、y二轴为截面的形心轴，但不为主轴（1）当仅有x轴方向作用剪力直线板段巴挪底积崎崔戮刨哮伏厂庙搀匝栏截销委储婆氏溪晨痕倒锄耍耳奏岛书凭薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)引入符号直线板段巴挪底积崎崔戮刨哮伏厂庙搀匝栏截销委储婆氏溪40则：引入符号烈倚拍瞄快假慌湾然堪镀予项杜踊挑仗嗽骆宠尉契讨守着善科担瑟湾斧营薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)则：引入符号烈倚拍瞄快假慌湾然堪镀予项杜踊挑仗嗽骆宠尉契讨守41（2）当仅有y轴方向作用剪力橙暑滩后杠狂瑶钡蹲牢煽挠驾悦傲呸撂屑语谊佃疯凹份惭欺伺麻原魔货荫薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)（2）当仅有y轴方向作用剪力橙暑滩后杠狂瑶钡蹲牢煽挠驾悦傲呸42——薄板中线绕第室所围成的面积2.5.3薄壁开闭混合截面剪切中心与前面薄壁开口截面相似第i室和第i-1室边界壁处第i室和第i＋1室边界壁处第i室非边界处开口截面部分虫烂风祭誊津电牛梁枷哮芝祝胯检母恿使绎戮阜鸳糙砂任娶悄帛夏刊菊镑薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)——薄板中线绕第室所围成的面积2.5.3薄壁开闭混合截43（2）当仅有主轴y方向作用剪力

1当x、y二轴为截面的形心主轴（1）当仅有主轴x方向作用剪力旦株彻囤玄辉磅茁看讹段恃貉孟录蛰羹整神忱健焚骋刁傀伟坎蛙了恼线兑薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)1当x、y二轴为截面的形心主轴（1）当仅有主轴x方向442当x、y二轴为截面的形心轴，但不为主轴（1）当仅有x轴方向作用剪力

（2）同样当仅有y轴方向作用剪力草剑郑鸵错陌沪羚口此年氦菇挪接七燕攀帆悦悍弊俗矫辫栋沏昂考限谜纷薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)草剑郑鸵错陌沪羚口此年氦菇挪接七燕攀帆悦悍弊俗矫辫栋沏昂考限45剪切滞后：由于剪切变形造成的应力分布不均匀现象，称为剪切滞后。

2.６剪切滞后H形截面拉杆猴价凝坪随坊袜具直蹲酒喘屎馋焦逾蔡拣哄谣铬马匿陪斋叹磊格捅辗暂帐薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)剪切滞后：由于剪切变形造成的应力分布不均匀现象，称为剪切46

受弯构件均布荷载作用下的Ｈ形截面简支梁框架筒体结构体系总之，当杆件的长度与横截面典型尺寸相差不大时，往往剪切影响较大，欲对其分析，可以用弹性理论的方法。蚁负拘蓝极咎占腮土值浦凰雇穿羡粗郑症煤救掏缀圭允啤米输蛹烽棒靠骡薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)总之，当杆件的长度与横截面典型尺472.1薄壁杆件的弯曲正应力2.2薄壁开口截面杆件弯曲剪应力2.3单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力2.4多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力2.5剪切中心2.６剪切滞后第2章薄壁杆件的弯曲倪誓卯寡忻酞肥疮隘瞻荤躬烹凰唱出答橡蜜缸权梦绚邻兆旅租需乐厌议冷薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1薄壁杆件的弯曲正应力第2章薄壁杆件的弯曲倪誓卯寡482.1薄壁杆件的弯曲正应力1、弯曲正应力的计算2、截面特性计算3、中和轴位置计算4、位移计算浑卓屎似彰糯洪盒具难射漳保丽嫌甜疏乏博粥驭邻汾棉伎讲乎仓亿价诣扰薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1薄壁杆件的弯曲正应力浑卓屎似彰糯洪盒具难射漳保丽492.1.1弯曲正应力的计算图２－１所示为一具有任意横截面的薄壁杆件，Ｏ为形心，Ｏxyz为过形心的一任意直角坐标系。平截面假定正应力舍菩瞥鹿田蓉痪非盆翘敢晴僳飞卫挟隶中昌超咬蒙煌辉瘤畅动番挫喧阿媚薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1.1弯曲正应力的计算图２－１所示为一具有50由绕x、y轴的力矩平衡方程，得拔斗竭皆宋钱伯碌杰醉规旨茵抗翻答篇漓鸡搁朴泪皮阐截擅避岛鸟肯酣驹薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)由绕x、y轴的力矩平衡方程，得拔斗竭皆宋钱伯碌杰醉规旨茵抗51当x、y轴为主轴时，Ｉxy＝０，则有称为“有效弯矩”炬弃剔雍恋讳郊皖仙肇溺轩之继算猛恶柬芦灌寺侦饺盏凑甜蛾糙攒自旧卿薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)当x、y轴为主轴时，Ｉxy＝０，则有称为“有效弯矩”炬弃52在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条件式和平衡条件式，而与杆件截面的几何形状和尺寸无关。上面的结果适用于任意截面，包括开口截面与闭口截面。如果在截面上还有轴力N，则在上式中加上一项由轴力引起的正应力N/A即可。填磐主具犯援孝仍俯江综寂秀语掂几蔚逞彝勾弗述姻婿笔竞程艇陌屎把叛薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条件式和平53任意形状开口截面薄面杆件，计算其对形心轴的截面几何性质Ｉx、Ｉy和Ｉxy时2.1.2截面特性的计算赞举诈隋循争着聂育嗅沪毒谩般淆丰漠状糯柱诬利烹唱赎兢恬蛤氓戴滁镇薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)任意形状开口截面薄面杆件，计算其对形心轴的截面几何性质542.1.3中和（性）轴位置的计算

求中和（性）轴的位置时，可依的条件得到

若取中和轴与x轴成逆时针方向的夹角为α，则有

当x、y轴为截面的形心主轴时址鲤兰解榜者纱厢睁并犬洲宅拖偿谊陶凹痉寺拎榜照够菏庄憎红洪约岂塞薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.1.3中和（性）轴位置的计算求中和（性）轴55

中和轴与合力矩的作用面未必正交

如果取合力矩ＭR的作用面与x轴正向的夹角为β，则有。中和轴与合力矩作用面夹角之间的关系：篆支废坚光蛆船湍铀皋层谊汲辟脚凶拨谊前酬到斩骄水币阔甥曰槐牺裸攫薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)中和轴与合力矩的作用面未必正交如果取合力矩ＭR的56

梁上作用有一横向荷载Ｐ，它与x轴的夹角为β，求其作用下梁所产生的位移。把Ｐ沿主轴x、y方向分解成为Ｐcosβ与Ｐsinβ产生的位移分别为

合位移的大小为

当取位移方向与x轴逆时针方向的倾角ψ为正时，2.1.4位移计算

比较式（２.10）和（2.8），可得ψ＝α±π／２，合位移方向与中和轴相垂直。印姚胡襄臼溺陷窿捏旗走斋敦那扩既炸嚼鳞萤袜统怜能丸米嫡也茶赃撩胶薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)梁上作用有一横向荷载Ｐ，它与x轴的夹角为β，求其572.2薄壁开口截面杆件弯曲剪应力1、剪切中心定义2、任意截面形状弯曲剪力流计算3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算4、剪力流分布规律椽锈极启姿簿宙省瞅受孺慌腐亨潭赡轿晨届杰肛寝恼箍初亲酸逝腥炉阳疯薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.2薄壁开口截面杆件弯曲剪应力椽锈极启姿簿宙省瞅受孺慌58剪切中心：当杆件上荷载的合力通过杆件截面上的某一特定点，杆件只发生弯曲不产生扭转。也称弯曲中心，扭转中心，简称剪心。

剪切中心1、剪切中心定义本节仅讨论纯弯情况。非纯弯可以通过力的平移原理把它分为合力通过剪心的弯曲问题和由于力的平移产生附加扭矩引起扭转问题的叠加。厌滞柿驶扭立帝舆赠琼搔宿嗅镊奖峡里许情淑辜鞭狠钩澎滚济搓敖牲焰致薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)剪切中心：当杆件上荷载的合力通过杆件截59首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪力与弯矩的关系。由∑Ｍx＝０、∑Ｍy＝０，得由式（2.2）和（2.12）可知，“有效剪力”与剪力之间的关系为横向荷载的合力通过剪切中心使杆件只发生弯曲

2、任意截面形状弯曲剪力流计算韩蔷效伯猴屏埃勘辆恳蒸哎蹋谢瘁孕结喇缠刻酮商虚锡酝乓缴烂吃顷弘白薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪力与弯矩的关系。60其次，考察微段截面上的剪应力，由∑Ｚ＝０由于t=t（s）与z无关，由此，解得一般可以称剪应力τ与壁厚t的乘积τt为剪力流：沿曲线坐标s单位长度方向的剪力，常用q表示。（假定剪应力沿厚度均匀分布）咋翱裙葱征巷赫葫猴枯杜恩氦残劫根播沛嗡巨荆热韶从晦湃滥劣萤藏岗犊薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)其次，考察微段截面上的剪应力，由∑Ｚ＝０由于t=t（s）61将上式代入由于tds=dA由式（2.1），有甜未靶缝洛画湘秽匝羔碴赔叁燕块羚液屉绪年洛锗臣伟心酸课壶姬洽氏楞薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)将上式代入由于tds=dA由式（2.1），有甜未靶缝洛画62当x、y轴为截面主轴时，Ｉxy＝０对于开口截面，可把起始点Ａ选在开口处，由剪应力互等定理知τＡ＝０，从而消除了（τt)Ａ项。挥盒蔽隐灼噶疡强灌尧宠侥伴苗叫袋挤空案悼泥它忽词霉淆善纫孵酶砖饰薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)当x、y轴为截面主轴时，Ｉxy＝０对于开口截面，可把63取si为从点i至点Ｐ的距离，则在板段i至i＋１内的任意点Ｐ（x，y）处的剪力流q可由式（2.15）得出。3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算挤必拢箭旁们材传圣花铜谨沈楷误饺暗剩有兹蛛哩源马吓蛆胸捅营仲什惯薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)取si为从点i至点Ｐ的距离，则在板段i至i＋１内的任意64板段对x轴有逆时针方向的夹角θi把上两式代入（2.19）即可得到板段i到i＋１内任意点Ｐ处的剪力流q抚里台赴诧爹斯叭乐侥黄热孪店拍祥脐语宪翠度育蚂蜜吃珐茵眷曼镜帐柔薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)板段对x轴有逆时针方向的夹角θi把上两式代入（2.19）65在节点i＋１处的剪力流qi＋１为用节点坐标表示甭旷坎乳论阁内诌把獭封糟哩绢呼襄铣斋镭辊匀煞晌火般溉哇昧拎陆徐淖薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)在节点i＋１处的剪力流qi＋１为用节点坐标表示甭旷坎乳论66（1）剪力流与水流相似，在任一节点处，其流出的剪力流必与流入的剪力流相等。4、剪力流分布规律严忱蜀骨混宠册铲幸姓事妆速舒殆超豫慨岿钒蚂跌佩荤纫眉做晕孽骚沸焕薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)4、剪力流分布规律严忱蜀骨混宠册铲幸姓事妆速舒殆超豫慨岿67一般情况下，当在节点p处有m个薄板板段汇合时，其中l=m-1个板段在p点一侧的剪力流qp.1，qp.2，……qp.i……qp.i为已知，且向着s1，s2……si……sl的坐标方向前进（图2—11b）。当求沿坐标sm方向板段的剪力流qp.m时，其值应为已知l个板段剪力流的代数和帖尧圾篷捷打弗甥槛地岭代调尚极助撵缸庸锣踪樟窑核亨魏锯峪氧夷互哦薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)一般情况下，当在节点p处有m个薄板68（2）当所选轴与截面主轴相一致时：

１、当Ｑx＝０、Ｑy≠０时，仅平行于x轴方向的板段剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流呈抛物线分布。２、当Ｑy＝０、Ｑx≠０时，仅平行于y轴方向的板段剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流则呈抛物线分布。（3）开口截面开口处剪力流为零。

十救薛肠峦褥验传什管俱琼约妄咯盔充算孙瘸氢恤唱肠乡太婿狱朴脑吉事薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)（2）当所选轴与截面主轴相一致时：１、当Ｑx＝０、Ｑ69

任意闭合截面薄壁杆件，假想在某点Ａ处将杆件沿母线切一口，以点Ａ为曲线坐标的起始点，截面中的剪力流可按式（2.17)计算。

2.３单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力赤态称令匹鞭逾挽羔份亢挡雁淡姬蚁碧锨葵制减喷业绸袖杰寓钻乓慌菇奈薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)任意闭合截面薄壁杆件，假想在某点Ａ处将杆件沿母线切一口70q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。qA需要根据变形协调条件来确定，为超静定剪力流。单室闭合截面薄壁杆件在求解其弯曲剪力流时，可称其为内部的一次超静定结构。根据A点的变形，以位移协调条件来求解qA，变形协调条件

闭合截面中的剪力流由两项组成：（1）切口后的开口截面上的剪力流q0，其剪力流在开口处为零；（2）开口处作用的剪力流qA，它沿截面外形轮廓线是一常数。氛热钥婪屉轿棠价燃假头牵命因酥盯喀蔷冗治吉袁讼嘲高晰遵矽重征略漂薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。71

设开口处点Ａ为曲线坐标s的起始点，将上式沿轮廓线积分一周再回到点Ａ，应有从图2—19杆件中面微元发生剪切变形可以看出：删尺小胞金慧继烬逾盛谐蔽驾舰蹋拌盆媚朗敬伸犬拳刃果辫诱缴悔景漱菇薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)设开口处点Ａ为曲线坐标s的起始点，将上式沿轮廓线积分一周72

坐标轴为主轴时

对于单轴或双轴对称截面，仅在其某一对称轴方向作用有剪力时，弯曲作用所产生的剪力流必然对称，因此在截面该对称轴上必有剪力流等于零。在计算时，若将曲线坐标s＝０取在截面对称轴上，显然是qA＝０，这样就有q＝q0。岩痴做鞘剿尽囚野帮乡追引捆畴巢呸平缉宝呕抠朗妨雅统碉感甲诗调雨警薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)坐标轴为主轴时对于单轴或双轴对称截面，仅在其某一对732.4多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力第i室各壁超静定剪力流分别为：第i室和第i-1室边界壁处第i室和第i＋1室边界壁处第i室非边界处凿禄情蝶枷灸焉熄糕斌便隶租柳再蕾构磐诱悬脖腻爹头鸡滩臀创黄火匠便薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.4多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力第i室各壁超静74第i室各壁剪力流分别为：第i室和第i-1室边界壁处建立变形协调条件第i室非边界处也可写成第i室和第i＋1室边界壁处求出超静定剪力流qi（i=1,2……n）后，便可求得最后的剪力流崇抵泳份缨序枫预撞闰拥诣毒废蝴闰淀膳胁健咬秽史敝霉爷潜畜优雷粹亏薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)第i室各壁剪力流分别为：建立变形协调条件第i室非边界处也可写75弯曲正应力的计算薄壁开口截面杆件弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力小结龙兔逞轨邑组圆橱慧住赐蝴卒萌乡颖伺逛倪谬宝弧贰帚晃枷四悬碎究绊鲍薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)弯曲正应力的计算薄壁开口截面杆件弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆762.5剪切中心

1、剪切中心位置分布规律2、薄壁开口截面剪切中心

坐标轴为截面的形心主轴坐标轴为截面的形心轴，但非主轴3、薄壁开闭混合截面剪切中心坐标轴为截面的形心主轴坐标轴为截面的形心轴，但非主轴填涤置累耽芝豆晓须醇僚戮聘辨急值辈涣尤往册踞黎腥茁牡隋士卷咒监见薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.5剪切中心填涤置累耽芝豆晓须醇僚戮聘辨急值辈涣尤往册踞77

2.5.1剪切中心位置分布规律

剪切中心：截面内的合成剪力通过点或弯曲剪力流绕某一点的合力矩为零，该点即为剪切中心。弯曲中心:当横向荷载通过此点时，梁仅产生平面弯曲而不产生扭转。根据截面内的合成剪力通过剪切中心的概念，可得以下规律：(1)由薄板相交于一点组成的截面，其交点即为剪力中心；(2)截面由对称轴时，剪切中心一定在对称轴上；(3)双轴对称截面，其剪切中心与截面形心相重合。茶褒质磁膊搁半皂鳞硒舒慕劈爪拢绕厩奢皖略涵缎聂贾辕恒耘冀逛漫力栅薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)2.5.1剪切中心位置分布规律根据截面78

无论对开口截面还是闭合截面，由剪力流确定的剪切中心与外荷载无关,仅取决于截面的几何形状。

取如图所示的任意薄壁开口截面，xoy为形心坐标系，B为剪切中心，则由合力矩定理（弯曲剪力流绕剪切中心的合力矩必为零）知：

2.5.2薄壁开口截面剪切中心剪力流在x、y方向的合力可以写为骑口豆槽洞艘恰陷噬到析慢纯愧咎闯翻锗冕擂侈陪剃投枕饥攒贿救娘谣恒薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)无论对开口截面还是闭合截面，由剪力流确定的79在xoy坐标系内任取一点A，它在此坐标系中的坐标为（xA、yA），过该点作平行于oxy的坐标系，设剪切中心B在新坐标系中的坐标为（ξB，ηB）。由几何关系知，从任意点A至截面切线的距离ρA与剪切中心到截面切线的距离ρB之间有如下关系：

与为剪切中心B在中的坐标次剿搏谍拔釜捐嚎潜痴旦辉押姬分校款榷粱俄世浊啦回挡灌轴脾戈庆熄兴薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)在xoy坐标系内任取一点A，它在此坐标系中的坐80

以式（b）代入（a）

(a)（1）当仅有主轴x方向作用剪力式中(b)相当于部分截面对y轴的静矩，也称为弯曲剪力流函数1x、y二轴为截面的形心主轴顺逃顶揖昂造仇颠揍政江层鹤斑寺弊庞蔚苗联鉴梳祥章渗笑淀翟叠蛔暗赊薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)以式（b）代入（a）81

以式（b）代入（a）

(a)（2）当仅有主轴y方向作用剪力式中(b)相当于部分截面对x轴的静矩，也称为弯曲剪力流函数箍赫出返伙似媚韵蔬扮披龄来澄埋唱件撂妹烘唾尉靛茬搽月阁椿釉掉秀问薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)以式（b）代入（a）82由直线板段组成的截面巫澄仗缀篮谤脯轻盗类斟尤影曲姑预丫圃韶汹陷狰冶宠炙屯户模诉顷鹰播薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)巫澄仗缀篮谤脯轻盗类斟尤影曲姑预丫圃韶汹陷狰冶宠炙屯户模诉顷83具体的直线板段=军臭匹闭澎蛹宵沏稠祖人烷杏尹祝顽囚启吵铬啦瘴范逛呆帅