2016yjs专题函数极值及优化问题

函数极值的数值求43210 x

f(x)

f(

f(x)0→x0

fxx0

fxx0教科书极值确定法应用时遇到两大：

fx)0只有处理极小值的指令。小

的极大值问题等价 的[x,fval,exitflag]=[x,fval,exitflag]=可用于求解任意无约束优化问题的最求一元函数在区间(x1,x2)中极小值单纯形法求多元函数极值梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。知识:单纯形法单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，由数学家G.B.于nRn〖说明第一输fun是待解目标函数，该目标函数可以采用字符串、内联对象、函数和M函数文件的函数句柄等不同形式表达。fminsearch被优化目标函数fun中的多元自变量应采用单一变量名的向量形式表达（见例4.1-8）。fminbnd的第二、三个输入量x1,x2分别表示被研究区间的左、右边界。输出量x,fval分别是极值点和相应的目标函数极值。fminsearch的第二个输入宗量x0可以是一个搜索起点的向量或一组搜索起点的矩阵。当采用单个搜索起点时，输出量x也是一个单点（向量）。当采用多个搜索起点（矩阵）时，输出量x就给出多个索到的候选极值点按目标函数值递增次序排列。极值点x(:,1)对应的目标函数极小值由fval给出。输入量options用于配置优化参数。在没有特殊需求情况下，一般输出量exitflag若给出大于0的数，说明成功搜索到极值点输出量output给出具体的优化算法和迭代次数注意：7.x版“泛函”指令不能通过输入量传递优化函数中的参数 1：求函数y=x^2+4*x+5的最小值(已知最优x*=2,最小值1)f1=@(x)x^2+4*x+5[x,fVal,exitflag]=fminunc(f1,2)f1=警告Gradientmustbeprovidedfortrust-regionalgorithm;usingline-searchalgorithminstead.[>InfminuncatLocalminimumOptimizationcompletedbecausethesizeofthegradientislessthanthedefaultvalueofthefunctiontolerance.xfVal1exitflag=例2：多变量：求f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的最f2=@(x)exp(2*x(1))*(x(1)+x(2)^2+2*x(2));[x,fVal,exitflag]=fminunc(f2,[2,1])警告Gradientmustbeprovidedfortrust-regionalgorithm;usingline-searchalgorithminstead.[>InfminuncatLocalminimumOptimizationcompletedbecausethesizeofthegradientislessthanthedefaultvalueofthefunctiontolerance.x fValexitflag=【例4.1-7【例4.1-7】已区间，求函数的最小值本例演示：符号计算求极值的局限性；fminbnd求极小值的局限性；求最小值时，0 用“导数为零”法求极值symsgrid yd_xs0=vpa(subs(yd,x,xs0),6)% xs0 yd_xs0=y_xs0exp(-x/10)sin(x)2-(sin(x)(x+exp(-x/10)sin(x)2-(sin(x)(x+0 x %xc0fc0exitflag=outputiterations:funcCount:algorithm'goldensectionsearchparabolicinterpolation'message:'优化已终止:当前的x满足使用1.000000e-04的OPTIONS.TolX的终'（3）据图形观察，重设fminbnd的搜索xx=[-23,-20,-18]; fork=1:2%iffw<fcfprintf(%6.5fx=%6.5f函数最小值-3.34765发生在x=-19.607214.1-8】

的极小值点。它是著名的Rosenbrock's"Banana"测试函数，它的理论极小值。双双变Rosenbrock在数学优化中，Rosenbrock函数凸函数，由HowardHarryosenbrok在1960年提出[1]。也称为Rosenbrock山谷或Rosenbrock香蕉函数，也简称为香蕉函数。RosenbrockRosenbrock 知：Rosenbrock函数函數本例演示：二元函数极值点的求取；多搜索起点symsxz=100*(y-x^2)^2+(1-z(x-1)^2+100*(-x^2+Rosenbrock函数的三维图形,Rosenbrock函数的等高线图,holdonplot(-1.2,2,'o332start10012（1）本例采用函数表示测试函数如ff=@(x)(100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-ff注意：在编写目标函数时，自变量不是采用xy表示，而是采用一个名为x的用单纯形法求极小值x0=[-5,-2,2,5;-5,-2,2,5];%4%sx给出一组使优化函数值非减的局部极小sxsfval[x,fVal,exitflag]=警告Gradientmustbeprovidedfortrust-regionalgorithm;usingline-searchalgorithminstead.[>InfminuncatLocalminimumOptimizationcompletedbecausethesizeofthegradientislessthanthedefaultvalueofthefunctiontolerance.xfValexitflag1检查目标函数formatshorte [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2fminunc[x,fval,exitflag,output]=fminunc(f,[-1.2粒子群算法的实y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在[0,4]当x=0.9350-0.9450，达到最大值y=1.3706。为了得到该函数的最大值，直到最后在y=1.3706这个点停止自己的更新。这个过程与粒子群算法这两个点就是粒子群算法中的粒子该函数的最大值就是鸟群中的食第一次更新位第二次更新位21次更最后的结果（30次迭代最后所有的点都集中在最大值的地方求下列函数最小xk1

x2x

functionF=fitness(x)for vkvk1wvkcrandk(Pbestkxk)crandk(Gbestkxk 1 22 xk1v 给定初始化条 c1学习因子c2学习因子w惯性权M最大迭代次%D搜索空间维数（未知数个数%%N初始化群 数%------初始化种群 (可以在这里限定位置和速度的范围)---formatlong;fori=1:N for x(i,j)=randn;随机初始化位 v(i,j)=randn;随机初始化速 %------先计算各个粒子的适应度，并初始化PiPgfor fori=1:(N-1) iffitness(x(i,:))< %------进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求for for %更新速度、位 x(i,:))+c2*rand*(pg- iffit