人教版A高中数学必修第一册5.5.2 简单的三角恒等变换 教学设计

第五章

三角函数单三恒变本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版节简单的三角恒等变换于授本节的内容是简单的角恒等变,要内容是利用已有的十一个公式进行简的恒等变换,以及三角恒变换在数学中的应用本节的内容都是例题来展现通过例题的解答,导学生对变换对象和变换目标进行对比促使学生形成对解题过程中如何选择公,何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元使用公式等属性思想方法的认,从而加深理解变换思想,高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标

学科素养二角公式出半角公体会其中的a.数学抽象公式的应用;三角恒等变换的基本思想方法,及进行简单逻辑推:公式之间的联系;的应用、

c.学运算运用公式求;了解三角恒等变的特点换技掌握d.观想象:式的灵活运;三角恒等变换的基本思想方法能利用三角恒e.数学建模运用三角公式解决实际问;等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用、知之间的在联,培养学生的思考归纳能力提高其思维灵活.教学重点体会其中的三角恒等变换的基本思想方以及进行简单的应用、教学难点了解三角恒等变换的特点、变换技,掌三角恒等变换的基本思想方能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用、多媒体

22=,2222=,222=教学过程（一）创设问题情境提问学习了和（差）角式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路方法更加丰富、

设计意图核心教学素养目标通过开门见山,提出问题,利用三角解决证明例试表

2

2

2

2

2

2

问题,培养和发解是的二倍角、在倍角公𝑐𝑜𝑠22中以代替以代22替,得2

展数学抽象、直观想象的核心素养。所以𝑛

2

22

①在倍角公式𝑜𝑠2𝛼2中以代替以代替2得2②所以=22将①②两个等式的左右两边分别相得

2

𝑠2

.

通过对三角例结果还可以表示为公式的灵活运αsin＝

－cosαcos＝_____±2

＋cosα＝±

－cosα＋cosα

用,发展学生,直观想象、数学抽α并称为半角公式,号由所的象限决定。归总因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差而还会存在所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差所以进行三角恒变换时,常常要先寻找式所包含的各个角之间的联并以此为依据选择适当的公式、这是三角恒等变换的一个重要特点、例８求证:（1）𝛼)(𝛼2

象、数学运算等核心素养

1𝑖）((𝑖

通过对典型这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不证明:（１）因为(=𝑠𝑖(=𝑖𝑠𝑛将以上两式的左右两边分别相得((

①

问题的分析解决,发展学生数学建模、逻辑推理,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素;即𝑐

1

𝛼𝛼]（2由1）可得(𝛼(,.设把,代入,即得𝑛

如果不用（１）的结如何证归纳总结例８的证明用到了换元的方法看θ,看,而把包含,𝛽的角函数式转化为的角函数式、或,看作,cos看,把等式看作,的方,原问题转化为解方程（组）求它们都体现了化归思想、例９求下函数的周期,大值和最小值（１）;

（２）𝑦、分析:便于求周期和最大值、最小的三角函数式利用和角公式将其展开,可化为）的形式、反之,用和（差）角公可将𝑖转为𝑖的式进而就可以求得其周期和最值了、解（1）𝑖3=（𝑖

）=2𝑥

𝜋𝜋𝜋

因此,所求周期为2,大值为,最小值为－２、你能说说①这一步变形的理由（２）𝑛(𝑥,则𝑥=𝑠𝑠

22于是𝑐、𝑠22于是

2

2

𝑛

2

所以取A,则𝑖、由𝑛(𝑥可知,所求周期为2最大值为最值为5例10如图已知是径为１圆心角为的扇,扇形弧上2的动点ABCD是形的内接矩形、记COP＝求当角α取值时矩形ABCD的积最大?并出这个最大面积、分析:要求当角值,矩形ABCD的积最可二步进.①找出S与的函数;②由得出的函数关系,求的大值解:Rt,OB

,BCsin

.在Rt中,

DA

tan60

,所以,

3BC3

,所以,

ABOA

.设矩形积为BC

cos

13sin(1cos

22422331313cos322

)

.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范:由

0

3

得

6

6

56

所以当

6

2

即

6

时

33.6因此,当

6

时,矩ABCD的面积最,最面积为

36

注（1）在求解最大值时,要特别注意“

0

3

”这一隐含条件;（2应用问题转化为数学问,后要回归到实际问通过三角变换把形如yasin+的数转化为形如yAsin(函数,从而使问题得到简化化思想三、当堂达标、若α＝α∈0,则cos的为)

通过练习巩固本A

630B－D－6

节所学知识,

巩απαα【解析】由意知∈，∴cos＝【答案】

＋cosα＝.

固对三角公式运用,增强学生的直观想象、数学α、已知α＝α，π,则等于(

)

抽象学算、A

B－D、55

逻辑推理的核心素养。α3αα【解析】由知∈ππ∴sin＝

－α＝5【答案】A、已知α－cosα＝,则sinα的等于)A

79B－C、－D、1616【解析】由sinα－cos＝sin－α)α＝所以sin2＝－.

＝－αα1sin

＝θ2444＝θ24444、函数y＝

sinx＋cos2

x最小正周期、【解析】∵y＝

sinx＋cosx＝sinx＋2＋＝sin2

π12＋＋,2π∴函数的最小正周期＝＝π.【答案】πθ、求证:4sin2＝＋.θ【证明】法:左边＝2sinθ2＝2sin(＋cos)＝θ＋2sincos＝＋sinθ＝右边,所以原式成立、法二:右边＝＋θcosθ＝2sinθ(＋cos)＝θ·2cos

θθ

＝左边所以原式成立、、如图所示,要把半径为的圆形木料截成长方形,应怎样截取才使△OAB的长最大【精彩点拨】

设∠＝→建周长lα

→求的最大值【解答】设＝eq\o\ac(△,,)OAB的长为l则Rα,OBα,∴l＝OAAB＋OB＝＋α＋Rαπ＝R(＋cos)＋R＝sinα＋R.πππ3π∵0<<∴<＋<ππ∴l的大值为2R＋＝(＋R此时α＋＝,＝π即当＝时eq\o\ac(△,,)OAB的周长最大、四、小结、识如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性

学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思想方法。

以及诱导公式、同角三角函数基本关系、(差)角公式的综合应,是函数思想的具体体现.如何科学的把实问题转化成数学问题,何选择自变量建立数学关系;求解三角函数在一区间的最值问