空间向量的数量积运算教学设计

《空间向的数量积运》教学设计与思一、教学容解析向量是一种重要的数学工具，是沟通代数（数）和几何（形）的桥梁空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.对实数的研究经验告诉我们要引进一种新的数研究关于它的运算；引进一种新的运算要研究相应的运算律空间向量的数量积运算人教社A版数学《选修2-1》继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式深刻理解空间向量的数量积运算本质逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终数学运算素养逻辑推理素养尤为凸显因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程是一次知识方法、思想、素养的融会贯通之旅。二、教学目设置根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算2.经历例12的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值基本掌握用数量积处理空间中线线面垂直问题3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.三、学学情分析学生在经历空间向量的概念及线性运算之后初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算明白了

“空间任意两个向量都是共面的在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上类比引入空间向量的夹角长度的概念和表示方法类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不这是学生在类比纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：重点通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值难点理解空间向量的投影以及数量积的分配律用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系将立体几何问题转化为向量计算问题深刻体“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷四、教学策略分析王家瑾教授提出的师生课堂互动模型，对教学的启示是在教学中教师、学生和教学内容之间必须建立联系成互动达成协调才能共同达到最佳状态，取得满意的教学效果教师在教学中要加强与学生的互动以自己的积极性调动学生的积极性，让学生乐学、好学，乐探索，好表达；再让学生的积极状态感染自己，促进自己理解学生，调整教学思路，提高教学水平以及责任心和荣誉感。“学习金字塔”模型是师生课堂互动模型的一种有效补充。它很好地回答了应采用何种教

学手段达到教师学生和教学内容之间更好的联系互动与协调并对各种手段给出了一定的量化标准，更有利于教师对教学结果的控制。在这两个模型引领下强调以学定教学过程中充分发挥学生主体作用，践“学生先行交流呈现教师断后的教学理念突“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来课堂“活起来”.概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用五、教过程1．教学主为了实现教学目标本节课设置了一明一暗两条教学主线按教学环节推进设置“问题引入提出概念作探究辨析概念应用概念感运算”；归纳总结，作业巩固”四个板块，按知识能力方法的获得进程设置了“做类比、抓本质、悟方法、会应用”四个层次.2.程实录2.1问题引入，提出概念峰会向世界展示了杭州的无穷魅力些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直不要垂直？构成建筑的部件长度多少？彼此成多少角度比较合适等等。怎么样才能解决这些问题呢，必须要有强大的数学工具！问题在所学的数学工具中哪些可以用来研究垂直问题计算长度角度问题？问题在《必修》中已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在

解决垂直、长度、角度等问题中的应用。我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎么样的？【设计图空间向量的数量积运算不是凭空产生的引导学生在与平面向量的类比中验空间向量数量积运算存在的必然性而自然地引出学习内容同时激活学生已有学习经历和知识储备在例证中发现本质任意两个空间向量都是共面的以任意两个空间向量的数量积质上就是平面向量的数量积2.2合作探究，辨析概念小组合作，自主探究问题3请同学们四人1小组，借助小组的力量，对照表格中的信息，结合桌上的学习任务单，一起探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？【设计意】类比平面向量的数量积，暗示学生从定义、几何意义、运算律等方面学习空间向量的数量积学生自主探究空间向量的数量积运算提供方向选择.分组：4小组，确定1名组长.组长责组织讨论，记录、汇报讨论结果引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向.巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导.提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.【设计图】

充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学生“动起来让课堂“活起来”.

交流分享，辨析概念倾听不同小组代表的回答在与平面向量数量积类比过程中逐步归纳出空间向量的数量积定义、几何意义、运算律，并猜想：两者完全一样！在对话和碰撞中，逐步呈现“疑虑平面向量中的投影、分配律，在空间向量中仍然适用吗？（小组合作探究）空间向的投影回顾平面向量中投影的概念及作法温两种作法平移转化直接作垂线，为后续研究提供类比基础。问题类比平面向量投影的得到过程空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？【设计图】学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的内在联系领“空间任意两个向量都是共面的空间向量的投影可以转化为平面向量的投影同时还学会了空间向量投影的直观作法，体悟了数形结合的思想.空间向数量积运算分配律由于空间任意两个向量都是共面的以空间两个向量的数量积运算就是平面向量的数量积运算此平面向量数量积的许多运算律都适用于空间向量的数量积运算.是注意到a)问题5这三个向量一定共面吗？如果不是，这条运算律还成立吗？【设计图】引导学生学会观察分析能利用数学直觉和逻辑推理从数量积定义和投影概念出发，对分配律是否成立进行论证

追问：同学们能否借助投影来证明分配律？结合学习任务单，试作c,ca向上的投影【设计图】学生在理解了“空间向量的投影”的概念之后，对投影的认识有进一步提升的需要.另外，从定义出发论证分配也需要借助投影来实.比平面向量以几何体为背景的空间向量图示能直观呈现空间位置和向量投影达到“此时无声胜有声”的奇效，是本节课的一处亮点书本90思考题析问题：理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下书本90页思考题中的三个问题.【设计图通过回答表格的问题学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持.3.应用概念，感悟“运算”学习一个新的量就要研究它的运算究完运算就要研究相应的运算律；整个体系完善后，我们就要研究它的实际应用。例1.在平面内的一条直线果和这个平面的一条斜线

POA

l

的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.【设计图】将文字叙述转译为数学语言表达是例的难点将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算因此设置如下步骤来突破难点：第一步，用数学语言表示：已知：平面l在面，是线PA在射且lOA求PA第二步，构建“已知”与“求证”的关联，引导学生将问题转化为向量问题；第三步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算证明；第四步，根据计算结果解释几何结论（三垂线定理）第五步体验数量积运算的价值数量积运算可以刻画空间线线垂直的位置关系例如,n是面内两相交线如,n，证【设计图】例2现了数量积运算刻画空间线面垂直关系的价值.l

内任意一条直g

是关键，运用空间向量共面定理表示

是本题的难点通过设置问题串，引导学生思考求解策略；类比1，促使学生深刻体会数量积运在刻画空间垂直关系中的应用价值.为此设置问题串来破难点，并结合书本展示和课堂解析，请同学在课后将详细的推理过程完成在学习任务单上4.归纳总结，作业巩固4.1知识、方法、思想

.红色标注容为本节课未涉到的数量积运算相关应

4.2学习感悟没有运的向量只能到路标用，有了运的向量量无穷！4.3课后作业：必做作业：书本92:

练习1；书本99:B组第题；试证明三垂线定理的逆定理选做作业：请查阅资料，尝试发现空间向量的其他知识，进一步完善空间向量的认知体系

教学设计评从实际的教学反馈来看，本节课的总体架构是切实可行的，收效也非常好。本节课的亮点主要体现在以下三个方面：1.教学思路的独创性：教学设计中突出了“构建向量的代数系统”的思路，寻求达成“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷的共识，是本节课的第一大亮点.教学设计合理地解读了人教版教材的编写意图空间向量章节内容的教学提供了一个很好的范式本节课介绍了又一种新的空间向量运（数量积运算从定义、几何意义、运算律、应用等维度对这种运算进行研究。本节课的重心是数量积运算的认知以及价值体验的过程，而不是解题应用2.教学定位的适切性：教学重、难点的确定是否适切，直接影响教学是否有本节课的定位和预设，符合学生认知水平。高二学生在经历空间向量的概念及线性运算之后初步感受空间向量与平面向量之间的内在联系（空间任意两个向量必共面能体会运用类比的方法学习空间向量及其运算基于平面向量数量积的学习经验学生已经认识到平面向量数量积在判定垂直关系中的应用价值，这为研究空间位置关系提供了类比前提，自然地确定了教学重点—通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，并能利用数量积运算解决空间垂直问题空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类归纳中的一个难点，需要适时P铺垫引导，逐个突学过程中，充分利用直观的几何图示，帮助学生建立对空间向量投影和分配律的几何内涵的认知，这是本节课的又一亮点。

3.教学过程的探索性：师生课堂互动模型“学习金字塔模型引领奠定了以学定教的教学策略。教