抽象代数考卷

2008年抽象代数期末试卷(周振强)

说明：本试卷的R模，均指R是交换环的情况.

一、设:f:M ►N是R模同态，(16分)

.证明下述叙述等价：

f是单同态.

.对任意的R模K，以及R模g,h:K M，如果fg=fh，则有g=h.

.对偶地，证明下述叙述等价：

(a)f是满同态.

(b)对任意的R模K，以及R模g,h:N W，如果gf=hf，则有g=h.

.证明：若gf为满同态，则g是满同态；若gf为单同态，则f是单同态.

二、(18分)

.请叙述自由模的定义，并分别举出是自由模与非自由模之例.

.设M是主理想整环R上自由模，试问：向量空间中扩充基定理是否成立？即M的基是否可以由其子模的基扩充而得到？若结论成立，证明之，若不成立，请举反例.

⑶.证明：m是自稣-模的充要条件为m是其循环子模m的内直和,即M=*M，，并且每个子模Mj都同构于R.

三、设A，｛AJ臼是R一模，A是｛AJ臼的直和.(22分)

.试写出直和的范性定理并绘出交换图.

.试证明：对于范性图中的典范入射气，皆存在一个8产Hom(A,A)，使得

(a)g门=£，(b)g门=0,jOi，(c)Z门g=£.

iiAj ji ijA

.试问：直和A，是否满足直积的交换图，即对于直和的典范投射族｛七｝臼，任意的对象B及

一族同态｛巴七,

其中.6Hom(B,AJ，是否有下图可交换:

B ■*A

成立？若成立，不必给出证明，若不成立，请举出反例，反之，设A是直积，问其是否满足直和范性图的性质，若结论为真，亦不必证明，若不然，请举一反例说明之.

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四、 (22分)

.请叙述正合列的定义，举一短正合列之例.

.设顼:N M和g:M N是R一模同态，使得gf=8n.证明：f是单

同态，g是满同态，并且有M=Imf㊉kerg成立. "

.我们将满足(2)中条件的f称为可裂单同态，g称为可裂满同态，如果短正合列

0 ►M—M—M ►0

1 2

中f是可裂单同态，g是可裂满同态，则称此短正合列为分裂的.试证明：共变Hom(A,__)函子保持可裂正合列.

五、 (22分)

设fg是R一模，若M除了零模和本身之外没有其他的子模，则称M为单纯R一模.试证明：

.若f:A B是一个R模同态，则f不是零同态就是单同态.

.若g:B A是一个R模同态，则g不是零同态就是满同态.

.证明(Schur引理)EndRA=Hom^(A,A)是一个除环.

一、 (1)叙述Sylow的三个定理。

利用Sylow定理具体描述s。

3

二、 (1)叙述Zorn引理.

(2)利用Zorn引理证明命题：如果G是有限交换P群，则G是循环群的直和。

三、 (1)给出自由模的定义。

(2)找出一个自由模的例子。

(3)证明：如果V是自由模，则存在一个集合x以及集合的映射l:X—V,使得对任意R-模M以及集合的映射f:X—M，存在唯一的R-模同态，f::V—M，满足f=fl。

四、 (1)给出内射模的定义及可除模的定义。

（2） 给出Baer判别法。

（3） 给出内射模的两个等价刻画并加以证明。

（4） 证明：在主理想整环R上，内射模与可除模是一致的。

五、 记（吃七A为一族左R模。给出模族直积的泛性刻划，并以其证明（吃七A的积在同