1998年全国高考理科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)sin600º()(A)(B)－(C)(D)－(2)函数y=a|x|(a＞1)的图像是()(3)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()(A)x2＋(y＋2)2=4(B)x2＋(y－2)2=4(C)(x－2)2＋y2=4(D)(x＋2)2＋y2=4(4)两条直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是()(A)A1A2＋B1B2=0(B)A1A2－B1B2=0(C)(D)(5)函数f(x)=(x≠0)的反函数f－1(x)=()(A)x(x≠0)(B)(x≠0)(C)－x(x≠0)(D)－(x≠0)内α的取值是()(6)已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则在(A)((C)()∪()∪()(B)()∪())(D)()∪()(7)已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()(A)120º(B)150º(C)180º(D)240º(8)复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是()(A)i(B)－i(C)±i(D)±i(9)如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么()(A)2(B)S0=(C)2S0=S＋S′(D)(10)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是()(11)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有()(A)90种(B)180种(C)270种(D)540种(12)椭圆的()=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|(A)7倍(B)5倍(C)4倍(D)3倍(13)球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为()(A)4(B)2(C)2(D)(14)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为()(A)arccos(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin(15)在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是()(A)(1，＋∞)(B)(1，4)(C)(1，2)(D)(1，)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线离是_________的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f(x)=4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题:①由f(x1)=f(x2)=0可得x1－x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x－)；③y=f(x)的图像关于点(－，0)对称；④y=f(x)的图像关于直线x=－对称．其中正确的命题的序号是_______(注：把你认为正确的命题的序号都填上．)三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ＋sincosθ＋cos=2sincos，sinθ－sin=2cossin，=2coscos，cosθ－cos=－2sinsin.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=段C的方程．，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2⊥A1C，AA1=A1C．，且AA1Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；Ⅱ．求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；Ⅲ．求顶点C到侧面A1ABB1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．Ⅰ．写出曲线C1的方程；Ⅱ．证明曲线C与C1关于点A(，)对称；Ⅲ．如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=145．Ⅰ．求数列{bn}的通项bn；Ⅱ．设数列{an}的通项an=loga(1＋logabn+1的大小，并证明你的结论．)(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D2．B3．B4．A5．B6．B7．C8．D9．A10．B11．D12．A13．B14．B15．D二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．17．17918．ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等19．②，③三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式得2sin由A+B+C=π得sincos=2sinB.=cos，又A－C=得cos=sinB，所以cos=2sincos.因为0<<，cos≠0，所以sin从而cos=，=所以sinB=.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px（p>0），（xA≤x≤xB，y>0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|.所以M（由|AM|=，0），N（，0）.，|AN|=3得（xA+）2+2pxA=17，（xA－）2+2pxA=9.①②由①，②两式联立解得xA=.再将其代入①式并由p>0解得因为ΔAMN是锐角三角形，所以>xA，故舍去所以p=4，xA=1.由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4.综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）.依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=，由于ΔAMN为锐角三角形，故有xN=|ME|+|EN|=|ME|+=4xB=|BF|=|BN|=6.设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y>0｝.故曲线段C的方程为y2=8（x－2）（3≤x≤6，y>0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=y值最小.，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），得b=（0<a<30）.于是y==≥，当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=－10（舍去）.将a=6代入①式得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），即a+2b+ab=30（a>0，b>0）.因为所以a+2b≥2，+ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a>0，b>0，解得0<ab≤18.即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2=18.解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.因为AA1A1C，AA1=A1C，所以∠A1AD=45º为所求.Ⅱ．解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得ED∥BC.又D是AC的中点，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=故∠A1ED=60º为所求.，tg∠A1ED==.Ⅲ．解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC=∠A1ED=60º所以CH=BCsin60º=解法二：连结A1B.为所求.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h.由得，即所以为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C1的方程为y=（x－t）3－（x－t）+s.Ⅱ．证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）.设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有，.所以x1=t－x2，y1=s－y2.代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s－y2=（t－x2）3－（t－x2），即y2=（x2－t）3－（x2－t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上.反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.因此，曲线C与C1关于点A对称.Ⅲ．证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解.消去y，整理得3tx2－3t2x+（t3－t－s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.所以t≠0并且其根的判别式Δ=9t4－12t（t3－t－s）=0.即所以且t≠0.25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{bn}的公差为d，由题意得解得所以bn=3n－2.Ⅱ．由bn=3n－2，知Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+loga（1+）=loga[（1+1）（1+）……（1+）]，logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）……（1+）与的大小.取n=1有（1+1）>，取n=2有（1+1）（1+）>，……由此推测（1+1）（1+）……（1+）>①.若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a>1时，Sn>logba