大二课件-p矩阵概念引入

a11

x1

a

x

a

x

a

x

b1.

线性方程组

21

1

22

2

2

n

n

2an1

x1

an

2

x2

ann

xn

bn系数

aij

i,

j

1,2,,n,

a12

x2

a1n

xn

b1的解取决于ib

i

1,2,,n常数项一、矩阵概念的引入bn

a

a

a

b

an1

an

2

ann2

n

2

22

21b1

a1n

a11

a12对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A

与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站A

B

CDABCD其中

表示有航班.为了便于计算,把表中的0,就得到一个数表:改成1,空白地方填上ABCD0110101010010100这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD二、矩阵的定义由m

n

个数

aiji

1,2,,

m;

j

1,2,,

n2122m2aaa

a排成的m行n

列的数表

a11

a12a1n

a2n

a

m1

mn

称为m

n维(阶)矩阵.简称m

n

矩阵.记作

am

1

am

1

amn

a2

n

A

a21a1n

a11

a12a22简记为mnA

Amn

aij

aij

.矩阵A的m,n元这m

n个数称为A的元素,简称为元.A中第i行第j列元素aij称为矩阵A的(i,j)元.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如

1

0

3

5

9

6

4

3是一个

2

4

实矩阵,2

213

6 2i

2

2

22是一个复矩阵,3

3

42

1

是一个矩阵,3

12

3是一个1

4

矩阵,几种特殊矩阵(1)行数和列数都等于n的矩阵A,也可记作

An

.称为n

阶方阵nn

a

anA

a

a

n1

n

2a2n

21a1n

a11

a12a22主对角线其中a11,a22,ann为方阵A的主对角元,它们所在的对角线为主对角线.例如是一个3

阶方阵.2

2

2

2

2213

6 2i

副对角线主对角线(2)只有一行元素的矩阵A

a1

,a2

,,an

,称为行矩阵(或行向量).只有一列元素的矩阵

an

a1

B

a2

,

称为列矩阵(或列向量、向量).

ann

0a2n

a22

O

0

0a1n

a11

a12(3)

形如

即主对角线以下元素全为零的方阵称为上三角矩阵。

矩阵(或对角阵）.n

2

1形如的方阵,称为对角OO即主对角线以上元素nn

a

aa

a

a

形如

n1

n22221

a11O全为零的方阵称为下三角矩阵。（4）

既是上三角又是下三角矩阵的方阵，即不全为0记作A

diag[1

,2

,,n

].(5)

数量矩阵（标量矩阵）称对角线元相等的对角矩阵

10

00

01称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.全为1为数量矩阵或标量阵。

a

0

0 0

0

a

0 0

0

0

0

a

当a

1

时，记作（6）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m

n

零n矩阵记作

Om

或

O.注100

""

0

0

0

0.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0不同阶数的零矩阵是不“相等”的.例如2.两个矩阵A

aij

与B

bij

为同维矩阵,并且对应元素相等,即aij

bij

i

1,2,,

m;

j

1,2,,

n,则称矩阵A与B相等,记作A

B.

3 7

3

9

1

2

14

3

例如

5

6与

8

4为同维矩阵.同维矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同维矩阵.例1

设B

1

x

3

,

y

1

z

A

1

2

3

,

3

1

2已知A

B,求x,y,z.解

A

B,

x

2,

y

3,

z

2.三、小结(1)矩阵的概念amn

a2

n

a