2006数学建模题-高教社杯全国生竞赛

2006高教社杯大学生数学建模竞页赛区评阅（由赛区评阅前进行赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用（由赛区送交前评阅（由评阅前进行疗法的评价及疗效本文主要针对的不同疗法进行了研究评价和效果,并根据的治疗效果提出相应的措施。采用的主要方法有三次样条插值，灰色系统，0-1规划。CD4HIVCD4HIV浓度的变化率，此变化率是一组随时间变化的数列。同时以CD4的变化率和HIV浓度的变334种疗法优劣时,以lo4+1)的平均大小为标准，采用灰色系统理论，从而比较出4种疗法的优劣（见正文第7页图，其中疗法4的效果最好。同时根据的果可以得出疗法4在第40效果依然良好，应该进行持续治疗。然后继续用灰色系统理论得到疗法3的效果良好，应该进行持续治疗。关键字：三次样条插值灰色系统0-1规基本情

问题是当前人类社会最严重的之一从1981年发现以来的20多，3000万人的生命。的医学全名为“获得性免疫缺损综合症英文简称AIDS，它是由艾 （医学全名为“免疫缺损”,英文简称HIV）引起的。这种破的免疫系统，使丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的中起着重要作用，当CD4被HIV而裂解时，其数量会急剧减少，HIVAIDS发作。治疗的目的，是尽量减少内HIV的数量，同时产生的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高免疫能力迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅AIDS疗法。所以对疗法的研究评价和效果的以及提出相应的措施变得非常相关信息现在得到了医疗试验机构ACTG的两组数据。ACTG320是同时服用zidovudinelamivudine和indinavir3种药物的300多名每隔几试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量。193A（见附件2）是将1300zalcitabine600didanosine600zidovudine400mgdidanosine400mgnevirapine。需要解决的问利用附件1的数据，继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时24种疗法的优劣（CD4为标准，并对较优的疗法继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3)药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mgzidovudine1.60，400mgdidanosine0.85，2.25mgzalcitabine1.85，400mgnevirapine1.20。如果需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的 问题1,首先对数据存在粗大误差，应予以处理,使得处理后的数据能较好的将来一段时间内继续治疗的效果,采用3次样条插值的方法,继续治疗效果2,4种疗法优劣的理解:CD4为标准,对于相同的初始浓度,分别经过4种疗法一定的时间治疗后,比较其CD4浓度的变化,从而进行3,2的基础上,加上疗法费用的约束,,重新定义目标函数,0-1规模型1，实验数据能从整体上反映整个群体的情况2CD43，不发达国家接受某种疗法时，治疗费用起到一定作用4，对某种疗法的影响可不计符号xit

第i种疗法在t时刻的lo4+1)的含量的平均pt,

CD4HIVt参加第i种疗法的数 单位时间单位费用的lo4+1)数量的变化模型建立和求问题一模型的建立和求解治疗的目的有两个方面一是尽量减少HIV的数量一是产生的CD4、至少要有效的降低CD4减少的速度。所以对于继续治疗的效果也需要从这两个假设共有n个人参加了测试治疗，测试的时间是T，第i个人在检测时CD4和HIV的浓度分别是：xit,yit，则在t的CD4和HIV

TTt ，y

TT 。对于在一定时间间隔的浓度变nCD4HIV某段时间内的浓度变ptqt，则：ttpxttxt,qtt

yttyt对于实验阶段p1,p2 T的各时间段内CD4浓度的变化率求出将来的各时段CD4浓度的变化率。同理,问题也可以归结为已知测试的前T的各时间段内HIV浓度的变化率求出HIV浓度的变化率。对于任意时段的pt,当pt>0时,表明随着时间的增加,CD4的含量也随之增加,达到了病的治疗目的,当pt<0时且随时间的增加pt增大时,表明随着时间的增加,CD4的含量随之减少,CD4减少的速度降低,同样达到治疗的目的.当pt时且随时间的增加pt减小时,表明随着时间的增加,CD4的含量随之减少,减少的速度加快,无法达到治疗的目的,即治疗的效果不好效果,所以采用拉准则剔除奇异值,剔除奇异值后的数据见附件3,对于附3的数据,采用上述方法可以得到一组pt和qt值,,对于此pt或qt值,进行三次样条插值,可以得到一组pt和qtt变化的曲线,如下图:从图中可以看出CD4数量变化率图：由图可知CD4变化率始终大于0，表明CD4的含量随时间的增加而增加，单从CD4变化率图来看，继续治疗的效果好，应继续HHIV数量变化率图：由图可知在0到33HIV数量变化率小于0，表明HIV的含量随时间的增加而减少，治疗效果好，当从33到60IV数量变0HIV的含量随时间的增加而增加，治疗效果差。H33问题二模型的建立和求解假设参加第i种疗法的数量是Ai,(i=1,2,3,4)．1,2,3,4种疗法分别表600mgzidovudine400mgdidanosine按月轮换使用的疗法；600mgzidovudine2.25mgzalcitabine的疗法；600mgzidovudine400mgdidanosine的疗法；600mgzidovudine400mgdidanosine400mgnevirapine的疗法。xijt表示第i种疗法的第j个在t时刻的lo4+1)的含量,则第i种疗在t时刻的lo4+1)的含量的平均值为

x,且

ixijti

,A Ai时间内,各xit随时间变化,组成一个时间序列(xi0, xiT),对于此时间列,运用灰色系统可GM(1,1)模型的建立

xit随时间变化的曲线i设(0)i

....,

(0x,1-AGO,得(1)

(1))且x(1x

dX aX(1)u 设(au)T1(BTB)111(X(1)X i

X(0)

i1

X(0)B i

Y

i21 1

X(0)1(X

X

iT

iT 从而可以求得,X(1)(X(0)u)eat 将附件二的数据经过提出粗大误差处理,按疗法分类,从而得到四组xit数据,灰色理论,解得四组(au)及其微分方程为如下表auXX(1)(X(0)3.2605)e00349t XX(1)(X(0)3.3218)e00339t XX(1)(X(0)3.4086)e00221t XX(1)(X(0)3.5152)e00207t (1) 将累减后的数列中的数据在坐标轴中画出,t变化的xit的曲线由图形可以知道,4312的效果好,线没有交叉,对于疗法4继续治疗的效果的方法同样是用灰色系统理论进行可以得到一组lo4+1)的变化率随时间的曲线，如下图：0 结论：从以上两图可以看出，到40的时候，CD4的数量还可以维持在一定水平。说明第四种治疗还有效果，应继续治疗。40以后（CD4+1）的对数估计问题三模型的建立和求解设di(i1,2,3,4分别表示四种药物600mgzidovudine,400mgzalcitabine,400mgnevirapine的价格.对于不发达国家的,需要考虑价格的问设Xi0表示某个不发达国家在开始治疗时lo4+1)的数量,Xit表这个接受第i种疗法在时刻t体内lo4+1)的含量,K表示一天的治疗药物的费用,则Kt表示在时段t内的总费用.希望接受某种疗法时,所花费的费用最小,而CD4的含量下降的速度最慢,所以以单位时间单位费用的lo4+1)数量的变化量P来衡量不发达国家对疗法的选择.则:Q=XitXi0Kt*又有

X(1)(X(0)u)eat

则Q

(Xi0

u)eat(1e)X 0-1规划,设yi0-1规划模型:MaxQyiyi

12S.t.a(a,a,a,a12 u(u,

,u

,u当yi1时aaiut Xi0运行LINGO解得y1y2y40,y3即采用第3种疗法最合适不发达国家的与问题二的一样,对疗法3的CD4采用灰色系统,得到的结果如下图所示lo4+1)变化率CD4变CD4变化率0

时间从图中可以看出，到40时疗法3仍然有效果，应该进行持续治疗。对继续治疗结果的用（CD4+1）的对数表示，如上图所示。模型分析评附件一,二的统计,结果具有代表性用于计算的附件数据为随机所得,在数据中会存在一定的随机误差和粗大误差,处理后的数据能够很好的反映一定的规律,其结果是合理的模型假设的合理性模型假设中,忽略了对分组的影响,而实际中对治疗效果的影响是存在的,为此,需要做进一步的,对于附件二需首先对分组,然后在按疗法分组,得到各个不同段在不同疗法时CD4浓度随时间的数列,然灰色系统时,并没有对的结果做残差分析.结果的好坏并没有一个评判的标准,但初始数据与的结果很相近,表明的结果具有一定的合理性.问题三采用0-1规划模型,此模型能很好的处理不发达国家对于选择或者不选择某种疗法的问题,目标函数也能很好的反映对于费用和疗效的综合考.模型由于此模型是以CD4含量为标准来推测病治疗效果的,而实际生活中往往并不一定CD4的含量越高,抵抗HIV的能力就越强,这就表明实验的结果此外,对于病治疗药物的搭配和剂量也不是唯一的,改变其搭配和剂量得到的效果可能会比第二问的疗效好.而不发达国家的可以用更少的费用达到更好的治疗效果,这里不在.参考文献,谢著,数学模型(第三版),:高等教育,工程数学学报(2003第五期),工程数学学报编辑:,等著,数学建模,哈尔滨工业大学:[4],著,7.0基础 附1程运行：7.0clearallfori=1:1664

A(i,1)=A(i,1)-forn=1:356forforif

forforj=1:6forif(j==1)&(pt{n}(j,2)==0)&(pt{n}(j,3)~=0)elseif(pt{n}(j,2)~=0)&(pt{n}(j,2)-t(m)>=-2)&(pt{n}(j,2)-t(m)<=1)

forforiffori=1:11forifforQ1(i)=(P1(i+1)-forn=1:356forj=1:6forif(j==1)&(pt{n}(j,4)==0)&(pt{n}(j,5)~=0)elseif(pt{n}(j,4)~=0)&(pt{n}(j,4)-t(m)>=-2)&(pt{n}(j,4)-t(m)<=1)

forforif

fori=1:11forifforQ2(i)=(P2(i+1)-2程运行：clearallL1=xlsread('d:\7\work\b附件2','疗法1');forn=1:a1(1)forifabs(L1(n,4)-

fori=1:6forifN1(i)=sum(M1(:,i))/L2=xlsread('d:\7\work\b附件2','疗法forn=1:a2(1)forifabs(L2(n,4)-

fori=1:6forifN2(i)=sum(M2(:,i))/L3=xlsread('d:\7\work\b附件2','疗法3');forn=1:a3(1)forifabs(L3(n,4)-

fori=1:6forifN3(i)=sum(M3(:,i))/L4=xlsread('d:\7\work\b附件2','疗法forn=1:a4(1)forifabs(L4(n,4)-

fori=1:6forifN4(i)=sum(M4(:,i))/forK1(j)=(N1(j+1)-K2(j)=(N2(j+1)-K3(j)=(N3(j+1)-K4(j)=(N4(j+1)-%灰色系functionfori=