一维稳态导热问题数值模拟

..一维稳态导热问题数值模拟问题描述：设有一导热方程,,边界条件为编写一段程序对此问题进行数值模拟。解析：1、用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化,先确定节点,再确定控制容积。将0-1划分为N段,共N+1个节点,N个控制容积,其中。可以得到如下：对原方程建立差分方程,内部节点有：则转换为下式,：i=2,….,N上式即为内部节点的离散化方程。对于外部节点可有：综上可以得到内部节点和外部节点的离散化方程为：即为上式不满足系数为负数,则可改用如下离散方程：内部节点：边界节点边界节点组成代数方程组：写成矩阵方程组：2、写出代数方程组的迭代求解程序:用Matlab编写如下求解程序；〔1高斯赛德尔迭代法〔调用程序gauseidel文件function[x,n]=gauseidel<A,b,x0,eps,M>%高斯迭代格式%线性方程组的系数：A%线性方程组中常数向量：b%迭代初始向量：x0%解的精度控制：eps%迭代步数控制：M%线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：nifnargin==3eps=0.000001;M=10000;elseifnargin==4M=10000;endD=diag<diag<A>>;L=-tril<A,-1>;U=-triu<A,1>;G=<D-L>\U;f=<D-L>\b;x=x0;n=0;tol=1;whiletol>=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm<x-x0>;x0=x;if<n>=M>disp<'Warning：’迭代次数过多,可能不收敛.'>return;endend〔2主程序〔demo文件如下：N=input<'请输入N值''\n'>Tp=input<'请输入Tp值''\n'>x1=zeros<N,1>A0=zeros<N>;A0<1,1>=N+1/<2*N>;A0<1,2>=-N;A0<N,N-1>=-N;A0<N,N>=2*N+1/N;fori=2:N-1A0<i,i-1>=-N;A0<i,i>=2*N+1/N;A0<i,i+1>=-N;endb0=zeros<N,1>;b0<1,1>=<1/N>*Tp;b0<N,1>=<2/N>*Tp+N;fori=2:N-1b0<i,1>=<2/N>*Tp;endA=A0;b=b0;x0=x1;[x,n]=gauseidel<A,b,x0>x=[x;1]t=<0:1/N:1>title<'一维稳态导热问题空间温度分布图'>xlabel<'空间分布X'>ylabel<'温度分布T'>holdonplot<t,x>1.35171.34851.33871.35171.34851.33871.32241.29921.26911.23161.18651.13321.0712方程组的解当N=10时,迭代次数n=343当N=10时,迭代次数n=3431.35191.35191.35101.34861.34461.33891.33151.32251.31181.29931.2851 1.26921.25141.23171.21011.18651.16091.13321.10341.07131.0368方程组的解当N=20时,迭代次数n=1243当N=20时,迭代次数n=12431.35191.35151.35191.35151.35041.34861.34611.34281.33891.33411.32871.32251.31551.30781.29931.29011.28001.26921.25751.24501.23171.21751.20251.18651.16971.15191.13321.11361.09291.07131.04861.0248方程组的解当N=30时,迭代次数n=2634