模糊数学课件-第一章

b

B(u)a

b

min(a,b).令a

A(u),a

b

max(a,b),a

b

a

b

aba

b

ab,a

b

max(0,a

b

1),

a

b

min(a

b,1).以不同程度表示逻辑“或”运算

中的(),(),()

中的(),(),()以不同程度表示逻辑“与”运算换律，结合律，零壹律算子(,)和(,)都满和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配律。而

和

却满足互补律，即A

Ac

,

A

Ac

U

.T

:0,12

0,1,

如果a,b,c

0,1定义2满足条件：交换律结合律单调性边界条件T

(a,b)

T

(b,a)T

(T

(a,b),

c)

T

(a,T

(b,c))若a1

a2

,b1

b2，则T

(a1

,b1

)

T

(a2

,b2

)T

(1,a)

a则称为T三角模，也称为T范数。T范数是广义的“交”运算，“”是它的特例。S

:0,12

0,1,如果a,b,c

0,1定义3满足条件：交换律结合律S(a,b)

S(b,a)S(

S(a,b),

c)

S(a,

S(b,c));（3）单调性若a1

a2

,b1

b2，则S(a1

,b1

)

S(a2

,b2

)（4）边界条件S(a,0)

a则称为S三角模，也称为S范数。S范数是广义的“并”运算“，”是它的特例。T三角模T和S三角模S，统称为三角范算子。例1

设T是T范数算子，证明a1

T

(1

a,1

b)是S范数。补运算记为：ac

1

a(0

a

1),则Tc

(ac

,bc

)

1

T

(1

a,1

b)S(a,b)

Tc

(ac

,bc

)T

(a,b)

Sc

(ac

,bc

)上例表明同理可证定理

三角范算子T和S是对偶算子。T范算子是广义的“交”运算“,

”时其特例S范算子是广义的“并”运算“,

”是其特例.性质1

设T是T范数，则a,b

[0,1]有（1）

0

T

(a,b)

a

b;(2)

T

(a,0)

0.性质2

设S是S范数，则a,b

[0,1]有（1）

a

b

S(a,b)

1;(2)

S(a,1)

1.推论T

(1,1)

1;S(1,1)

1.T

(0,0)

0,S(0,0)

0,定义4给定模糊算子“*”，称点集

()

{(x,y)|

x

y

0或x

y

1}模糊算子“*”的清晰域。例2求出算子“”的清晰域

()解

()

{(

x,

y)

|

x

y

0或x

y

1}

{(

x,

y)

|

x

y

0}

{(

x,

y)

|

x

y

1}

{(x,y)|

x

0且0

y

1}

{(

x,

y)

|

0

{(x,y)|

x

1且y

1}.算子的清晰域越小，运算结果越模糊。1.5 F集的截集F集是由隶属函数确定的。而其中包含那些元素无法确定。即F集的边界是模糊的。但在实际问题中对于模糊现象常常要做出不模糊的。因此，需要把F集和普通集联系起来。这个桥梁就是

截集例1

在一次“优胜者”的选拔考试中，10位应试者应试者x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10成绩100923568822574804055及其成绩如下表按“择优录取”原则挑选。设F集A表示“优胜者”，有.9012

.305

.608

.802

.205A0.74

0.80

0.4

0.559

x10择优录取实际上就是将F集转化为普通集。先确定阈值

(0

1),再将隶属度

A(

xi

)

的元素挑选0.70.时,9

有出来。因此，当

A0.9

{

x1

,

x2

}一般情况下，给出A定义如下定义1设A

F

(U

),

[0,1],记A

{u

|

u

U

,

A(u)

}(1)称A为A的一个

截集(2)A

{u

|

u

U

,

A(u)

}称A为A的一个

强截集由定义知A

是一个普通集u

U，当A(u)

时，u

A

.即在水平上，u属于F集A.当A(u)

时，u

A

.即在水平上，u不属于F集A.定义2

设A

F

(U

),记SuppA

u

u

U

,

A(u)

0KerA

u

u分别称SuppA、KerA为A的支集与A的核当KerA

时，称A为正规F集

截集由如下性质

0,1性质1

设A,

B

F

(U

)则A

B

A

BA

B

A

B

u

A(u)

u

A(u)

A

B(

A

B)

u(

A

B)(u)

u

A(u)

u

A(u)

A

B证性质1(

A

B)

u(

A

B)(u)

t性质2

若A

t

T

F

(U

),则2

1

At

(

At

)tT

tT

At

(

At

)tT

tT性质3

设1

,2

0A

AttTtT性质4

设t

T

,t

0,1则A(

t

)

Ac

1性质5 (

A

)

(

A)c1)c

;

(

Ac

)

(

A关于

强截集也有相应的四个性质。不再重述证

性质2tT)0若u

(

At

)

,则t0

T

,

使u

(

At0于是AttT(u)

,即sup

At

(u)

tT故u

(

At

)22证

性质3对任u

A

有A(u)

,11从而A(u)

,故u

A即A

A2

1证

性质4tTu

A(

t

)

A(u)

tttT