弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答

.弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章 绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个.变化规律。方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。物体的弹性常数不随位置坐标而变化。定后，物体的弹性常数不随方向而变。1【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时（不论是正应力还是切应力当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时，该面上的应力以沿坐标轴的负方向为.正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。正的应力 正的面力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。

正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引.起直角减小，故为正的切应变。【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【解答】正的体力、面力 正的体力、应力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】ffffxyffxfxyfyfyfxy Oz【93y面上切应力yz

的合力与z面上切应力zy

的合力是否相等？yz【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L1MT2，单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如则y面上切应力 的合力为：yz dxdz (a)yz.z面上切应力zy

的合力为： dxdy (b)zy由式（a）(b)可见，两个切应力的合力并不相等。的合力矩相等，才导出切应力互等性。.第二章 平面问题的基本理论【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有z xz yz x y 0，只存在平面应力分量,, ，且它们不沿zz xz yz x y 向变化，仅为x，y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。Ozy【2-2中（5yOzy时，其应变状态接近于平面应变的情况。zxz zx 【解答】板上处处受法向约束时 0，且不受切向面力作用则 0(相应 0)板边上只受zxz zx xyxy所以仅存在,,xyxy

，且不沿厚度变化，仅为x，y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。【2-32-3平很条件MC0【解答】将对形心的力矩平衡条件MC0，改A、B、D、Ez1。.M 0Adx

dy dydx1 y 2

xdx)dy1 2

xyxy

dx)dy1dx

dy1 y 2 (a)dx

dy dx(y

ydy)dx1 yx

dy)dx1dyfdxdy1 fdxdy1 0x xy 2 2 2M 0Bdy dxx(xx

dx)dy1 yx

dy)dx1dy y

dy)dx1 x 2 2 (b)dy1dxxy

dy1dyx 2

dx1dxfy 2

dxdy1dyfx 2

dxdy1dx0y 2M 0Dyy

dy)dx1

dxdy1dxdy1dydx1dyxy x yxy 2 2dx

dy dy

(c)dx1 (x 2

dx)dy1 x 2

x 2

0y 2M 0Edx dy dx(

2 2

dx1dy

2y y x dy

ydy

(d)x xydx)dy1dxff0xx xy x yx 2 2 2(a、(b、(c、(d)中的三阶小量（亦即令d2xdy,dxd2y0，并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xy

。yx【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。【2-42-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证.将导出什么形式的平衡微分方程？ABCD的边长dxdyaz方向的尺寸取为一个单位。xO O

x

yxy

yDxDx

yxy

yDxDx

xyA

xA A fxf

xyDD

xyA

xA A fxf

xyDD B y

B y

xxyB xBBy yxB

xyCyxC

xy

xyB xyxBy yxB

xyCyxC

xyC(b)各点正应力：；) ；A x

) A y) x

) ydyxB)x

x y x xdxx x

yB)y

y xdxy x)

dx x

dx yxC x

x y

yC y 各点切应力：xy)Axy； yx)Ayx.)xyB

dy xydyxy y

)yxA

dy yx ydy) xyD

xydxxy x

) yxDyxdxyx x)

dxxy

)

dx yxdyxyC

xy

yxC

yx x yx由微分单元体的平衡条件Fx

F 0,得y得 1

1

2xx

xdydy xdx xdx xdydyxx

y

2

x x y 1

1

+ yxdxdx

yxdy

yxdx yxdydx

dxdy02yx

yx

2yx

x 1

1

ydxdx

dy

ydx ydydx 2y

x

2

x y 1

1

+ xydydy+ xydx+ xydy xydxdy

dxdy02xy

xy

2xy

y以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy ，就得到平面问题中的平衡微分方程：x x

f 0; y xyf 0x yx 【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体.的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。条件。【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。性常数的系数。由于Ea级别的量，而泊松比取值一般在5，故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/EE大，故钢圆环变形大。【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题x y 和两类平面问题的应力分量， 和 均相同。试问其余的应力，应变和位移是否x y x【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量，x

和y 和

均相同，但平面应力z问题z

yz

0，而平面应变问题的

yz

x

。y。xz应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的xz.xz yz xy x y 物理方程不相同，故应变分量 0, 相同，而,,xz yz xy x y 面问题也不同。xOygxOygxyxAnyB,x

,y

之间的关系式【解答】由题可得：lcos,mcos90sin

图2-16fAB0,fx

AB0将以上条件代入公式（5，得：

cossin0,

sin

cos0x AB

y

y

xyAB) xAB yx

tanAB

tan2AB.【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。ohoh1gbh2yb2FNFNFSq1h/h/lxyM图2-17 图2-18理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（5。【解答】图2-17：上（y=0）

左l0-11m-100xf sx0

gyh1

gyh1f sy

gh1 0 0.代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：x x0xb

g(yh),1 g(yh),1

x0xb

0;0;y0上，能精确满足下列应力边界条件：y0

gh,xy

0y0yh2

上，能精确满足下列位移边界条件：u

yh2

0,

0yh2这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：F0,Fs N

ghb,M01yh2

为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：b dxghb0 y

yh 12b 2 0

y

xdx02b 20xy yh02

dx0⑵图2-18上，应精确满足公式（2-15）l m fx fy.(s) (s)yh2

-0 0 q1yh2

-0 1 0q1)y

y-h/

q，

)yxy-h/2

0，

)y yh/

0，

)yxyh/2

q1x=0力与面力符号相反，有h/2 ) dxFh/2 xyx0 Sh/2

dxFh/2

xx0 Nh/2

) ydxMh/2 xx0③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件u 0,v 0这两个位移边界条件也xl xl可改用三个积分的应力边界条件来代替。FFNFF

0,

Fq

MSFqlFN N 1 N 1 NF 0,FFql0FqlFS S S S 1

qlh

ql2M 0,MM'Flql2qlh0M1

MFl A S 2 2

2 S 2.由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故h/2) dyFqlFh/2 xxl

N 1 Nh/2

ydy

q1

M

lql2h/2

xxl

2 S 2h/2 ) dyFqlFh/2

xyxl S Sq Mox oF xoA N AFqb【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两

b/2b/2 N 2OA者的面力是否是是静力等效？【解答由于h l为小边界故其上可用圣南原理，写出三个积分的应力边界条件：

b h hyab,ya图2-19

qb2M12ybOAfx

0,fy

xqb由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有b

dxbfdxbxqdxqb0 y y0

0 y 0b 2b

xdxbfxdxbxqbx

qb20 y

y0

0 y

b 2

12(OA中点取矩)byx

dx00 y0(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则.b

dxF qb0 y y0 N 2by

xdxM

qb2120 y0bxy

dx00 y0OA问题是静力等效的。【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（8；在s

上用位移表示的应力边界条件式（9；s上的位移边界条件式（4；u作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？1）A内的平衡微分方程式（2；A内用应力表示的相容方程式1）或（；在边界上的应力边界条件式5问题；对于多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。.【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？1）A内用应力函数表示的相容方程式（5；S上的应力边界条件式5，假设全部为应力边界条件；若为多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：OhOh/2h/2xll? hbxbObxbOqyqy图2-20 图2-21=2-20sx=

y2b2

， 0。y xy【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足（1）分方程2（2）用应力表示的相容方程1（3）应力边界条件5。将应力分量代入平衡微分方程式，且f f 0x y x yx0

0显然满足x y y x.将应力分量代入用应力表示的相容方程式（1，有等式左2x2

2y2

=2qy b2

0=右应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 My

FS* s2-21，由材料力学公式，

I ，

bI (b=1)，得出所x3y x2 2q - (h2

4y2)示问题的解答:

lh3，

4lh3

。又根据平衡微分方程和边界条 xy

2qxy3

qx件得出：y

2 lh lh3

2l。试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）Ih312

，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程q

qx2。M(x) x3,F x 6l 2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：Mx x3y y x I 3Fx 4y2 x2 。 s 1 . h24y2xy 2bh h2 4 lh3根据平衡微分方程第二式（体力不计。.y xy0y 得：

.

xy3Ay 2 lh lh3根据边界条件Aq.x2 l

0y yh/2故

.

xy3

q.xy 2 lh lh3 2 l将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：左6qx2lh3

x2ylh3

0右满足第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-23）左2

2

0右 x2

y2 x

lh3

lh3应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。.【解答】（1）确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为n

2

，用关系式l2

m2

1m，得 ln

11l2

l2l2l4

1/1/41/2l2212由上式可见当1l20时即l 时122

为最大或最小，为n

maxmin

。 1 2。2因此，切应力的最大，最小值发生在与x轴及y轴（即应力主向）成45°的斜面上。求最大，最小切应力作用面上，正应力 的值n任一斜面上的正应力为 l2n 1 2 21/2最大、最小切应力作用面上l ，带入上式，得1/2 1 1n 2 1 2 2 2 1 2证毕。1 2 【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求,,1 2 (a)x

100,y

50,xy

10 50;(x

200,y

0,xy

400;(c)x

y

xy

x

y

500.【解答】由公式（2-6） 2 2x2y2xy

tan

1 1 x 1

1 x y

及 1

，得 arctan x2 xy xy.110050

1001002210 50202(a) 2 0210 50 arctan1501003516'10 50120022400200224002

5122(b) 22

312 arctan512200arctan0.783757'1 40020001000220001000240022

10522(c) 22

2052 arctan10522000arctan7.388232'1 400100015002210001500225002(d)

1 2 2

1809 arctan6911000arctan0.6183143'1 500【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，qfyqfyxAfxqy在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力 q。试证s =sx y

=-q及

xy0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。y【解答（1）将应力分量 x y

q,xy

0，和体力分量f fx y

0分别带入平衡微分方程、相容方程. x

f 0x x y y xyf 0y x

（a）2x y

0（b）显然满足a（b）（2）对于微小的三角板Adxdy都为正值，斜边上的方向余弦lcosn,x,mcosn,y，将 x y

-q,xy

0，代入平面问题的应力边界条件的表达式5fx

-qcosn,x,fy

qcosn,y，则有cosn,xqcosn,x,x

cosn,yqcosn,y所以x

q,y

q。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2，得形变分量， (1)q,x E

(1)q,E

0（d）将d）式中形变分量代入几何方程（8，得u=(-1)q,v=(-1)q,vu0x E y E x y （e）前两式积分得到.= qx(y),= qx(y),v= qyu

（f）(x)E 1 E(x)其中f1

y,f2

x分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入式（e）的第三式，得df(y) df(x) 1 2 dy dxy的函数，而等式右边只是x个常数，于是有df(y)1

df2(x)dy dx积分后得f1

yyu,f0 2

xxv0代入式（f）得位移分量u(1)qxyu E ( v qy x

0（g） E 000其中u,v,为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得00从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解答。8（2，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力y0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。.OOxFl横截面上的弯矩方程M(x)Fx，横截面对中性轴1的惯性矩为 yI h3/12，根据材料力学公式z弯应力x

M(x)Iz

12Fh3

xy；Fs

xF，剪应力为F(x)S* F

h h/2y

6Fh2 sxy bI

133

2yb

yh34

y2z取挤压应力 y

h/12

将应力分量代入平衡微分方程检验左12F

12Fy

y0右h2 h3第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。将应力分量代入应力表示的相容方程左2x

0右满足相容方程y考察边界条件①在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)l m fx fy.0-1000100y0-10001002yh上2代入公式5，得y y-h/2

0,xy

yh/

0;y

yh/

0,yx

0yh/2②在次要边界x=0 上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩h/2

dy0向面力主矢h/2

xx0h/2

ydy0面力主矩h/2

xx0h/2

h/2 6F h2 ) dy ( y2)dyF向面力主矢h/2 xyx0 h/2 h3 4 FNFNFMS③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即S面力的主矢、主矩，FN

0,FS

F,MFl其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：h/2 )

dyh/

12F lydy 0 h/2

xxl

h/2 h3 Nh/2 )

ydyh/

12F

ly2dyFlMh/2

xxl

h/2 h3h/2 h/

6Fh2 ) dy

y2dyFFh/2 xyxl

h/2h3

4 S满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示.为f ,fx x

V，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为y=2V,x y2

=2V,x2

2，试导出相应的相容方程。xyx （1）f,f带入平衡微分方程（2-2x Vx

f x

0 x

y

（a） V y xyf 0 y xy 0y x

y

x y将（a）式变换为x

V) yx0x

（b） y

V) xy0y 为了满足式b，可以取Vx

2,y2

V

2,x2

2xy 2V,即x y2

2V,x2

2x y x （2）对体力、应力分量f,f,, x y x f

2V

f 2Vyxy

x2 y y22

4

2

4

x

x x2 x2y2

y2 y4 y22

42V,

2y

4 2Vx2

x4

y2

x2y2 y2. ) 2

fy（2-21）x y

4

4

42V

4

)

2V x2y2 x2 y4 y2 x4 x2 x2y2

x2 y2整理得：42

4

4

)

（d） x4 x2y2

y4

x2 y2即平面应力问题中的相容方程为4(1将（c）式代入公式（2-22）或将（d）相容方程：

，的平面应变情况下的142

4

4

12

（e） x4 x2y2

y4

1x2 y2即4122V。1证毕。.第三章 平面问题的直角坐标解答【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式5，而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即替式5，将会发生什么问题？的面力（主矢、主矩均相同，只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以替精确的应力边界条件（5，就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。【3-3】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主.要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？m2个精确的应力边界条件，公式5mn个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则2n个；如果不能满足公式（2-15）23n个。【3-4】试考察应力函数ay3在图3-8所示的xhxhl矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?y【解答】⑴相容条件: 图3-8不论系数a取何值，应力函数ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得 6ay,x y

0,xy

0yx⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a>0时，考察 分布情况，注意到 0，故y向无面力x xy左端:f x

)xx0

6ayyhfy

0xy x0.右端:f x

x

6ay(0yh) fy

) 0xyxl应力分布如图所示，当l? h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效主矢，主矩OxOxyf fx x主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。ePePePePApe：) p pe 0eh/6xA bh bh2/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。xl(l?h)ax2ybxy2,cxy3,试求出应力分量（不计体力9所示弹y出面力的主矢量和主矩。

图3-9【解答】（1）由应力函数ax2y，得应力分量表达式 0,x y

2ay,xy

2axyx.x考察边界条件，由公式（5）x

)yx

f(s)x(my

)xy

f(s)yy2

上，面力为f(yh)2ax fx 2

(yh)ah2②主要边界，下边界yh，面力为2f(yx

h)2ax,f2

(y

h)ah2③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为xFx

h/2h/

()x

x0

dy0yFy

h/2h/2

)x0

dy0Mh/2h/2

()x

x0

ydy0yxahyxahxyah 2al2alxFh/2

O xdy0h/2

xxlyy向主矢：Fh/2

dyh/

(2al)dy2alhh/2

xyxl

h/2主矩：Mh/2h/2

()x

xl

ydy0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示⑵bxy2将应力函数代入公式（4，得应力分量表达式 ，x y

0，xy

2byyx.考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得在yh主要边界，上边界上，面力为fyhbh,f

yh02 x

22 y 22在yh2

yx

hbh,f22

yy

h022在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：fx面力的主矢、主矩为

x00,fy

x02byxFx

h2h22

xx0

dy0yFy

h2h22

xyx0

dyh2h22

2byx0

dy0Mh/2h/2

)xx0

ydy0在右边界x=l上，面力分布为fxl2bl,fx

xl面力的主矢、主矩为x向主矢：Fh/2

dyh/

2bldy2blhxyFy

h/2 x'h/2h/2

xlxl

h/2dyh/2h/

2bydy0M'h/2h/2 x

xl

ydyh/2h/2

2blydy0.弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示Oxyxyah 2al ahOxyxyxy（3）cxy3将应力函数代入公式（4，得应力分量表达式6cxy,x y

0,xy

yx考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）①上边界yh上，面力为2 h 3 hfxy24ch,f y202y ②下边界y=h上，面力为2 xf y 2 4ch2,fyx

h02 次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：③左边界x=0 上，面力分布为.fx00,fx

x03cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fx

h/2h/2 h/2

x0

dy

h/2 1y向主矢：Fy

h/

xy x0

dyh/2

3cy2

dych34Mh/2-h/2 x

x0

ydy0④右边界xl上，面力分布为fxlfx

xl面力的主矢、主矩为x向主矢Fh/2

dyh/

6clydy0x h/2

xl

h/2yFh/

dyh/

3cy2 dy y h/2

xl

h/2 4Mh/2h/2

x xl

ydyh/2h/2

6cly2dy clh3121弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示xl(lxl(l?h)F xy(3h24y2F 2h3（不计体力3-9所示矩形体边界上的面力分布（和主矩，指出该应力函数能解决的问题。

图3-9.【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）4x4

2 4x2y2

4y4

0，显然满足将 代入式（4，得应力分量表达式 12Fxy,

0,

3F

(14y2)x h3

xy

2h h2由边界形状及应力分量反推边界上的面力：2（上下边界2

（5，应力y

yh/

0,yx

0yh/2y

yh0,

yh02 x

22 y 22②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为： 3F 4y2x0:f 0,f 1- 2x y 2h h212Fly

3F 4y2xl:f x

,f h3 y

2h1

h2 因此，各边界上的面力分布如图所示：③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：.x=0上x=l上x向主矢：FN1

=h/2h/

fdy0, F

h/2h/

fdy0xy向主矢：FS1

=h/2h/

fdyF, F

h/2h/

fdyFy主矩：M1

=h/2-h/2

fydy0, Mx 2

h/2h/

fydyFlx因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：(b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。.【3-7

qx2

(4y3

3y1)qy2(2

y3

y)能满足相容方程，并考4 h3 h 10 h3 hxxl(l?h)什么问题（，体力不计。 y【解答】(1)将应力函数代入式（2-25）

图3-94x4

0，4y4

24qy，h3

4x2y2

2h3

24qyh3代入（5，可知应力函数满足相容方程。将代入公式（，求应力分量表达式: 2

6qx2y 4qy3 y2 x

h3 h3 5h 2fyx2 y

q(4y32 h3

3y1)h2 6qx h2 xy yx

( y2)3h 4考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：y2

（上面，应精确满足应力边界条件（5）.fyh 0,f yh

qx 2 yx y 2 y yh/2

yh/2在主要边界y

h下面，也应该满足215fx

yh/2

2yx yh/

0,f y

yh/2

0y yh/2在次要边界x0上，分布面力为fx0x

x0

3qy4qy3,f5h h3

x0xy

0x0应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:F h/2

fdyh/

3qy4qy3 0 N h/2F h/2

xff

h/20

5h h3 S h/2 yMh/2

fydyh/

3qy4qy3ydy0 h/2 x

h/25h h3 ④在次要边界xl上，分布面力为fxl

6ql2y4qy33qyx

x xl

h3 h3 5h6qlh2 f xl

y2y

xl

h34 应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:Fh/2

f(xl)dyh/

6ql2y4qy3 0

N h/2 x h/2

h3 5h2 6ql h/2 h2 6qlF f(xl)dy y2dyqls h/2 y

h/2 h34 h/2 h/2 6ql2y 4qy3 3qy 1M' f(xl)ydy ydyql2h/2 x

h/2

h3 5h 2综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图.q qqlx1qlx12ql2y(b)因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。【8，在一边侧面上受o均布剪力（图0，试求应力分量。 b h q【解答】采用半逆法求解。 g由材料力学解答假设应力分量的函数形式。假定应力分量的函数形式。

y (h?b)图3-10根据材料力学，弯曲应力y

主要与截面的弯矩有关，剪应力xy

主要与截面

主要与横向荷载有关本题横向荷载为零则 0x x推求应力函数的形式将 0，体力fx

0,fy

g，代入公式（2-24）有 2fx y2 x

x0对y积分，得fx（a）y.yfxf1

x（b）其中fx,f1

x都是x的待定函数。由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（5，得d4fx d4fxy 1 0（c）dx4 dx4在区域内应力函数必须满足相容方程（cy求它有无数多个根（y值都应满足它为零，即d4fx d4fx 0, 1 0dx4 dx两个方程要求fxAx3Bx2Cx,f1

xDx3Ex2（d）fx中的常数项，f1

x中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的y的一次项及常数项，不影响应力分量。将式代入得应力函数y

Ax3Bx2Cx

Dx3Ex2

（e）由应力函数求应力分量 2fy2 x

x0（f）. 2fx2 y

y6Axy2By6Dx2Egy (g) 2xy

3Ax22BxC (h)(5)考察边界条件A、B、C、D、Ex0上（左：xx0

0,(xy

) 0x0将（f（h）代入xx0

0，自然满足) C0（i）xyx0主要边界xb上，xxb

0，自然满足) q，将（h）式代入，得xyxb) 3Ab22BbCq（j）xyxb在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：b0b0b0

)yy0)yy0)yxy0

dxb6Dx2Edx3Db22Eb0（k）0xdxb6Dx2Exdx2Db3Eb20（）0dxb3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0（）0.由式（，(j（k（l（）联立求得Aqb2

, B

q, CDE0b代入公式（g，(h得应力分量 0,

2qx13xgy, qx3x2 x y b b xy b b .b/2q hy(h?b)【9图1所示的墙高度为h宽度为bb/2q hy(h?b)在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数qAxyBx3y求解应力分量。【解答】按半逆解法求解。⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

图3-112 ，

2

2 x y2

6Bxyy x2

A3Bx2xy yx ⑶考察边界条件：xb2上，精确满足公式（2-15）xxb/2

0,(xy

)xb

q第一式自然满足，第二式为3ABb234

q (a)x=b/2(2-15)xxb/2

0,xy

xb/

q第一式自然满足，第二式为3ABb234

q (b)③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:.b/2

dx0满足b/2 y

y0b/2b/2

y y0

xdx0满足b/2

b/2

1 3 （c） dx

A3Bx2

dxAbBb 0b/2 yx y0

b/2 4联立（a（c）得系数q A,Bq 2 b2代入应力分量表达式，得 0,

12qxy,

q112x2x y

xy

2b22【3-10设单位厚度的悬臂梁在左端受到集力和力矩作用体力可以不计l? h（图2试用应力函数AxyBy2Cy3Dxy3求解应力分量。【解答】采用半逆解法求解将应力函数代入相容方程（5，显然满足由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)2B6By6Dxy x0 (a) y A3Dy2xy yx.(3)考察边界条件①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件y yh/2xy yh/

0，满足30,得ADh20（b）34②在次要边界x=0 上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件h/2h/2

x x0

dyFN

h/2h/

2B6CydyFN

B NF2hFh/2h/2

x x0

ydyMh/2h/2

2B6CyydyMC2Mh3h/2

dyF

h/

A3Dy2dy

1Ah Dh31

（c）h/2

xy x0

s h/

s 4 s联立方程（b（c）得F3 2FFsA s,Ds2h h3最后一个次要边界xl件下是必然满足的，故不必在校核。A、B、、D代入公式（a，得应力分量 F 12M 12FN y sxy x y

h h3 h33F

y2xy

S12h

h2【3-113-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。.【解答】采用半逆解法求解检验应力函数是否满足相容方程（2-25）设应力函数=Ax3Bx2yCxy2Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）由式（2-24）求应力分量由体力分量fx

0,fy

g，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量： 2fy2 x 2fy2

x2Cx6Dy（a）y6Ax2By

（b） xy

2

2Bx2Cy（c）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。y0，其应力边界条件为：， ) 0 ) ， yy0 yxy0将式（d）代入式（b（c，可得A（e）yxtan（斜面上，应力边界条件：在斜面上没有面力作用即f fx y

0sin，mcos.由公式（5，得应力边界条件.sin()

cos

0sin

xyxtan)

yxyxtancos)

0（f）xyyxtan

yyxtan 将式（a（b（c（e）代入式（f，可解得g gC cot,D cot2（g）2 3将式（e（g）代入公式a（b（c，得应力分量表达式：gxcot2gycot2x x y

gycot析法确定应力函数的形式。按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与g2x,yLg的2—xy的AgxBgyA，B是量纲一的量，只与有关。应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为xy的纯三次式，故可假设应力函数的形式为Ax3Bx2yCxy2Dy3。【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用§3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。【分析】与§3-4节例题相比，本题多了体力分量fx

0,fy

g。去除了上边界的面力。依据§3-4，应力分量的函数形式是由材料力学解答假设.的。【解答】按半逆解法求解。（1）由§3-4 可知应力函数的函数形式

Cy2A Bx(Ey3Fy2Gy y5 y4Hy3Ky2，由§3-4必然满足相容方10 6程5。应力分量的表达式：x2 (6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K（ax2x 2 Ay3By2CyDgy（b）y x(3Ay22ByC)(3Ey22FyG)（c）xy【注】y

项多了-gy、K使所有的边界条件都被满足，则应力分量式a（b就是正确的解答。考虑对称性因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样和x y

是x的偶函数，而xy

是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见EFG0（d）考察边界条件：.yh2上，应精确满足应力边界条件（5，) 0,( ) 0yyh2 yxyh2将应力分量式（b（c）EFG0，可得：h3 h2 h g8 A8

B CD4 2

h02h3

A

BhCD

gh0 8 4 2 2 x(3Ah2hBC)0 433 x( Ah2hBC)0 4联立此四个方程，得：2gA ,B0,C

3g,D0（e）h2 2将式（d（e）代入式a（b（c）6g 4g x2y y36Hy2K（f）h2 h22g g y3 y（g）h2 26g 3g xy2 x（h）xy h2 2②考察次要边界条件由于问题的对称性只需考虑其中的一边如右边右边界xl上，f 0，xy取任何值(h2yh2)，都有x

0。由（f）式可见，这是不可能的，除非,H,K均为零。因此，只能用应力

的主矢、主矩为零，即xh/2(h/2

)xxl

dy0（i）.h/2(h/2

)xxl

ydy0（j）将（f）式代入式（i）得h/2

6

4g x2y y36Hy2Kdy0h/2 h2 h2 积分后得 K=0 将式（f）代入式（，得h/2

6

4g l2y y36Hy2Kydy0h/2 h2 h2 积分后得Hg(l2h2

1)（l）10将（k（）代入式（f，得6g

4

l2 1 x2y y36g( )y（m）x h2

h2 10考察右边界上切应力分量 τ的边界条件：xyxy右边界上f glh，则 的主矢为y xyh/2

h/2

6g 3g dy

xy2 x dyglhfh/2

xyxl

h/2

h2 2

yxl可知满足应力边界条件。将式（g（h（）略加整理，得应力分量的最后解答：. 6g

4g

l2 1 x2y y36g( )y X h2

h2 102gy3gy

(n) y 6g

23g xy2 xxy h2 2应力分量及应力分布图1I

，静矩是Sh2

y2。12 8 2根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力方程分别为Mxghl2x2Fxghx2 s则式（n）可写成： Mx

4y2 3 ygy( ) x I h2 5 g y 2

y(1

y2)h2 F xSs xy bI【分析】比较弹性力学解答与材料力学解答，可知，只有切应力

xy完全相同，正应力x中的第一项与材料力学结果相同，第二项为弹性力学提出的修正项；yl>>h修正项很小，可忽略不计。【3-13】图3-14所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l? h，在上边界均布荷载q ，试检验应力函数 Ay

x3

3C2

问题y.的解？如可以，试求出应力分量。【解答】用半逆解法求解。相容条件：将应力函数代入相容方程式（5，得120Ay24By0要使满足相容方程，应使A1B（a）5求应力分量，代入式（2-24）20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2yx 2By32D2Ey10Ay32D2Ey y

（b）6Bxy22Ex30Axy22Exxy考察边界条件①在主要边界y2上，应精确到满足应力边界条件)y

yh2

0,即- Ah32DEh0108 （c）10) q,即

Ah32DEhqy yh2

8 （d）)yx

yh2

0,即 Axh22Ex0304 （e）30联立式（a（c（d（e，可得：.A q ,Dq,E3q,Bq（f）5h3 4 4h h3x0分的应力边界条件：h/2(h/2

)xx0

dy0满足条件h/2h/2

)xx0

ydyh/2h/2

(20Ay36Cy)ydy0

Ah52

0（g）h/2(h/2

)xyx0

dy0满足A的值带入（g，得C= q （h）10h将各系数代入应力分量表达式（b，得q

y(4y2

36x2) x h

h2 5 h2q(13y4y3) y 2 h h3 x y2

(14 )2h h22【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力 F和力2矩M的作用（3-15，不计体力，试用应力函数Ay2BxyCxy3Dy3求解其应力分量。【解答】采用半逆解法求解。相容条件：将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。.求应力分量：将代入（2-24）2A6Cxy6Dy x （a）0 y B3Cy2 xy考察边界条件。①在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件y yb/2

0满足xy yb/2

q,