随机信号分析：第二章 随机过程

第二章随机过程

（随机信号）主要内容：1、随机信号的概念和统计描述2、平稳随机信号3、平稳随机信号自相关函数的性质4、随机信号的各态历经性5、正态随机信号§2.1随机过程的概念

概率论随机变量随机信号分析随机过程（随机信号）一、随机过程的定义

随机变量：样本空间实数域随机过程：样本空间时间函数族

（定义1）

或者样本空间随机变量族（定义2）

定义1设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，总可以依某种规则对应一个时间函数：(T是时间t的变化范围)。于是，对于所有的样本点来说，就得到一族时间函数，称此族时间的函数为随机过程（也称随机信号）

，而族中的每一个时间函数称为该随机过程的样本函数。即：随机过程是样本函数的集合，定义1常用于实验观测。

例

电阻上的噪声电压测量。噪声电压信号是典型的随机信号。

定义2如果对于每一固定的时间点,

都是随机变量，则称是随机过程。

即：随机过程是随机变量的集合，定义2常用于理论分析。

雷达接收机噪声电压的输出波形随机过程

具有以下四种含义：1、若和在发生变化，则随机过程是一族时间函数，或一族随机变量，构成了随机过程的完整概念；2、若和都固定，则随机过程是一个确定值；3、若取固定值，则随机过程是一个确定的时间函数，即样本函数,对应于某次试验的结果；4、若取固定值，则随机过程是一个随机变量；

随机变量：样本空间实数域

（简记为）

随机过程：样本空间时间函数空间

或随机变量空间

（简记为）

§2.2

随机信号的统计特性随机信号是含参量

的随机变量族，它的统计特性本质上就是带参量

的随机变量的统计特性。1、概率特性：分布函数，概率密度函数；2、数字特征：数学期望，均方值，方差，自相关函数，自协方差函数；统计特性也可分为：1、幅值域描述:数学期望、均方值、方差等；2、时间域描述:自相关函数、互相关函数；3、频率域描述:功率谱密度函数、互功率谱密度函数；2.2.1、随机过程的概率分布

随机过程，在任意固定时刻，都是随机变量。随机事件：

发生概率：1、一维分布函数与和都有直接的关系，是和的二元函数，记为：

是

时刻的随机变量直至处的累积概率。2、一维概率密度函数注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤立时刻t的统计特性。

随机过程，在任意两个时刻，和都是随机变量。随机事件：

发生概率：3、二维分布函数与，，和都有直接的关系，是，，和的四元函数，记为：

是和两个时刻的随机变量直至

处的联合累积概率。4、二维概率密度函数

随机过程的二维概率分布与二维随机变量的概率分布之间的区别：

随机过程的二维概率分布是描述随机过程在不同时刻t1和t2的状态之间的关系。二维随机变量的概率分布是描述不同随机变量之间的关系。5、n维概率密度函数

2.2.2、随机过程的数字特征

n维分布较全面描述了随机过程的统计特性，但它的获得很困难。由随机过程的定义2，随机过程是带参数t随机变量族，因此随机过程的数字特征一般不再是确定的常数，而是t

的函数。1、数学期望(均值函数)随机过程的数学期望或，即

它是该随机过程在各个时刻的摆动中心。根据随机过程在任意时刻都是一个随机变量：2、均方值随机过程的均方值或，即

3、方差随机过程的二阶中心矩为随机过程的方差，记为或，其中称为标准差。

方差、均方值和均值有数学关系式：

方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤立的时间点上的统计特性。随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随机过程的起伏程度，故采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述起伏程度。4、自相关函数设和分别是随机过程在时刻和的状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过程的自相关函数，记为

自相关函数反映了随机过程在两个不同时刻的状态之间的相关程度。5、自协方差函数设和分别是随机过程在时刻和的状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过程的自相关函数，记为

自协方差函数反映了随机过程在两个不同时刻的状态之间的相关程度。自相关系数随机过程统计不相关如果对于任意的，都有，或者

，则称该随机过程在任意两个时刻是不相关的。例2.3若随机过程为式中，

为在[0,1]上均匀分布的随机变量，求的均值和自相关函数。解：已知

的概率密度函数为则随机过程的均值随机过程的自相关函数

例2.4求随机相位正弦波的数学期望，方差及自相关函数。式中为常数，是在区间上均匀分布的随机变量。解根据题意有

因为所以则方差那么，自相关函数§2.3

平稳随机过程平稳性的定义严平稳随机过程及其性质宽平稳随机过程及其性质

由随机过程定义2：随机过程对于每一固定的时间点,

都是随机变量，即不同的时间点对应不同的随机变量。若随机过程满足平稳性，这些随机变量的主要（或全部）统计特性相同。

平稳性：随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性，即对t的移动不变性。因此对平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响。平稳性包括严平稳性与宽平稳性。2.3.1严平稳随机过程

1、定义如果对于时间的任意个数值

，和任意实数，随机过程的维分布函数（或概率密度函数）满足

则称为严(格)平稳随机过程，或称窄平稳随机过程或狭义平稳过程。密度函数平稳性示例密度函数非平稳性示例2、主要性质(1)、若是严平稳随机过程，则它的一维概率密度和数字特征与时间无关。证明根据严平稳随机过程的定义，令，

(2)严平稳随机过程的二维概率密度和数字特征只与，的时间间隔有关，而与时间起点无关。证明：令，

1定义若随机过程满足

则称为宽平稳随机过程或广义平稳过程。2.3.2宽平稳随机过程严平稳过程n维概率密度的移动不变性宽平稳过程一、二阶矩的移动不变性随机信号的严平稳性与宽平稳性之间的关系：

严平稳宽平稳注：高斯信号是个例外，宽平稳的高斯信号也必定是严平稳的。若均方值有界不一定是平稳性是随机信号的统计特性对时间参量t的移动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；应用与研究最多的平稳信号是宽平稳信号；严平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中；经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平稳的。

非平稳信号：在一定的时间范围内，非平稳信号可以近似作为平稳信号来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms的分帧，再采用平稳信号的处理技术解决有关问题。小结：

例2-9判断以下三个随机过程是否平稳？式中，是常数，是相互独立的随机变量。随机过程在上均匀分布，Ａ的均值和均方值不为零。

解：(1)当幅度为常数，在上均匀分布时，

因此，X(t)

为平稳过程。

(2)当幅度为随机变量，相位为常数时，

此时，X(t)不是平稳过程。(3)当幅度、相位和频率都为随机变量时，由于相互独立，且在上均匀分布。

X(t)的数学期望为

X(t)的自相关函数为因此，X(t)

为平稳过程。

例2-10宽平稳过程通过乘法调制器得到随机信号，是确定常数，是在均匀分布的随机相位，与统计独立的，试问是否宽平稳。乘法调制器图调制器输出信号特性解：调制器输出为其均值为因为在上均匀分布，固有所以输出函数的自相关函数表示为

的均值和自相关函数对观察时间是平稳的，因此

是广义平稳的。随机过程的基本特征：数学期望和自相关函数。平稳随机过程的数学期望为常数，所以基本特征就是自相关函数。自相关函数提供随机过程各状态之间的关联程度，还是求取随机过程功率谱密度的工具。§2.5平稳随机过程自相关函数的性质对平稳随机过程X(t)，其自相关函数满足1、是偶函数

证明：2、

即平稳随机过程的均方值就是自相关函数在时的值。3、X(t)的自相关函数在原点处有最大值证明：任何正函数的数学期望为非负值，有展开因此有4.若平稳随机过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称X(t)为周期平稳随机过程，其中T为X(t)的周期。对周期平稳过程X(t)，其自相关函数必为周期函数，且它的周期与X(t)的周期相同，即

证明：

例相位随机正弦信号的自相关函数可见，与具有相同的周期。5、若平稳随机过程X(t)含有一个周期分量，则自相关函数也含有一个同周期的周期分量。例如：设随机过程，式中为在内均匀分布的随机变量，为平稳随机过程，和统计独立。6、对任何不含周期分量的非周期平稳过程均有由此证明：对于此类非周期平稳过程，当增大时，随机变量之间的相关性会减弱；当在极限的情况下，两者相互独立，故有7、当平稳随机过程含有均值，那它的自相关函数也将会含有一个常数项。8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在整个频率轴上是非负的，即且对于所有都成立。注：即不含有阶跃函数的因子，如：平顶、垂直边或幅度上的任何不连续。用平稳过程的自相关函数表示数字特征：(1).数学期望(2).均方值(3).方差(4).协方差图

随机过程数字特征例2-14、设随机过程的自相关函数为求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。解：§2.4

随机过程的各态历经性图

噪声电压的输出波形根据随机过程的定义，随机过程是大量时间函数的集合（或大量样本函数的集合）。由统计实验得到的数据计算各种统计参数：实验数据：

（一段）样本函数

统计参数：

意味着需要反复的实验，观察大量的样本函数来得到随机过程的统计特性。

辛钦证明：在具备一定的补充条件下，有一种平稳随机过程，对其任一个样本函数取时间平均(观察时间足够长)，从概率意义上趋近于它的集合均值（或统计平均）。对具有以上特性的随机过程，称为该随机过程具有各态历经性或者遍历性。

各态历经性的物理意义：各态历经性随机过程的任意一个样本函数都同样经历了随机过程的各种可能状态。这类随机过程的任一个样本函数都含有整个过程的全部统计信息。于是，实验只需在任何一个样本函数上进行就可以了，问题得到大大简化。时间均值和时间自相关函数对随机过程X(t)中任意一条样本函数沿整个时间轴的积分：分别称为X(t)的时间均值和时间自相关函数。定义：设X(t)是一个平稳随机过程若，依概率1成立：

称随机过程X(t)的均值具有各态历经性。若，依概率1成立：

称X(t)的自相关函数具有各态历经性。宽（或广义）各态历经性：X(t)的均值和自相关函数具有各态历经性。严（或狭义）各态历经性：X(t)的各种参数都具有各态历经性。应用和研究中特别关注宽各态历经性。2.4.2各态历经性的实际意义各态历经性与随机实验对随机过程的具体表达式未知，使用随机实验求随机过程的统计特性是很困难的，实际上只有具备了各态历经性，在实际中用随机实验求统计特性才比较容易。

平稳性与各态历经性平稳性随机过程的统计特性与时间起点无关；各态历经性直接用它的任一样本函数的时间平均来代替对整个随机过程的统计平均。例如：雷达接收机，电阻噪声电压测量各态历经性直接用它的任一样本函数的时间平均来代替对整个随机过程的统计平均。

实际中平稳随机过程自相关函数的电路形式：延时积分平均电路图自相关仪各态历经信号的数字特征具有明确物理意义，对单位电阻：噪声电压（或电流）的直流分量

交流平均功率总平均功率注：源于电路理论的直流、交流与平均功率本质上都是时间平均的概念。各态历经过程一定是平稳过程。许多实际的信号，尤其无线电技术领域里遇到的各种平稳的信号和噪声，都是各态历经过程。

各态历经过程平稳过程一定是

例

讨论随机过程各态历经性。其中，为常数，是在上均匀分布的随机变量。

解：由上一节知是X(t)是平稳过程，其数学期望和自相关函数分别为时间均值时间自相关函数可得：所以，随机过程X(t)具有各态历经性。

例

讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性，式中Y是方差不为零的随机变量。

解：由于因此X(t)是平稳随机过程。

时间平均时间平均是一随机变量，所以故不是各态历经过程。第六节随机过程的联合概率分布和互相关函数前面讨论了单个随机过程的统计特性。实际工作中，常需要研究多个随机过程的统计特性，包括各自的统计特性和联合统计特性。接收机有用信号信号＋噪声图

接收机输入为信号与噪声2.6.1两个随机过程的联合概率分布

两个随机过程和的联合事件其发生概率为定义此两个过程的维联合分布函数为

如果存在函数满足：则称为此两个随机过程的维联合概率密度函数，且有随机过程X(t)和Y(t)的独立对任意的m，n，若随机过程和满足

或则称随机过程和相互独立。两个随机过程的联合严平稳若随机过程和的联合概率分布不随时间平移而变化，即或则称随机过程和是联合严平稳过程。2.6.2互相关函数及其性质互相关函数设两个随机过程和，在任意两个时刻的状态分别为，则随机过程和的互相关函数定义为：注：互相关函数是描述随机过程之间关联特性的数字特征。互协方差函数：互协方差函数与互相关函数的关系：两个过程正交和互不相关若两个随机过程和对任意两个时刻都具有

或则称随机过程和互为正交过程。若两个随机过程和对任意两个时刻都具有

或则称随机过程和互不相关。必定如果正态互为独立的随机过程互不相关的随机过程图

随机过程独立与不相关两个随机过程的联合宽平稳如果两个随机过程和是宽平稳随机过程，且它们的互相关函数是单变量的函数，即则称随机过程和为联合宽平稳随机过程。两个随机过程的联合宽各态历经如果随机过程和是联合宽平稳的，定义时间互相关函数为如果和的时间互相关函数依概率1收敛于集合的互相关函数，即

则称和是联合宽各态历经随机过程。联合平稳随机过程互相关函数性质(1)、证明：图2-6-6联合平稳过程的互相关函数两个互相关函数关于纵轴对称(2)、