线性代数：第四章-向量

第四章n维向量

本章要点流程:

首先介绍向量的基本概念及运算进一步了解向量组的线性相关性重点学习向量组的秩及极大线性无关组

对线性方程组的解作讨论认识向量空间§1n

维向量及其线性运算★n维向量的线性运算第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算★n

维向量的概念一、n

维向量的概念

定义1：n个有序的数x1

,x2

,…,xn

所组成的有序数组称为n维向量，记为第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算a=(x1,x2,…,xn)或——n维行向量；——n维列向量;其中称为向量的第i个分量或坐标．1.习惯上向量用小写的希腊字母a、b等表示。2.若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向量，在不引起混淆的情况下，简记为0.注：第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算3.设向量,,若则称向量与相等，记作例4.1

三维空间

R3={a=(x,y,z)

|x,y,z∈R}例4.2

n维空间

Rn={a=(x1,x2,…,xn)

|xi∈R,i=1,2,…,n}第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算是由3维向量构成的集合.是由n维向量构成的集合.二、向量的线性运算定义：设向量a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn).则a+b=(x1+y1,

x2

+y2,…,

xn+yn)ka=(kx1,

kx2,…,

kxn)注：向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算。第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算向量的线性运算的性质：

(2)结合律:(a+b)+g=a+(b+g)

(3)存在零向量:a+0=0+a=a

(4)存在负向量:a+(-a)=0

(1)

交换律：a+b=b+a(5)1a=a(6)k(la)=(kl)a(7)

(k+l)a=ka+la(8)k(a+b)=ka+kb

设a、b

、g为n

维向量,k,l

为实数，则向量的线性运算满足：第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算解：由第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算例4.3

设，求解：．例4.4设，，且求.得：对一个m×n矩阵

A=(aij)例4.5矩阵与向量第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算称为矩阵A

的列向量组。按列分块得:

按行分块得：第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算称为矩阵A

的行向量组。构成一个n×m矩阵m个n

维列向量所组成的向量组m个n维行向量所组成的向量组构成一个m×n

矩阵

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。第四章n维向量

§1n

维向量及其线性运算§2向量组的线性相关性★向量组的线性组合与线性表出★向量组的线性相关与线性无关第四章n维向量

§2向量组的线性相关性称为向量组T的一个线性组合，k1,k2,…,km

称为这个线性组合的系数。给定向量组T:a1,a2,…,am，对任何一组实数k1,k2,…,km

,向量实数k1,k2,…,km

,使则称向量b可由向量组T线性表出或线性表示一、向量组的线性组合k1a1+k2a2+…+kmam

给定向量组T:a1,a2,…,am和向量b,如果存在一组b=k1a1+k2a2+…+kmam定义4.3：第四章n维向量

§2向量组的线性相关性例4.6若记则任意n维向量a=(a1,a2,

…,an),均可表示为：称e1,e2,…,en为n维单位坐标向量。e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,

…,0)，

…，en=(0,0,

…,1)a=a1e1+a2e2+

…+anen零向量可表为任意同维向量组的线性组合。向量组a1,a2,…,am中的任一向量都可由这个向量组线性表出例4.7例4.8第四章n维向量

§2向量组的线性相关性例4.9

线性方程组与向量可写成

线性方程组第四章n维向量

§2向量组的线性相关性即其中第四章n维向量

§2向量组的线性相关性能由n个m维向量有解。且表示系数就是该方程组的解。定理4.1：m维向量线性表示的充要条件是非齐次线性方程组第四章n维向量

§2向量组的线性相关性例4.10给定向量组问b能否由a1,a2,a3线性表出？若能，求出表示系数。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性例4.11：给定向量组问b能否由a1,a2线性表出？若能，求出表示系数。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性定义4

给定向量组a1,a2,

…,am(m≥2),如果向量组中至少存在一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则称该向量组线性相关。否则称该向量组线性无关。规定：由一个向量组成的向量组线性相关当且仅当它是零向量．

二、向量组的线性相关性1.线性相关的定义第四章n维向量

§2向量组的线性相关性两个n维向量a=(a1,a2,…,an)

与b=(b1,b2,…,bn)

线性相关的充要条件是：对向量组T:a1,a2,

…,an,

若存在T的部分组线性相关，则向量组T含有零向量的向量组注：（1）（2）（3）对应分量成比例.若向量组

T线性无关，则T的任一部分组必线性无关。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性一定线性相关．一定线性相关；(1)向量组T线性相关的充要条件是：2.向量组的线性相关性的判定定理存在一组不全为零的数k1，k2,

…，km,使

k1a1+k2a2+

…+kmam=0第四章n维向量

§2向量组的线性相关性定理4.2：设T:是由m个n维的向量组成的向量组，则有下列结论成立：(2)向量组T线性无关的充要条件是：对任意一组不全为零的数k1，k2,

…，km,

k1a1+k2a2+

…+kmam≠0或如果

k1a1+k2a2+

…+kmam=0,则

k1=k2=

…=km=0.例4.12已知向量组

a1,a2,a3

线性无关，证明：a1+a2,a2+a3,a3+a1

也线性无关.第四章n维向量

§2向量组的线性相关性证明：假设解得：由定理4.2得，也线性无关．

整理得：因为向量组线性无关，所以例4.13

讨论向量组，，的线性相关性．解：设，于是我们得到关于k1,k2,k3的方程组:解方程组得：所以由定理4.2得，线性无关．

第四章n维向量

§2向量组的线性相关性系数矩阵R(A)<m.定理4.3

设是n维列向量组，,则线性方程组AX=0有非零解;线性相关;第四章n维向量

§2向量组的线性相关性矩阵存在不全为零的数k1,k2,…,km,使得适合具体向量组适合抽象向量组R(A)=m.线性方程组AX=0仅有零解;线性无关;注：如果

k1a1+k2a2+

…+kmam=0,则

k1=k2=

…=km=0.第四章n维向量

§2向量组的线性相关性例4.13

讨论向量组，，的线性相关性．解：以为列向量作矩阵A,所以A的秩为3(等于向量的个数）.因此线性无关．

则第四章n维向量

§2向量组的线性相关性推论1

：

若m>n，即向量组中向量的个数大于向量的维数时，第四章n维向量

§2向量组的线性相关性则该向量组一定线性相关．是m个n维向量构成的向量组。设例4.14(1)n+1个n维的向量一定线性相关。(2)问a,b,c为何值时，向量组线性相关。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性

推论2

：若m=n,即向量的个数等于向量的维数时，推论1

：

若m>n，即向量组中向量的个数大于向量的维数时，第四章n维向量

§2向量组的线性相关性|A|=0列向量组线性相关则该向量组一定线性相关．是m个n维的向量构成的向量组。设例4.16设问t为何值时该向量组一定线性相关。例4.15证明：n维单位坐标向量e1,e2,…,en

线性无关。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性推论3

:

设m个n维向量组a1,a2,…,am

线性无关，则在每个向量ai上添加s个分量后，所得的n+s维

推论2

：若m=n,即向量的个数等于向量的维数时，推论1

：

若m>n，即向量组中向量的个数大于向量的维数时，向量组b1,b2,…,bm仍线性无关。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性|A|=0列向量组线性相关则该向量组一定线性相关．是m个n维向量构成的向量组。设练习1用各种方法判别线性无关.练习2已知是否线性相关。试讨论向量组第四章n维向量

§2向量组的线性相关性解法一：施行行初等变换变成行阶梯形矩阵，即可看出矩阵A的秩，利用定理4.3，即可得出结论。对矩阵第四章n维向量

§2向量组的线性相关性可见故向量组线性无关。解法二：由于行列式所以向量组线性无关。=16≠0(向量的个数等于维数)第四章n维向量

§2向量组的线性相关性解法三：设有一组数x1,x2,x3

使即方程组只有零解x1=x2=x3=0，所以向量组线性无关。第四章n维向量

§2向量组的线性相关性小结给定m个n维向量构成的向量组：

是抽象向量组，是具体向量组，当m>n时,当m=n时,若当m<n时，若一定线性相关；线性相关；线性相关。线性相关.若存在不全为零的数k1,…，km使k1a1+k2a2+

…+kmam=0则判别线性相关的方法如下：1)为列向量作矩阵A.则2)，则，则以第四章n维向量

§2向量组的线性相关性且表示式是唯一的。

命题：设向量组

线性无关，而线性相关，则向量必能由向量组线性表示，向量组第四章n维向量

§2向量组的线性相关性§3向量组的秩★向量组的极大线性无关组★向量组的秩第四章n维向量

§3向量组的秩引例：考察线性方程组：注意到方程组中：11111−12−23−15−3B=x+y+z=1①x−y+2z=−2②3x−y+5z=−3③(1)(2)第四章n维向量

§3向量组的秩则有a1与a2,线性无关但a1+2a2=a3考查方程组(1)所对应的矩阵B,若记B的三个行向量分别为a1,a2,a3,①+2②=③，这说明方程组(1)同解于方程组一、向量组的极大线性无关组与秩(2)向量组T中任意一个向量都可由定义5

若向量组T中由r个向量组成的向量组满足:(1)向量组

线性无关；线性表出.则称是向量组A的一个极大线性无关组。1.向量组的极大线性无关组第四章n维向量

§3向量组的秩注：

由定义知，若T本身线性无关，则T的极大线性无关组就是它自己。例4.17全体n维坐标向量构成的向量组记为Rn，则n维单位坐标向量e1,e2,…,en是Rn的一个极大线性无关组。

任意n个n维线性无关的向量都是Rn的一个极大线性无关组事实上，第四章n维向量

§3向量组的秩例4.18

求向量组极大线性无关组。

因为a1≠0,所以a1线性无关；又因为a1，a2对应分量不成比例，所以a1

、a2线性无关；又因为解第四章n维向量

§3向量组的秩所以a1

，a2

，a3线性相关；又因为所以a1

，a2

，a4线性无关。

因而a1

，a2

，a4是该向量组的一个极大线性无关组。同理可得：a2,a3,a4也是该向量组的极大线性无关组。第四章n维向量

§3向量组的秩定理4.4向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一，即一个向量组若有多个不同的极大线性无关组，则它们包含的向量个数相同．

第四章n维向量

§3向量组的秩定义6一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩．2.向量组的秩定义7矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.二、矩阵的秩与向量组的秩的关系问题矩阵的行秩、列秩与矩阵的秩之间有何关系？如何借助矩阵理论来研究向量组之间的关系？第四章n维向量

§3向量组的秩引例：假设矩阵(1)讨论B的列向量组相关性，并求出其一个极大线性无关组;的线性(2)求矩阵B的行秩、列秩及秩.第四章n维向量

§3向量组的秩设mn矩阵经过行初等变换化为矩阵，于是存在可逆矩阵P,使得B=PA,

即对任意的r(1≤r≤n)，由于分析第四章n维向量

§3向量组的秩于是这表明:

矩阵的行初等变换不改变列向量之间的线性关系.

第四章n维向量

§3向量组的秩的极大线性无关组；为的极大线性无关组，则为则对应的即如果定理4.5

矩阵的行初等变换不改变矩阵列向量组的线性关系.

并且如果行初等变换定理4.6

矩阵的秩等于它的秩，也等于它的列秩。

另一方面，A的行秩等于AT的列秩。

综上可得：

A的行秩=A的列秩=A的秩证明设A为mn矩阵，且R(A)=r.并且假设其中B为行标准形矩阵，第四章n维向量

§3向量组的秩则R(B)=R(A)=r.因为B的列向量组的秩等于矩阵B的秩。故由定理4.5可得：A的秩等于A的列向量组的秩等于r.当r=m时，当r<m时，(2)当r=n时，当r<n时，推论设A为mn矩阵，R(A)=r,则第四章n维向量

§3向量组的秩A的行向量组线性无关；A的行向量组线性相关。A的列向量组线性无关；A的列向量组线性相关。定理4.6

矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。例4.19设向量组（1）求向量组的秩，并讨论它的线性相关性；（2）求向量组的一个极大线性无关组；（3）把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合.第四章n维向量

§3向量组的秩解第四章n维向量

§3向量组的秩以为列向量作矩阵A,并对A作行初等变换：(1)于是R(A)=3,从而向量组的秩为3.(2)由于向量组的秩小于向量的个数，所以向量组线性相关.(3)向量组的一个极大线性无关组是，且第四章n维向量

§3向量组的秩练习：设向量组（1）求向量组的秩，并讨论它的线性相关性；（2）求向量组的一个极大线性无关组；（3）把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合.第四章n维向量

§3向量组的秩解以为列向量作矩阵A,并对A作行初等变换：(1)于是R(A)=3,从而向量组的秩为3.(2)由于向量组的秩小于向量的个数，所以向量组线性相关.(3)向量组的一个极大线性无关组是，且第四章n维向量

§3向量组的秩§4.5线性方程组的解的结构第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构本节考虑一般的线性方程组第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构的以下三个问题：(1)方程组在什么条件下有解？(2)当方程组有解时，它有多少解？这些解之间有什么关系？(3)当方程组有解时，怎样求出它的全部解？记则上面的方程组可写为：称方程组为方程组齐次线性方程组，简称为导出组．注：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构的导出1.齐次线性方程组解的判别

当R(A)=n时，方程组只有零解；当R(A)<n时，方程组有无穷多个非零解。特别地，当m=n时，若|A|≠0，方程组只有零解；若|A|=0,方程组有无穷多个非零解。第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的结构2.齐次线性方程组解的结构注：方程组AX=0的每个解X=[x1,x2,…,xn]T都可以看成一个n维向量，称为方程组AX=0的解向量。性质1若

1、

2是方程组AX=0的两个解向量，则

1+

2也是AX=0的解向量。性质2若是方程组AX=0的解向量，l是任意实数，则l

也是AX=0的解向量。第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构

定义4.7

称齐次线性方程组的一组解

1,

2,…,

s为该方程组的一个基础解系，若满足:

（1）

1,

2,…,

s线性无关；（2）该齐次线性方程组的任意一个解都可以由

1,

2,…,

s线性表示．注：

由定义知，齐次线性方程组的基础解系实际上就是该方程组全体解向量所组成的向量组的一个极大线性无关组．于是，解一个齐次线性方程组AX=0，只需求出它的一个基础解系即可．第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构问题：AX=0的基础解系中含有几个解向量？怎么求？引例求方程组的通解。解因为第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构所以方程组的通解为：表示成向量的形式即为：（x3,x4为任意常数）基础解系第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构必要时可调整相应未知量的位置若R(A)=r<n,则A行初等变换一般地，对齐次线性方程组Am×nX=0第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构则齐次线性方程组AX=0的解可表示为:其中xr+1、xr+2…、xn为n−r个自由未知量．第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构表示成向量形式为：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构则方程组通解为：令

1.线性无关2.是方程组的解3.任一解都可由他们线性表出基础解系定理4.7

设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩

R(A)=r<n，则该方程组必存在基础解系，并且基础解系中所含的解向量的个数为n−r．第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构3.齐次线性方程组的解法只有零解N秩(A)<n?行阶梯形解AmnX=0初等行变换Y行最简形解最简方程组初等行变换A例4.20求齐次线性方程组解对系数矩阵A

施行初等行变换变为行最简形矩阵：的通解和基础解系.-2r1+r2-r1+r3第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构得原方程组通解为：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构得通解的向量形式：其中为任意实数。基础解系为：求解齐次线性方程组解例4.21第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构得原方程组通解为：得向量形式的解：其中k是任意常数。第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构引例

求解下列非齐次线性方程组1.非齐次线性方程组解的判别定理第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构二、非齐次线性方程组解的结构解（1）因为增广矩阵行初等变换所以方程组有唯一解：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构（2）因为增广矩阵所以原方程组的通解为：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构行初等变换(x3为任意常数)即（3）因为增广矩阵所以原方程组的同解方程组为：方程组无解.第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构行初等变换行初等变换行初等变换行初等变换唯一解无穷多解无解方程组AX=B有解B可由A的列向量组线性表出向量组与向量组的秩相等非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：定理4.8第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构事实上，第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构注：

对非齐次线性方程组Am×n=B，有当时，方程组有无穷解；时，方程组有唯一解．当(1)当时，方程组无解；(2)当时，方程组有解，且特别地，当m=n时，

若|A|≠0，则方程组有唯一解；

若|A|=0,则

(i)时方程组有无穷多解。(ii)时方程组无解。例4.22

判断下列方程组解的存在性(1)(2)第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构2.非齐次线性方程组解的结构(1)解的性质性质1：若是非齐次线性方程组AX=B的解，则是其导出组AX=0的解。设是方程组AX=B的解。则是其导出组的解，是方程组AX=B的解，性质2：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构定理4.11设h是非齐次线性方程组AX=B的一个任意给定的解（通常称为特解），则方程组AX=B的任意一个解X都可以表示为：其中g是其导出组AX=0的解.第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构(2)解的结构是AX=0的基础解系，设h是非齐次线性方程组AX=B的一个特解，则AX=B的通解为：注：3.非齐次线性方程组的解法初等行变换[AB]行阶梯形秩(A)=秩([AB])?初等行变换Y无解N

解Amn

x=B

行最简形解最简方程组第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构例4.24

求下列非齐次线性方程组的通解和导出组的基础解系：(1)(2)第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构解(1)因为R(A)=R(A)=2<未知数个数，所以原方程组有无穷多解，且其通解为：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构即（x2,x4为任意常数）导出组的基础解系为：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构(2)解因为R(A)=R(A)=4=未知数个数，所以原方程组有唯一解：第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构例4.23

l为何值时，方程组(1)有唯一解？(2)无解？(3)无穷多解？并求通解。

法一：系数行列式法解第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构所以，即时,方程组有唯一解；当时，,方程组无解;当,第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构,方程组无解.当时，,第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构,方程组无穷多解.当时，原方程组的通解为：(x2为任意常数)即法二：初等变换法设方程组的增广矩阵实施行初等变换于是当时,,方程组无解;,,方程组无穷多解.当时,时，当,方程组有唯一解；第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构当时,,方程组无解;,例4.23

l为何值时，方程组有唯一解？无解？无穷多解？第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构解

法一：系数行列式法所以，即时，方程组有唯一解；当时，,方程组无解;,方程组无穷多解.当,当时，第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构法二：初等变换法设方程组的增广矩阵实施行初等变换于是当时,,方程组无解;,,方程组无穷多解.当时,时，当,方程组有唯一解；第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构例4.25a,b取何值时，方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)无穷多解并求解.解因为所以当a≠2时，方程组有唯一解；当a=2且b=1时，无穷多解，此时当a=2且b≠1时无解；第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构所以方程组的通解为：即（x3为任意常数）第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构(2)a,b取何值时，例4.26已知，问(1)a,b取何值时，不能由线性表示；能由惟一地线性表示，可由线性表示，(3)a,b取何值时，并写出此表达式；但不唯一。第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构解假设，即则问题(1)(2)(3)分别对应于a,b取何值时，线性方程组(*)无解，有唯一解及有无穷多解。(*)第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构

(i)a≠1时，,能由唯一地线性表示，此时

(ii)a=1时，,能由线性表示，但表达式不唯一.所以(1)当b≠2时，方程组(*)无解，不能由线性表示(2)当b=2，方程组(*)有解.第四章n维向量

§4.4线性方程组的解的结构§4.5

n维向量空间

★向量空间的概念、基、维数第四章n维向量

§4.5n维向量空间

设V是由同维向量所组成的集合，如果集合V对于向量的加法及数乘两种运算满足：定义4.18一、n维向量空间的概念第四章n维向量

§4.5n维向量空间1.向量空间的定义则称集合V为向量空间.（1）加法封闭（2）数乘封闭及实数k，必有必有即对任意的即对任意的例4.28第四章n维