微分几何习题及答案解析

微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE26/2826/2826第一章曲线论§2向量函数 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×r'(t)= 0。分析：一个向量函数(t)一般可以写成(t)(t)t)的形式，其中t)为单位向量函数，t)为数量函数，那么(t)具有固定方向的充要条件是t)具有固定方向，即t)（因为t)的长度固定。证对于向量函数(t)，设t)为其单位向量，则(t)(t)t)，若(t)具有固定方向，则t)为常向量，那么't

='(t)

，所以

×

'（

×

）=0。反之，若

对(t)=(t)t) 求微商得

'

e

于是 2

×'

=0 ，

='

+ ， × r'= （×

0则有

=0或×

0 当

(t=0时，r(t0可与任意方

'

（

e)2 e2e'e

ee· )e

e'2

因为e0

× =0， '

=

＝ （具有固定长，e·

=0），所以

=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。向量函数(t)平行于固定平面的充要条件是（r'''）=0。(t)(t)，使 r(t·n =0，所以我们要寻求这个向量n及n

，''的关系。证若 证若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向=0。量，且(t)· 两次求微商得'· =0，'·=0。'

r' 0，即向量rr' 于同一非零向量，因而共面，即（r'''）=0'

反之,若（

r''）=0，则有r×r'=0 或r×r' 0。若r×r'=0，由上题①具有固定方向，自然平行于一固定平面，若①

0，则存在数量函数(t)、(t，使''

= r+微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE27/2827/2827令=r×'，则 ，且(t)⊥(t)。对=×'求微商并将①式代入得n r n 0 r n n r r

n'=r×r''=

（r×r'n于是n×n'=0 由上题知n有固定方向而r(t) n，r(t平行于固定平面。§3曲线的概念3.证明圆柱螺线r={acos,asinb)z证明 r'

{-a

sin

,acos

,b

设切线与z轴夹角为 ,则cos a2b2a2b2=| |r||e|

b 为常数，故为定角（其中kz。10.将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。解r'

-asin

,acost

,b}，s=

a2b2st|r a2b2t，所以ta2b2s0a2ba2b2

s ,asin s , bs }a2a2b2a2b2求圆柱螺线x=acost，y=asint，z =bt在任意点的密切平面的方程。解r

-asin

,acost

,b},r''={-

acost

asin

,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为xacosasintacost

yasinacostasint

zbtb0

=0，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0.求曲线r ={tsint,tcost,tet }在原点的密切平面、法平面、从切面切线、主法线、副法线。微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE28/2828/2828t=0,r

(0)={ sint+tcost

,cost

tsin

,e

+tet

t

={0,1,1}，r''(0){2costr

tcost

,cost

tsin

,2e

+tet

t

={2,0,2}，所以切线方程是xyz

，法面方程是y+z=0；0 1 1x y z密切平面方程是0 1 1=0，即x+y-z=0，2 0 2xyz0主法线的方程是

即x

y z ； yz0

2 1 1从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式xy z 。1 1 1证明圆柱螺线x=acost，y=asint，z =bt的主法线和z轴垂直相交。' -

, - ,-

' 证r={

asin

acost

b}, r''={

acost

asin

0}，

r知r为主法线的方向向量，而r''k0所以主法线与z轴垂直；主法线方程是xacostyasintzbtcost sint 0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。x=coscost,y=cossint,z=tsin位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解r'={-cossint,coscost,sin }, r''={-coscost,-cossint,0} r''| |r''|

{sinsint,-sincost,cos }新曲线的方程为r={coscost+sinsint，cossint-sincost，tsin +cos }对于新曲线

r'={-cos sint+sin cost，cos cost+sin sint，sin }={sin(-t),cos(-t),sin},r''={-cos(-t),sin(-t),0},其密切平面的方程是微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE29/2829/2829xcosacossin(at)cos(at)

ycosasincos(at)sin(at)

ztsinasina 0即sin sin(t-)x–sin cos(t-)y+z–tsin –cos =0.证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点证 方法一：r (t具有固定r长，所以r·r'=0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 r·r=0r(t具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：rr(t是球面曲线存在定点r（是球面中心的径矢是球面的半0径）使(rr0

)2R22(rr0

r0 ，即(rr0

)r0 （﹡）而过曲线rr(t)上任一点的法平面方程为(r)r0 。可知法平面过球面中心（﹡）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。求以下曲面的曲率和挠率r⑴cosht,asinht,at},r⑵r{a(3tt3),3at2,a(3tt3)}(a0)。r r 解⑴'{asinht,acosht,a}，''{acosht,asinht,0}，'''a{sinht,cosht,0}r r |r''| 2a2cosht 1r''sinht,cosht,1}，所以k |r'|3

( 2acosht)3( 2acosht)3微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE30/2830/2830,',''

a2 1 。(r'')

2a4cosh2t 2acosh2t ⑵r't2,2t,1t2}，r''t},r'''，×r'×

''=18a2

1,2t,t

|'|，k |r'|3

18a2 2(t2

13a(t2227a22 2(t21)3,'27a22 2(t21)3

186a32 1 。(r'')

182a42(t22 3a(t22 已知曲线r{cos3tsin3tcos2t}，⑴求基本向量；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解⑴r3cos2tsint,3sin2tcost,2sin2tsintcoscost,3sint,4，ds

3 3 4|r't)5sintcost,（设sintcost>0，则 cost,sint,}，dt |r'| 5 5 5

dt 1 3 3

{ sint, cost,0} ， {sint,cost,0}，dt ds 5sintcost 5 5 || 4 4 3{ cost, sint, }，5 5 5⑵k| 3 4 sint,cost}

与方25sintcost 25sintcost向相反，所以|

425sintcost

⑶显然以上所得,k,,满足 k,，而 15sintcos

{cost,sint,} 也满足伏雷内公式。证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝，则曲线在任意点的切线方程是(t)'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE31/2831/2831 r(t)rt)，可见rr'，所以r具有固定方向，故r＝r(t是直线。r方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝(t，则曲线在任rrrrr(t)'(t)，由条件切线都过坐标原点，所以t)'t)，rrrr r＝r''，rr''＝0，k＝０，所以曲线为直线。r0

r＝r(s)，则曲线在任意点的切线方程是r(s)(s)，由条件切线都过定点r0

，所以r0

r(s)(s，两端求导得:(s)(s),即((s)0 ，而(s),(s)无关，所以10可知0,(s)0，因此曲线是直线。 r证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝(t，r('在任意点的密切平面的方程是(t)) t)''t))0 ，由条('

r r r r(t)(r'(t)r''(t))0（rr'所以r平行于一固定平面 即r＝r(t)是平面曲线。rr＝(s)，则曲线在任r意点的密切平面方程是(

r(s))

0，由条件(s)

0，两边微分并用伏雷内r r

公式得 r(s)0。若r(s)0,又由r(s)0可知r(s)∥r(s),所以r＝rr(s)平行于固定方向，这时r＝(s)表示直线,0，从而知曲线是平面曲线。rrr方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝(t，则曲线在任r意点的密切平面方程是(t)) t)''t))0 ，由条件('rrr ('rrr

r(t(rtrt0，即r'r''）=0，所以rr'r''共面，若rr'，则r微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE32/2832/2832r＝(trrrrrrrr'',r共面，所以r0，从而知曲线是平面曲线。 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e线。 证方法一：根据已知

e0，若是常向量，则k=||=0，这时曲线是直 线。否则在e0两边微分得·ek·e=０,所以·e又因e0，所以 而为单位向量，所以可知为常向量，于是|0，0，此∥e， | |曲线为平面曲线。 r＝r(t，r·e＝０，r·e＝０，

r·e＝０，r，r''r共面，所以（r'r''r）＝０。由挠率的计算公式 可知0rr''＝0时是直线。 r＝r(tr·e（p是常数。 因repr＝r(tr有固定方向时为直线。证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。r证明设曲线（Cr＝(s)k为常数,其曲率中心的轨迹（C）的方程r 1 为：r(s) (s) （为曲线（C）的主法向量，对于曲线（C）两边微分k得'(s)1() （，，分别为曲线（C）的单位切向量，k k

2

||

3 副法向量和挠率，

''

，|

'| ，

，曲线（C）的曲率为 |为k

''|

k k k k2||3||3k2||3k3|'|3设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE33/2833/2833线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证设曲线Γr=(s)与(s)s与s

ds

ds 则(s)=(s),两端对s求微商得 ,即(s)k(s) 这里k 0，ds ds k=||=0，则无定义)，所以即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。 证设,分别为曲线Γ、的切向量,, 分别为曲线Γ、的主法向量,

(s)

(s)

d

s ＝ ds

ds ds ds kk(s)ds

将①式代入 k)ds

0。所以·＝常数，故两曲线的切线作固定角。若曲线Γ的副法线,Γ,.求证k=0

2+2),其中0

为常数。

证设Γrr(s，则r(s(s)(s)，的切向量

=+

+

（－k

）与垂直，即

'

＝

＝０，所以为常数，设为0

＝（１－0

k）+0

''＝－0

k＋（１－0

k）k＋－0

，''·＝（１－22

k）k－0

2＝０，k=0

2+2)。曲线r={a(t-sint),a(1-cost),4acos

t}在哪点的曲率半径最大。2r'

t

t t解 =a{1-cost,sint,-2sin }

''=a{sint,cost,-cos }, |r'|

|sin |,2×r'2×

2 2 2 t t t t t t t''=a2sin3 ,2sin2 cos ,4acos }2a2sin2 {sin ,cos ,2 2 2 2 2 2 2微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE34/2834/2834 | | r'×r''|=2a2sin

t 2 , k2

r''||r|3

18a|sint|2

, R8a|sint|,2t=(2k+1)，k为整数处曲率半径最大。§5一般螺线5.证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.证法一:当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量是常向量. 即0。曲线的挠率的绝对值等于|

|为零，所以曲线为平面曲线。 证法二：设n是固定直线一向量，则r'·n=0，积分得r·n=p ,说明曲线在以n为法向量的一个平面上,因而为平面直线。 证法三：设n是固定直线一向量，则r·n=0，再微分得r''·n=0，r·n=0 r'、r''、r（r'r''r0=0，因此曲线为平面曲线。7． 证设一曲线为＝r(s)则另一曲线的表达式为r(s)(s)(s) ，(s)为曲线Γ在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。'

＝＋

－

与正交，即

'·＝０，

＝－，'

＝k

－（－k＋

）也与

正交，即

''·＝-2=0,而 ０,所以有＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线为平面曲线。

....9．证明曲线r＝r(srrr0微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE35/2835/2835证

2

,...

(3

2) (,,..)3(2)33)

2

＝5()，其中k 0.曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为(,,)0。

为常数()=0,也就是方法二：(,,)0，即

,,

)

0r＝为一般螺线，则存在常

·=常数，所以,,,共面，从而, ,

（,,

）=0。反之，若（,,

）=0，则

平行于固定平面，设固定平面的法 矢为，则有e0，从而· =p(常数)，所以r＝r(s)为一般螺线。方法三：曲线r＝为一般螺线存在常向量e使e，即e0平行于固定平面（以e为法向量的平面）r平行于一固定平面(r,r,r)0 。方法四：设r＝为一般螺线，存在常向量e使e=常数，即re常数，连续三次求微商得re0,re0re0，所以(,,)0。""因为(,,)0，所以rn（常向量，则rn，而rn，所以曲线为一般螺线。Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平比例，因此如果Γ为一般螺线,则也为一般螺线。证设曲线Γ：r=(s)与(s)点建立了一一对应，使它们对应点的切微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE36/2836/2836 ds线平行，则适当选择参数可使 (s)=(s),两端对s求微商得 ,即ds ds ds

k(s)k(s) ，这里 0，所以有=，即主法线平行，从而(s)=ds ds

，即两曲线的副法线也平行。且

ds,或

ds。两边对s求微商得ds ds ds ds ds (s)(s) ，于是 ,或 ，所以， 或 。ds ds ds 第二章曲面论。§２曲面的第一基本形式求双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 r {a,b,2v},ru

{a,b,2u},Er2a2b24v2,u Fr ru

a2b24uv,Gr2a2b24u2,v∴I=(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2。２．求正螺面r={ucosv ,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲互相垂直。 解 r {cosv,sinr sinv,ucosv,，Er21，Fr

0，u v u u vGr2u2b2，∴I=du2(u2b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。v微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE37/2837/2837Idu2sinh2udv2uv的弧长。ds2du2sinh2udv2,沿曲线uv有du=dvds2得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2，ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v到v 的1 2弧长为|v2coshvdv||sinhvv 21

sinhv|。14．设曲面的第一基本形式为Idu2u2a2)dv2，求它上面两条曲线uv=0,u–v=0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。Ev

0u2a2，uv0uv0u0,v0,E1，F 0Ga2u+v=0du=-dv,u–v=0δu=vEdu2Gdv2 22δv,设两曲线的夹角Edu2Gdv2 22

1a2 。1a26.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv,则有EduδuF(duδv+dvδu)+Gdvδv=0,dv=0duu-Eδu+Fδv=0.同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0.Edu2=Gdv2.证用分别用δ、、du－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu沿v－曲线u＝０，vdu:dv,根据题设条件,又交角公式得微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE38/2838/2838(EduvFdvu)2(FduvGdvv)2，即(EduFdv)2(FduGdv)2。2ds2 Gv2ds2 E Guu=avV=1ovu=-avE(EG-F2du2=G(EG-F2dv2EG-F2>0，EG-F2得坐标曲线Edu2uu=avV=1ovu=-av9I=du2u2a2)dv2uav,v=1解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是2S=0 u2

2 2 a du dv u

12 2 a u 0 a a 1 a u=2u

a2dudv=2 ) u2a2dua0 u 0au2u2a2u2a2=[ (u2a2)2u3a

a2ln(u

)]|a02=a2[223

2)] 。11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,t21}u21(t>1,0<<2)之间可建立等距映射u21分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 =arctguvt=u21有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE39/2839/2839证明螺面的第一基本形式为I=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一I=

t2)dt2t2d ,在旋转曲面上作一参数变换

=arctgu+v,t21u2u21u21 u2 1 ) du2(u2dudv)2u2 u

1 1u2u21 1=( 2

du22dudv(u22=2du2+2dudv+(u2+1)dv2=I.u2 1u2u2所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射u2§3曲面的第二基本形式计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解r={sinhucosv,sinhusinv,1},ru

={-coshusinv,coshucosv,0} r ={coshucosv,coshusinv,0},ruu

={-sinhusinv,sinhucosv,0}, r ={-coshucosv,-coshusinv,0},Er2=cosh2u,Fr r=0,Gr2=cosh2u.vv u u v v所以I=cosh2udu2+cosh2udv2 . = r r=EGFEGF2

= 1cosh2u

{coshucosv,coshusinv,sinhusinv},sinh21sinh21

coshu

1,M=0,N=

coshu

=1.sinh21所以II=-du2+sinh21计算抛物面在原点的2x

5x24xx 2x2第一基本形式,第二基本形式.3 1 1 2 2微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE40/2840/2840 5解曲面的向量表示为r{x,x, x22x

x2},1 2 2 1

1 2 2r rx 11

2x2

}(0,0)

,rx2r

{0,1,2x1

2x2

}(0,0)

rxxr11

, r ,r2xx xx21 2

{0,0,2},E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,I=dx2dx2,II=5dx24dxdx 2dx2.1 2 1 1 2 2证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-∞<u,v<∞EN-2FM+GL=0。 解r {cosv,sinv,0},ru v

{usinv,ucosv,b}，ruu

={0,0,0},

r ={-uucosv,cosv,0},r ={-ucosv,-usinv,0},Er21，Fr

0，uv vv b

u u vu2b2Gr2u2u2b2v

,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.z

1(ax2by2在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.2 解r x

(0,0)

,ry

(0,0)

,rxx

,rxy

{0,0,0} adx2bdy2r ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,dx:dykyy

.dx2dy26.kn本量成比例。

II,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基IR1/R(u,v)，du:dvII Ldu22MdudvNdv2 1 1 L M N 1k 或-，所以 ( )，即第一、第n I Edu22FdudvGdv2 R R E F G R二类基本量成比例。zxy2的渐近线.微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE41/2841/2841 解曲面的向量表示为rx,yxy2}rx

{1,0,y2},ry

rxx

{0,0,0}, r {0,0,2r {0,0,2x},Er214y4,Fr r 2xy2,Gr214x2y2.2214x14x2y2y4

,N 2x .14x2y2y4渐近线的微分方程为Ldx22MdxdyNdy214x2y2y4即yc1

c2ydx=-xdy,即lnx2yc1

,或x2yc,c为常数..证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线:rr(s)，它的主法线曲面为S:(s,t)r(s)t(s)，(s)t(s)t()(1t)，s

，s

t(1t)在曲线上，t0s t

,曲面的单位法向量n

s tEGF

，即n，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线.解rr {cosv,sinv,0},解rru

{usinv,ucosv,

， r ={0,0,0} ，uu r ={-ucosv,-usinv,0}，r ={-sinv,cosv,0},Er21，Fr

0，vv uv b

u u vu2b2Gr2u2u2b2v

,N=0,曲率线的微分方程为:dv100b

du2u2b2u2b20,即dvu2b2u2u2b2

du,积分得两族曲率线方程:微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE42/2842/2842vln(u

)cu2u2b2

和vln(

u)c.2u2u2b21a2x2a2y2解E1a2y2Fa2x2y2G1a2x1a2x2a2y2

a ,N=0.dy21a2x20

dxdya2x2ya

dx21a2x2=0得(1a2y2)dx2(1a2x2)dy2,积分11a2x2a2y21a2y2得两族曲率线为ln(ax 1a2x2)ln(1a2y2r求曲面r

a uv b uvuv上的曲率线的方程.{ ), 2 2 2{ ), 解E

a2b2v2,Fa2b2uv,Ga2b2u2,L0,4 4 4ab2ab2EGF2(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,积分得:a2a2b2u2

)ln(v

)c .a2b2a2b2v2 LLdn

drL有n=常数,求微商n

得n

n0而n//dn//dr

正交,所以n0,即-

·n=0,则有=0,或 ·n=0. 若=0,L=0L

=0，n微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE43/2843/2843n ndn0nL平面曲线.

，所以

为常向量，L是一 证法二：若

n ，则因ndr‖ ，所以n‖ ，所以dn‖，由伏雷nnd‖（）LLd‖，所以有=0,从而曲线为平面曲线；nnnn若不垂直于，则有=常数,求微商得nn0,Lnn所 Ldndr，所以n0，所以n0·n=0，若=0，则 问题得证；否则·n=0，则因n0，有n‖，dn‖d‖（-）‖ ，矛盾。如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。求正螺面的主曲率。解设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.解 {cosv,sinv,0},

{usinv,ucosv,b}，

={0,0,0}，r ruuu vuu r ={-ucosv,-usinv,0}，r ={-sinv,cosv,0},Er21，Fr

0，vv uv b

u u vu2b2Gr2uu2b2v

,N=0,代入主曲率公式（EG-F2）2N

-（LG-2FM+EN）

+LN-M2=0得2N

=(u

a2。a2)2所以主曲率为1

au2a2

, 2

a。u2a2微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE44/2844/2844z=a(x2y2)在（0，0）点的主曲率.解曲面方程即ryy

{0,0,2a}{x,y,a(x2y2)}x

2ax}ry

{0,1,2ay}，r {0,0,2a}xx

{0,0,0},ryy

{0,0,2a}点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0N=2a.所以

2-4aN

+4a2=0，两主曲率分别为N 1

=2a,

=2a.2证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为 、 ，任给一方及与其正交的方1 22向+ ，则这两方向的法曲率分别为()cos2 sin2，2n 1 22 2 )cos2 sin2 )sin2 cos2 ，即2 2 n 1 2 1 22 为常数。2n n 1 2证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.证由 cos2 sin2 得tg2 1 ,即渐进方向为n 1 2 212121

, =-arctg12

.又-2

+=21 1

为常数,所以为1

为常数,即1为常数.223.证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.证法一：如果曲面的平均曲率为零,由上题曲面上的点都是双曲点或平点.若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.19满足tg21=1,2微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE45/2845/2845即=/4, =-/4,两渐近线的夹角为 ,即渐近曲线网构成正交网.1 2 2证法二：H0LG2FMNE0Ldu22MdudvNdv20du du duu N du u 2ML(dv)2

dvN0

dv

, L dv

L

，所以EduuF(duvdvu)vv[EduuF(duu)G]dvv dv vN 2Mv[E F( G0 ，所以渐近网为正交网。L L证法三：M0 H1)0 ，所以高斯曲率 K

0 ，所以2 1 2 1 2LNM20，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两族渐近线为坐标网，则L=N=0，若M=0，曲面上的点是平点，若M0 ，则H0LG2FMNE0 ，所以MF=0，所以F=0，所以近网为正交网。26SS1 2

交于一条曲线（C，而且（C）S1

的一条曲率线，则S2

S、S1 2

沿着（C）相交成固定角。S S1

交于曲线（Cnn2 1

SS1

的法向量，则沿 交线（Cn与nn·n=常数，这等价于d(n·n1 2 1 2 1

)=0,即 dn·nnn=0是S的一条曲率线，因此dn1 2 1 2 1

与的切向量dr共 线，则与n 正交，即dn·n=0，于是nn=0，又dn⊥n，所以n·dn=2 1 2 1 2 2 2 1 2 dn·n=0dn1 2

//dr，即（C）是S2

的曲率线。微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE46/2846/2846§4.直纹面和可展曲面r 1 2r

={u

v,2u3uvu4 u2v}是可展曲面.3 3证法一：已知曲面方程可改写为

1 2r2,2u3u4}+v{ u, u2}r3 3a(u={u2,2u3u4b(u={1u2u2}，则ra(uvb(u，且b(u)0，这是直3 3纹面的方程，它满足(a',b,b')

6u21 u3

,所以所给曲面为可展曲面。4u4u32u234u3=0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。证法一：曲面的方程可改写为ra(vub(va(v={cosv-vsinv,sinv+vcosv,2vb(v={-sinv,cosv,1}，易见b2sinvvcosv 2cosvvsinv 2

0，所以曲面为直纹面，又因为(a',b,b')= sinvcosv

cosvsinv

10证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。证法一：原曲面的方程可改写为a(u={0,0,au+b},b(u={cosu,sinu,0}.易见b(u)0 0 a

r=a(u)+vb(u)，其中0,所以曲面为直纹面,又因为(a',b,b')=cosu sinu 0=a0.故正螺面不是可展曲面。sinu cosu 0微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析47/2847/284747/2847/2847证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。（C）:aa(s(sra(sv(s),因为1微分几何习题及答案解析微分几何习题及答案解析PAGEPAGE53(a0，故(s1

):ra(s)v(s)不是可展曲面。（C）aa(s)(Sra(s)(s)2 (a,,(,0，故(Sra(s(s不是可展曲面。2证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。证柱面(S)的方程可写为r=a(u)+vbb 0 为常向量）因为1 0 0(a',b,b')=(a',b0

,0)0。故(S1

)是可展曲面。锥面(S2

)

r=a0

+vb(u)（a0

为常向量），因为(a',b,b(0,b,b')=0，故(S2

)是可展曲面。曲线（C）:aa(s)的切线曲面为 (S):ra(s)v(s) 。因为3(a',b,b(,,0，故(Sra(s)v(s是可展曲面。3§5 曲面的基本定理求证第一基本形式为ds2

du2dv2 的曲面有常高斯曲率。(u2v2c)2证 因为EG 1 ,F0 ，所以(u2v2c)2EG( G)uE( E1 2 2(v2cu2) 2(u2cEG( G)uE( EK [( ) (u

v)]G v

u2v2c

[(u2v2c)2

(u2v2c)2

]=4c故所给曲面有常高斯曲率。§6 曲面上的测底线2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率 d

sinudv, 其中表示曲线与经线的交角。n ds ds2 E uE=a2,F=0,G=a2cos2 E u2 G vk d2 G v

1 lnEcos

1 lnGsin

=d1ln(a2cos2u)sin =g ds

ds 2a ud

sinu

sin，而dv

1 sin

1 ，故

d

sinudv。ds acosu

ds acosu

g ds dsGRaG解法一：因为nR2a2 R2a2n aR

sin,(,n)，而

1,sina

，所以R2R2a2解法二：半径为a的圆的曲率为1aR2a2

，圆上每一点处的法曲率nRR2a2

1，由R222

22

，所以

。n g g

n R2a2

g Ra解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a的纬圆的测地曲率。由1题知所求即为v-线的测地曲率：1 lnG2 E uk 2 E ugv1cos2uR2a2因为所考虑纬圆的半径为a ，所以Rcosu1cos2uR2a2R所以gv

。R2R2a2求位于正螺面r={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线(Crcosvusinv0 0（u=常数）的测地曲率。0解易计算出E=1，F=0，G=a2u2，而（C）是一条v-曲线：u=u ,于是由02 E u 1 lnG 1ln(a2u2) u 2 E u00 gv 2 u a2u2

，可知（C）的测地曲率为

。gv a2u20证设旋转曲面为(S)，r{(t)cos,(t)sin,(t)}((t) 0)，则易计算出E='2'2F0,G2,于是子午线（t—曲线）的测地曲率为k 1 lnE1ln('2'2)0，故子午线是测地线。2 G gt 2 G 又平行圆（-曲线）的测地曲率为2 Et2'2'2t '22 Et2'2'2t '2'2kg

。g所以kg

0的充要条件是'(t)0 ，即

'(t)cos,'(t)sin,'(t)}{0,0,'(t)}t故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线。8．求证⑴如果测地线同时为渐近线，则它是直线；t⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线。证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以kg

0；又因为所给曲线是渐近线，所以k 0，而k2k2k

，所以k=0，故所给曲线是直线。n n gnn‖，n,(nn)(kn0)0，所以0，故所给曲线是平面曲线。方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n，所以dn，又因曲线是曲率线所以dn‖dr‖ 所以()‖ 所以0故所给曲线平面曲线。方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面。从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲