立体几何题型与方法理科

（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点上，线在面内，推出点在面内），2（1）.[注]：①两条异面直线在同一平面影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面斜线段

ab是夹在两平行平面间的线段，若abab（直线与直线所成角[0,90]）（向量与向量所成角[0,180（3）.l1l2是异面直线，则过l1l2PP且与l1l2都平行平面有一个或没有，但与l1l2距离相等的点在同一平面内.（L1L2L1L2平行的平面）（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）[注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a（×）（平面外一条直线②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面（×）（平面外一条直线③若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传⑥直线l与平面所成角相等，则.（×）（可能相交（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）P（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一PPA⊥aAO，得aPO（三垂线定理 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于个平面.（“线线垂直线面垂直（1）.面平行面面平行”）行线线平行”）（5）.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一POOA、OBl1,l2因为PM,OA,PM,OB则PMOA,PMOB.所以结论成 m2nm2n2d22mn（6）.两异面直线任意两点间的距离公式：l （为锐角取减，为钝角取加 综上，都取减则必有0 2（1）.a.coscos1cos2（1为最小角，如图 图 图（1）.SCh（Ch是高）②斜棱住侧面积：SC1l（C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）

矩

.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,，则cos2cos2cos21推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,，则cos2cos2cos22.（2）.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱Sh3V棱柱.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）S1Ch（底面周长为C，斜高为h2S侧

S

（侧面与底面成的二面角为ll b附：以知clcosab，为二面角alb则S1al①，S1lb②，cosab③①②③得 S底 DEFHGDEFHG简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.ABaADcACAb ，已知 Abacbc0则BCAD0

acb0,bac

c ACO，则ooACBOACAC平面OOBACBOFGH90°EFGHEFGHEFFGEFGH为正方形 S4R2.②球的体积公式：V4R33PPAB两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，AB点的经度.附：①圆柱体积：Vr2h（rh为高②圆锥体积：V1r2h（rh为高3③锥体体积：V1Sh（Sh为高3（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为ah

6a，S

3a2，S

3a2，得 33a26a 3a2R1 3a2RR 2a/ 3 2a 6a3

13

R33

RS

hO 注：①若a与bb与c共线，则a与c共线.（×）[当b0②向量abc共面即它们所在直线共面.（×）③若ab，则存在小任一实数，使ab.（×）[与b0④若a为非零向量，则0a0.（√）[这里用到b(b0b.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0，ab的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ab.c.共面向量：若向量a使之平行于平面a在a与的关系是平行，记作a∥.d.abPab共面的充要条件是存在实数对x、yPxayb②空间OPxOAyOBzOC(xyz1)PABC（OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四点共面）x、y、zpxaybzc推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、zOPxOAyOBzOC注：设四面体ABCD的三条棱，ABb,ACc,ADd, OQ△BCDAQ1(abcAQAMMQO3对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC 则四点P、A、B、C是共面xyz （3）.a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应z轴是竖轴（对应为竖坐标①令a=(a1,a2,a3bb1b2b3

ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3a∥bab

,a

(R)a1a2a3 1

b baaa2122a3aaba1b1a2aaa2122a3a (向量模与向量之间的转化：a2aa aa

aba

a空间两个向量的夹角公式cosa,b（a＝(a1a2a3)，b＝(b1,b2,b3)）

|a

|b

1 2 3 a2a2a2a2 b2b2 (x2x1)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n的法向量，ABA|ABnB

|nnCD②.异面直线间的距离d (l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2nCD为l1,l2间的距离ABarc

AB|AB||m

m为平面④.利用法向量求二面角的平面角定理：设n1n2分别是二面角l中平面n1n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2n1,n2反方，则为其夹角）.二面角l的平面角arc

m|m||n

或arc

m|m||n

（mn为平面的法向量证直线和平面平行定理：已知直线a平面ABaCDC、D、Ea∥的充要条件是存在有序实数对ABCDCE.（ABCDCE求解若不AB）.▲▲CD ▲BnAC一 经典例题剖ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP1OA2OB2OC PABCPABCxyAPxAByAC或对空间任一点O，有OPOAxAByAC。答案5OPOA2OB2OC∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)所以，点PABC共面．ABCDADEF所在平面互相垂直，点MNBDAEBM1BDAN1AEMN平面CDE MN平面CDENM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．答案:MBDBM1BD3MB1DB1DA1ABAN1AD1DE CDBAAB，所以MNMBBA(1DA1ABBA1AD1DE)2BA1DE2CD1DE．又CDDE MNCDDEMN不在平面CDE内，所以MN平面CDE,求证：AC1//CDB1；答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC⊥BCBC1ABCBC（II）CB1C1BEDEDAB的中点，EBC1DE//AC1DECDB1，AC1zCBAEC xAzCBAEC xA∴AC、BC、C1CCCA、CB、30），C（0,0，4），B（0,4，0），B（0,4，4），D（ 2（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC•BC13（2）CB1C1BEE（0,2，2）DE＝（－21AC＝（－3,0，4），∴DE1AC，∴DE∥AC1 转转转面面平 线面平 线线平行转 3 MPCPAD内找一点NMNPCPBD答案：（1）MPCPDE 1CD2

2ABMEBMEABM平面EA平面BM∥平面 （4分

1,y1,z

在平 内

由 zMNPB12z22

yMN

MNDB12y22N011NAEMN平面

（8分 22PCPBD所成的角为

1PC2,2,2，MN

， 为 2cos

23232

sincos 3

PCPBD232

（12分MPCPDE 1CD2

12ABMEBMEABM平面PADEA平面PADBM平面

（4分由（1）ABMEPA底面ABCDPAAB，又ABAB平面 同理CD平面PAD，AE平面AB ABME为矩 CD∥ME，CDPD，又PDME

PD平面

PD平面平面PBD平面 作MFEB故MF平面223223MF

，NE

NAENAEMN平面

（8分由（2）MFMPBDMPFPCPBD所成的角，设为sinMF PCPBD所成的角的正弦值为3根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的其逆定理；③垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小.（省市2007届高中毕业班第三次性检测）PABCDPDC是边长为2的正三角形，且与底ABCD是ADC60MPB的中点.PAABCDPA平面CDMDMCB移 答案：(I)DCOΔPDCPO⊥DC．PDCABCD，∴POABCDO．OAOAPA在底面上的射影．∴∠PAOPA3 3∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为 ……6A(300),P(00,3),D(010),B(320),C(010MPBM

3,1,3) ∴DM

3,2,3),PA(3,0,

DC(0,2,0) ∴PADM

33203

3)0 PADC

320

3)0 ……4(IIICM30,3),CB(310)BMC的法向量nx,y,z) nCM0x+z=0；

nCB0，从而3xy0由①、②，取x=−1，则y3,z1 ∴可取n(1,3,1)由(II)CDMPA(303)∴cosn,PA

n

23

10．∴所求二面角的余弦值为－10．……6 5 ，APNMN，由（Ⅰ）ABCD中，由于ADC，AOCDPOCD，则CD平面APO，即CDPA又在

MN

12

，CO//2

ABMN//CO则四边形OCMN为，所以MC//ON，在APO中，AOPO，则ONAP，故APMC而MC CDC，PA平面由（Ⅱ）MC平面PAB，则NMBDMCBRtPABPA

6,PB

10，cosPBAAB 10PA26PA2622cosNMBcos(PBA)

10故，所求二面角的余弦值为 D1（2007河北省唐山市三模）如图，D1点E段AB上11D1ECD45，求BD1EC的距离.解析：本题涉 几何线面关系的有关知识,本 结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题 AD1D1ED1EA1D所成的角为90。DFCEFD1F，则CED1F所以DFD1D1ECDDFD1452DFDD11D1F2易得RtBCERtCDF，所以CECD2，又BC1，所以BE 3。设点B到平面D1EC的距离为h. 11CEDFh11BEBCDD 3 3 63 ，∴h436BD1EC的距离为4∵DA1D1E1010∴DA1D1EA1D所成的角为90（Ⅱ）m00,1DEC的法向量，设nxyz为面CED1x2y2n(x,y,z)|cosm,n||mn| |z x2y2|m||n ∴z2x2y2 由C(020)D1C021nD1C，即nD1C∴2yz 由①、②，可取n3,1又CB100BD1EC6|CBn 6d |n 2 点评：几何的内容就是空间的断、推理、明、角度和距离、面积与体积的计算这是几的点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起（2007年4月济南市 ：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平2互相垂直且 ，ED//AF且∠DAF=90°2BDBEFEFPP、A、CDBEPPF的比值；若不.先假设存在，再去推理，下结论：答案：（1）AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，B（2，0，0），D（0，0，2），DB2,0,0BE1,1,2BFBEF的法向量n(x,yz),则y2z0y0，则可取n2,1,0DB和n2,0,1222022 22。即BD和面BEF所成的角的余 （2）EFPP、A、CDBEPPFm点坐标为(12m12m

21 1

1AP(12m12m

2，向量CP(12m

1

1

1

1

1

1所以212m012m 0,所以m11

1

1 (2007文)如图在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点且ACBCa∠VDC0π 2 Ｖ求证：平面VAB⊥平面VCDＶ试确定角BC与平面VABπ6答案:解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点 ∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD 又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD （Ⅱ）过点C在平面VCD内作CHVDH，则由（Ⅰ）知CD平面VAB．BH，于是CBHBC与平面VAB所成的角．依题意CBHπ6Rt△CHDCH

2asin2Rt△BHCCHasinπa ∴sin 22∵0π，∴π 故当πBC与平面VABπ 解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立的空间直角坐标系，C(0，A(0，B(，0，D

，atan，

V VDa

222

a

， atan，CD

02

2 ，2 AVD 2atan1a21a200 ·，，

2 即ABVD．又CD VDD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为nx，y，z，VD axay 得axay 2aztan ，2a0)于是sinπ6

sin222即sin

2∵0π，∴=π 故交πBC与平面VABπ D(

2a0

，a

C 200，V

2，2atanA

，，B0

，，

DV2DC2DV2DC22于 ，

atan

0(，20) 0 (，20) ，atan 0，即ABDV 又 DVD

AB平面VCDAB平面VAB，∴平面VAB平面VCD设平面VAB的一个法向量为nx，y，z2ay

aztanBCBC2

2a0， D 2a2a26

2sin2即sinπ0π，∴π．故角π πBC与平面VAB所成角为．69．（2006年辽宁高考）已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0)BFADE若ACD为正三角形试判断点A在平面BCDE内的射影GEF上,证明你的结论,并求角的余弦值解(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边ABCD的中点 EB//FD,四边形EBFD为平行四边 (II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于 面BCDE,垂足为G,连结GC,GDACD为正三角形GCD的垂直平分线上,ABCDEGEF上过GGH垂直于ED于H,连结AH,AHDE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角即AHG设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中 3a,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形AGEFAEAFAG

3a在RtADE中,AHDEAEADAH a25225GH

a,cosGH2 210．M-ABCDMA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD1，试求能够放入这∴AB⊥∴ME⊥a2(2a2(2a2

EFEMaaa2 a2(2aa

2

22222222a＝a

2222

-22二 方法总结高190º；2123123190º23

d|AB·n|n

d|AB·n123 |n（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一n这个平面的法向量12,[0,]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐12的角α，或 1○2cosS（○Sπ－α）；3 补交 所要求的角互余所以要或若求出的角为锐角就用若求出的钝角就用 （5）．求二面角时，若用第2、3种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．高考试题中，几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维近几年凡涉及空间向量应用于几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求从命题形式来看，涉及几何内容题形式最为多变.除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试３．从方法上来重考公理化方法，如解注重理论推导和计算相集；考查转化的思想法如经常要把几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如（一）选择题

三 强化训（（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４5 5P到A点的距离 （

3 3直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C面α内的射影为C1C1AB，则为（ A.1个平 B.4个平 D.无法确是1，那么这个球的半径是( 6333 333

棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形

D．4 命题①空间直线a，b，c，若a∥b，b∥c则 ②非零向量abc，若a∥b，b∥c则a∥α、β、γα⊥β，β⊥γα∥γ④空间直线a、b、ca⊥b，b⊥c⑤直线a、b与平面β，若a⊥β，c⊥β，则 A（ C、（0， D（， 2332 233266

1—12【答案】DPAB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，GPEFPFGPGE符合要求1111【答案】C解析：∵CA2+CB2<CA2+CB2＝AB,ACBCAB1111个平面，当第四个点在α34个平面.C.【答案】Br，则r＝3：3

，又同理，ΔBOC、ΔCOAΔABCR，rΔABC33 33 3333 314

8

×4π·125π4【答案】B．解析：当有nan种支撑法，n4，56，…，则an+1=an+3－1=an+2∴{an}n4，5，6，…，a44∴an=2n－4，A2006＝4008【答案】A．解析：法一：正三棱锥P–ABC，O为底面中心，不妨将底面正△ABC固定，顶点P运动，PO→+∞时，∠AHC→∠ABC3

<∠AHCπHAOHAOPAB=2，PCxxOC233x21x等腰△PBC中，S△PBC=1x·CH=1x21x 121121x等腰△AHC中，sinAHC2 Bx>231sinAHC<1AHC 2(22)22(22)2.8（１）由正方体的八个顶点可以组成c3568

，所以底面边长的一半等于24 面的三角形有c24个4c3（４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率p c3

；

367（二）填空题在三棱锥P—ABC中，底面是边长为2cm的正三角形，PA＝PB＝3cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为 14．P为ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABCPABC垂直，那么ABC的形状可以是。①正三角形②等腰三角形③非等腰三

表面积 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1

1M在A

AM=3

AB，点P在平面 上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M点P的轨迹方程是 13—16DDPCy2。

cm3解析:P到面ABCPAB1PD=22cm．V

344

2232

由题意可知ABCBC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）3 .113

4 3464

3 343y22x1。解析：PPQ⊥ADQQQH⊥A1D1HPH PH⊥A1D1.P（x，y），∵|PH|2-|PH|21，∴x2+1-[(x1)2+y2=1y22x1 （三）解答题ODACBHF已 ABCD，从平面ACODACBHFOEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkODEFGHACEG解：（1）ABCDACABAD∵EGOGOE kOCkOAk(OCOA)kACk(AB k(OBOAODOA)OFOEOHEFEFGH（2）∵EFOFOEk(OBOAkABEGkAC∴EF//AB,EG//ACEGDBD如图，PABCD是正四棱锥,ABCDA1B1C1D1是正方体，其DBD6AB2,PA 6 求1到平面D的距离． A解：(Ⅰ)连结AC,交BD于点O,连结PO,则PO⊥面ABCD,∵AC

（Ⅱ）AO⊥BDAO⊥PO∴AOPBD,OOM⊥PD连结AM,则AM⊥PD ∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角 6262623又∵AB2,PA , 6262623POOM ,∴tanAMO

AO

2 6

19 36即二面角的6即二面角的大小为 1h

1AO

h65 BPAD6

3

P-ABCD中，底面ABCDPA垂直于底面，E、F分别是AB、PCEFPCDABCD成多大二面角时，EFPCD？证：（1）CDG，连结EG、∵E、F分别是AB、PCEF//（2）PCD与平面ABCD45角时，直线EF证明：∵G为CD中点，则 ，∵PA底面ABCD∴AD是在平面ABCD内的射影。∵CD平面ABCD，且CDAD 故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角即EGF=45， =45，AD=AP.由RtPAERtCBE，得PE=CE.又F是PC的中点，∴EFPC.由CDE FG，得CD平面EFG，∴CDEF，即EFCD，故EF平面PCD．ABCDE中，ABACD，DEACD，ACADCDDE2a，ABa，FCD的中点ACDBCE所成二面角的大小.解：（Ⅰ）∵DEACD，AFACD又∵AC=AD=C，FCD DE平面AB平面ACDDE//AM//BE，则∠CAMACBE所成的角。在△ACMAD2DM4a2AD2DM4a2aCD2DM4a2CD2DM4a2a(2a)2(5a)(2a)2(5a)2(22a555∴异面直线AC、AE所成的角的余弦值 5512

DEAGDFCDCG//AFBDPCD11112

2

又∵AC平面PMD，ME平面∴AC//PMD1，PBABCD，CDABCD，∴CD⊥PB。又∵CD⊥BCCDPBC。∵CDPCD，∴平面PBCPCDBBF⊥PCFBFPDC，连DF，DFBDPCD上的射影。∴∠BDFBDPDC不妨设AB=2，则在Rt△BFD中，BF1BD， BDPCD6A作AN⊥DGNMN∵PBABCD，∴∠MNAPMD与平面ABCD所成在Rt△MAN中，tanMNAMA 2 222222AA1BC解：（I）A1DABC，BCACBCAA1C1C，BCAC1BA1AC1

ACBC2， ACD。。AA1AC2DAC中点，知A1ACAA1FAA1BCFA1ABBCF，过C作CHBFH，则CHA1AB，RtBCFBC2,CF

3，故CH221722即CC1到平面A1AB的距离为CH HHGA1B于G，连CG，则CGA1B，从而CGHAA1BC的平面角，2在RtA1BC中，A1CBC2，所以CG 2在RtCGH中，sinCGHCH 42 故二面角AA1BC的大小为 2：（I）ABEDEBCBCAC，DEACA1DABC，DEDCDA1xyz轴建立空间坐标系，A010C0,10B2,10，A10,0,t，C10,2,tAC10,3,t，BA12,1,tCB200A1CCB0A1CCB，BA1AC1，从而AC1平面A1BC；由ACBA3t20，得t 3 设平面A1AB的法向量为nx,yzAA10,1,3AB220，所

3z

z1n

3,

nnAB2x2n所以点C1到平面A1AB的距离d

2。7再设平面A1BC的法向量为mxyzCA101,3CB200，

3z

z1m0, mCB2x故cosmn

mnm

777AA1BC的大小为arccos77（四）创新试题ABC—A1B1C1中，DBC求证：A1C//平面B—AB1—DcAB1D的距离.A1BA1B∩AB1E∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1∴四边形A1ABB1∴EA1B的中点，DBC∵DE平面AB1D，A1C平面∴A1C∥平面ABCDF⊥ABF，在面A1ABB1FG⊥AB