概率第三章-p第二节

二维联合分布全面地反映了二维随量(X,Y)的取值及其概率规律.

而单个随 量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,就来探求这个问题.数F

x而X

和Y

都是随量,也有各自的分布函数,

分别记为

FX

x

,

FY

y

,

依次称为二维随机变量

(X,Y)

关于X

和Y的边缘分布函数.一、边缘分布函数二维随

量(X,Y)作为一个整体,

具有分布函FX

x

P

X

x

PX

F

x,

FY

y

P

Y

y

P

X

,Y

y

F

,

y

ijP(X

xi

,Y

y

j

)ijijPp则(X,Y)关于X

的边缘分布律为j1X

x

,Y

yj1

i

1,

2,

iP

X

x

j1ji

x

,Y

y

二、离散型随

量的边缘分布律一般地，对离散型

r.v

(X,Y

)，X和Y

的联合分布律为pi

.(X,Y)

关于Y

的边缘分布律为P

Y

y

ij.

jp

pi

1j

i

1P

X

xi

,Y

y

j

j

1,

2,例1

把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而

Y

为正面出现次数与出现次数之差的绝对值,

求(X

,Y)

的分布律.解

(

X,

Y

)可取值(0,3)

,

(1,1)

,

(2,1)

,

(3,3)XY081808038P{X=1,

Y=1}

1

2

3

P{X=2,

Y=1}

2

P{X=3,

Y=0}

1

23

1

8.=3/8

2

=3/8P{X=0,

Y=3}

1

23

1

3

13P{X=0}=P{X=0,

Y=1}+P{X=0,

Y=3}=1/8,P{X=1}=P{X=1,

Y=1}+P{X=1,

Y=3}=3/8,P{X=2}=

P{X=2,

Y=1}+P{X=2,

Y=3}=3/8,P{X=3}=P{X=3,

Y=1}+P{X=3,

Y=3}=1/8.P{Y=1}=

P

X

k,Y

1=3/8+3/8=6/8,3k

0P{Y=3}=

P

X

k,Y

3=1/8+1/8=2/8.k

0常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.X

YPX

xi

081803

88038P

Y

j82

8联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.YX880013808jP

Y

PX

xi

1

83

882

8f

X

(x)

f

(x,

y)dyX

f

x,

ydyF

x

F

x

,

x

dx事实上,

f

x,

y

dyf

X

x

FX

x

三、连续型随

量的边缘概率密度对连续型r.v

(X,Y

)，X

和Y

的联合概率密度为f

(x,y)则(X,Y

)关于X

的边缘概率密度为

x

(X,Y

)关于Y

的边缘概率密度为fY

(

y

)

f

(

x,

y

)dx

y

例2

设(X,Y)的概率密度是0

,0

x

1,0

y

x其它f

(

x,

y

)

cy(

2

x

),求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=

5c/24

,c=24/5.001

xdxcy(2

x)dy解(1)1

f

x,

y

dxdyR2故y

xxy0x

1

102c2x2

x3

dx解求

(1)

c的值;

(2)

两个边缘密度0

,

其它例2

设(X,Y)

的概率密度是f

(x,

y)

cy(2

x),

0

x

1,

0

y

xXf

x,

ydy

0Xxff x,

y

dyf

x,

y

dy

.xx

f x,

y

dy

(2)

f

x

xxyy

xx

1xx0y

,

,当x

1或x

0时,都有f

x,y

0,故f

X

x

0.当0

x

1时,0暂时固定5

12

x2

(2

x),注意取值范围x0y(2

x)dy524综上,12

1,0,

,其它.f

x

5Xy

xxyxx

0

x

1

x

00Xxff x,

y

dyf

x,

y

dy

.xx

f x,

y

dy

当0

x

1时,解(2)求

(1)

c的值;

(2)

两个边缘密度

.0

,

其它例

2

设(X,Y)的概率密度是f

(

x,

y)

cy(2

x), 0

x

1,

0

y

xYf

y

f

x,

ydx当y

1或y

0时,对x

,,都有f

x,y

0,故fY

y

0.11f

x,

ydx

.f

x,

ydxyYf

x,

ydx

f

y

当0

y

1时,yy

xyy1yy

1暂时固定0yx25

2y2y(

2

y

),

24

31524yy(2

x)dx0,25

224

3), 0

y

1其它y2y(

2

y

f

(

y)

Y综上,注意取值范围在求连续型

r.v

的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面介绍两个常见的二维分布.设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随

量（

X,Y）具有概率密度0,

1

,(

x,

y)

G其它f

(

x,

y)

A则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标

(X,Y)在G上服从均匀分布.例若二维随量（X,Y）具有概率密度则称（

X,Y）服从参数为1,

2

,1,2

,

0,其中1,2

,1,2

,

均为常数,且1

0,2ρ

的二维正态分布.记作（

X,Y）～

N(μ

,μ

,σ2

,σ2

,ρ).1

2

1

2

x

,

y

,

211

21

21σ

22πσ

σσ

σσ

21

(

x

μ

)2f

x,

y

exp

1

2 1

ρ1

ρ2(

x

μ

)(

y

μ

)(

y

μ

)2

2

ρ

1

2

2

2

例

3

试求二维正态随

量的边缘概率密度.

Xf

x,

y

dyx

解

f21

2σ

2σ

σ(

y

μ

)2(

x

μ

)(

y

μ

)

2

2

ρ

1

2

211σσσ1

y

μ x

μ

2(

x

μ

)2

ρ2

1

2

ρ

1

因为所以

2212

121σ2σ12σ

2Xee1

y

μx

μ

2

2

ρ 1

(

x

μ1

)

ρ

dyf

x

2πσ1σ2

1

ρ12,σσ1

y

μ2x

μ

ρ1

ρ

21

令

t

则有211t

22σ1X2πσ(

x

μ1

)2

f

x

e

2212

121σ2σ12σ

2Xee1

y

μx

μ

2

2

ρ 1

(

x

μ1

)

ρ

dyf

x

2πσ1σ2

1

ρ1112σ

2e2πσ(

x

μ

)2

1

e

2

dt

2π112σ

2e2πσ1(

x

μ1)2

x

同理222σ

2Y2πσ(

y

μ2

)2f

y

1

e

y

可见二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数

ρ

.也就是说,对于给定的

μ1

,

μ2

,σ1

,σ2

,

不同的

ρ

对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明

由边缘分布一般不能确定联合分布.四、课堂练习设(X,Y)的概率密度是e

y

,

x

0,

y

xf

x,

y

0,

其它求(

X,Y

)关于

X

和

Y

的边缘概率密度.