数概-第二章2.6习题课

一、重点与难点重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算难点连续型随 量函数的概率密度的求法二、主要内容随

量离

散

型随

量连

续

型随

量分布律密

度

函

数

分

布

函

数均匀分布指数分布*态分布两二泊点项松分分分布布布随

量

定的函数的分

布

义随量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).定义

设E

是随机试验,它的样本空间是

{eS}.如果对于每一个

Se,

有一个实数

eX与之对应,)这(样就得到一个定义在S上的单值实值函数

(eX),称量.(1)随

量与普通的函数不同随随量随量的取值具有一定的概率规律随量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随量的取值也有一定的概率规律.随量与随机事件的关系随机事件包容在随量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随

量则是从动态的观点来研究随机现象.随

量的分类随

量离散型非离散型连续型

其它随

量所取的可能值是有限多个或无限可列个,

叫做离散型随 量.随

量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随

量.

pk

k

量X

的分布律.1,,}2.{,的概率,}为{P

X

xk(1)定义设离散型随

量X所有可能取的值为xkk

1,(2,

),X

取各个可能值的概率,即事件称此为离散型随X

xk离散型随量的分布律X

~

2121Xpkpnpp

n

p1

p2

pn

10(2)说明pk

0,

k

1,2,;

1;k

1k20

p量的分布律也可表为30离散型随设随 量

X

只可能取0与1两个值,

它的分布律为X

0pk

1

p1p则称X

服从(0-1)分布或两点分布.两点分布(k

0,1,2,,

n, 0

p

1)称这样的分布为二项分布.记为

X

~

b(n,

p).n

1二项分布 两点分布二项分布kpnpk

n

k

n

pkqnk

qn

n

pqn1

11X

的分布律为X

0是常数.则0

称X

服从参数为

的泊松分,,,210,,k!kX}{P

k

各个值的概率为k

e,,而,21取0其中

布

记为

X(π~).,设

0是一个常数,n是任意正整则对于任一固定的非负整数k,有设随

量所有可能取的值为泊松分布泊松定理数,设np

,knlim

n

pk

(1

p)nk

k!ke量,x

是任意实数,函数

xX}{P)(xF(1)定义设

X

是一个随分布函数

()

是Fxx的一个普通实函数.随量的分布函数量在某一区间内取称为X

的分布函数.(2)说明分布函数主要研究随值的概率情况.(,);10

0

F

(

x)

1,1

2

()(2),

(

0F

()

lim

F

x

0,

F

()

lim

F

(

x)

1;x

x30

);40000lim

F

(

x)

F

(

x

),

(

xx

x即任一分布函数处处右连续.(3)性质P{a

X

b}

F

(b)

F

(a),P{

X

a}

1

F

(a).离散型随 量的分布函数F

(

x)

P{

X

x}

pk

.xi

x(4)重要公式则称

X

为连续型随 量

其中

(,)率密度函数,简称概率密度.(())df,xtFt非负函数,使对于任意实数x

有xXx的f

概(1)定义如果对于随 量

X

的分布函数F

(

x),

存在连续型随

量的概率密度1o(2)性质f

(

x)

0;f

(

x)d

x

1.2o1

xF)

221{3

o.1若

f

(4x)

在点

x

处连续

则有

F

x

(f,()x).o连续型离散型若X是连续型随

量，{X=a

}是不可能事件,

则有

P{

X

a}

0.若

P{

X

a}

0,则不能确定{

X

a}

是不可能事件若

X

为离散型随

量{X

a}是不可能事件

P{X

a}

0.(3)注意(~a,Ub)X.区间上服从均匀分布,记为0,则称

X

在区间(,a)b,

a

x

b,其它,1(1)定义设连续型随

量

X

具有概率密度f

()x

b

a均匀分布1,x

a,a

x

b,x

b.F

(

x)

b

a

,xoabF

(

x)1

(2)分布函数0,

x

a

0,1x

0,,ex

0.()xf

θ其中θ

为常数,0则称

X

服从参数为

的指数分布.分布函数量X

的概率密度为设连续型随

xθ0,1

1x

0,x

0.

xθθ()xF

指数分布,σμ的,e

x

,2πσ为常数,0,(则)

称X服从参数为分布记为

(~μ,N,

σ2X).1()xf

2σ

2量X

的概率密度为

xμ

)(2其中

σσμ正态分布或正态分布(或分布)(1)定义设连续型随d

t2πσF

(

x)

x2σ

2

e1(

t

μ)2(2)分布函数e

x

,

x22

,(3)标准正态分布当正态分布

N

(

μ,σ

2

)

中的

μ

0,

σ

1

时,这样的正态分布称为标准正态分布,记为

N

(0,

1).标准正态分布的概率密度表示为2π1

(

x)

标准正态分布的分布函数表示为2π

t

2e

2

d

t,

x

.1(

x)

x标准正态分布的图形10σ若

X

~

N

(

μ,σ

2

),则

Z

X

μ

~

N

(0,1).20

σσP{c

X

d

}

d

μ

c

μ

.

(

x)

1

(

x).30(4)重要公式(2)连续型随

量的函数的分布如果

X

是连续型随

量,其函数

Xg)(也是连续型随

量.计算Y的概率密度通常是根据X的密度函数

f

X

(

x)

求出Y

的分布函数FY

(

y)

P{Y

y}

P{g(

X

)

y})((d

f),

()gyxX求导得到Y

的密度函数.再对FYy()其中α

min((g

),

g()),

hygx

是

(的)(.反)

函数其他.β

max((g

),

g()),X

[(

)]

(),

βy,

αhyhfy

xg

(0)),

则称

gY()x

是连续型随

量,其概率密度为0,()yf

设随又设函数gx()量

X

的具有概率密度

f

X

(

x),

x

R,处处可导且恒有

xg

(0

)(或恒有Y定理例1

已知离散型随量X

的可能取值为

2,0,,5相,2应的概率依次为

1

,

3

,

5

,

7

,试求概率2

4

8aaaaXXP0}2.{[思路]首先根据概率分布的性质求出常数a的值,然后确定概率分布律的具体形式,最后再计算条件概率.利用概率分布律的性质

pii解

1,三、典型例题因此X

的分布律为XP

202581210737373737iia

2a

4a有

1

p

1

3

5

7

37

,8a

8a8故

a

37

,从而P{

X

2

X

0}

P{

X

2,

X

0}P{

X

0}P{

X

0}

P{

X

2}

P{

X

5}P{

X

0}

P{

X

2}

22

.292且

P

X

2{}

1

,试确定常数

,,

并求aX的b

分布律.量X

的分布函数为x

1,

x

1,1,

x

21,,3aa

b x

2.,F

()x

2

a例2

设离散型随0,[思路]

首先利用分布函数的性质求出常数

a,b,再用已确定的分布函数来求分布律.解利用分布函数F

(x)的性质:P{

X

xi

}

F

(

xi

)

F

(

xi

0),F

()

1,2知

1

P{

X

2}32

(a

b)

(

a)3

2a

b

2

,且

a

b

1.由此解得

a

1

,

b

5

.6

60,F

(

x)

2

a,

3x

1,a,

1

x

1,1

x

2,a

b,

x

2.1,2110,, 1

x

2,x

2.因此有

F

(

x)

6x

1,,

1

x

1,从而X

的分布律为XP236

1

1

21

1

1例3

已知随

量

X

的概率密度为Axf

x

,e)(

x

.求系数

A;)1()2求(

X

的分布函数

(

xF);)3求(

XY2

的概率密度.解(1)由概率密

xf

(

x)d

x

1

0Ae d

x

2Ae d

x

x

2A,2故

A

1

.,(2)

F

(

x)

当x

0

时,有F

(2d

x

1

ex

;02]

1

1

e

x

;当x

0

时,有所以X

的分布函数为,

x

0.x

0,211

eF

(

x)

2

x

1

ex

,(3)

由于Y

X

2

0,故当

y

0

时,

有

FY

(

y)

P{Y

y}

0;当y

0

时,有y}2YF

(

y)

P{Y

y}

P{

X

P{

y

X

y}

y

y

212y

1

e

x

d

x,0e

x

d

x

2由于

FY

(

y)

fY

(

y),故当y

0

时,有ye

x

d

x]0Yd

F

(

y)

d

[d

y

d

y

e

y

1

,2

y从而,

Y

的概率密度为0,y

0.ey

,

y

01yf

(

y)

2Y问应如何设计公共汽车车门的高度,使男子与车门顶碰头的几率小于0.01?若车门高为182

cm,求100

个成年男子与车门顶碰头的人数不多于2

的概率.[(1)思路]设车门高度为l

cm,那么按设计要求应有P{X

l}

0.01,确定l.例4

设某城市成年男子的身高

X

~

N

(170,

62

)(单位:

cm)解(1)

由题设知

X

~

N

(170,62

),P{

X

l}

1

P{

X

l}

6

6

1

P

X

170

l

1706

1

(l

170)

0.01,即(l

170)

0.99.6故

l

183.98(cm).6查表得l

170

2.33,问应如何设计公共汽车车门的高度,使男子与车门顶碰头的几率小于0.01?若车门高为182

cm,求100

个成年男子与车门顶碰头的人数不多于2

的概率.[(2)思路]首先要求出100名男子中身高超过182cm

的人数的分布律,然后用此分布律,求其不超过2的概率.例4

设某城市成年男子的身高

X

~

N

(170,

62

)(单位:

cm)(2)设任一男子身高超过182cm

的概率为p.

66则

p

P{

X

182}

P

X

170

182

170

1

(2)

0.0228.设Y

为100

个男子中身高超过182cm

的人数,则

Y

~

B(100,

0.0228),

其中100kk

P{Y

k}

0.0228

0.9772100k

,k

0,1,,100.0!

1!

2!P{Y

2}

P