理论力学动静法

关于理论力学动静法第1页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五2动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条件下也是简捷而有效的方法。本章介绍解答动力学问题的另一种方法——达兰贝尔原理或译为达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。动力学第2页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五3§9-1惯性力的概念人用手推车动力学力是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。

定义：质点惯性力

加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。第3页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五4动力学③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。①

大小：FJ=ma②

方向：与相反按不同坐标系，惯性力可分解为：——切向惯性力——法...............第4页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五5动力学这就是质点的达兰贝尔原理。§9-2达兰贝尔原理非自由质点M，质量m，受主动力，约束反力作用，、的合力为由牛顿第二定律：假象地将作用在M上，则即：一、质点的达兰贝尔原理第5页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五6动力学该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也就是：对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解。第6页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五7动力学[例1]

列车在水平直线轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。第7页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五8动力学研究对象：单摆的摆锤虚加惯性力

角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。解：得方向与相反第8页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五9动力学对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达兰贝尔原理。可用方程表示为：设有一质点系由n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，则有二、质点系的达兰贝尔原理对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空间问题有六个平衡方程。第9页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五10动力学

§9-3刚体惯性力系的简化一般质点系，在应用动静法是，可在每一质点上虚加相应的惯性力，但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系，则不可能逐个质点虚加惯性力。怎么办？可以采用静力学中的力系简化的理论，求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主矩，来代替惯性力系。这样，在刚体上虚加了惯性力系的主矢和主矩，就相当于在刚体上的各个质点上虚加了惯性力。第10页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五11动力学一、刚体作平动惯性力系向质心C简化：故刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。第11页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五12动力学空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：主矩：二、定轴转动刚体设刚体具有垂直于转轴的质量对称平面。O直线i：平动，过Mi点，第12页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五13动力学即：向O点简化：作用在O点作用在C点若向质心C简化，同理可得实际应用时可将惯性主矢分解：第13页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五14动力学讨论：①若ε=0，转轴不通过质点C，向转轴简化，则②若转轴过质点C，且0，则③若ε=0且转轴过质心C，则第14页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五15动力学假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：三、刚体作平面运动作用于质心C

无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。第15页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五16动力学[*例1]

均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止倒下。求开始倒下时杆AB的角加速度及A点支座反力。（1）研究对象：杆AB（2）受力图（3计算惯性力系的主矢、主矩将惯性力系向A点简化：解：第16页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五17动力学（4）选轴及矩心建立平衡方程求解第17页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五18动力学用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为研究对象由得：由质心运动定理：第18页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五19动力学

[*例2]

牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M之最大值。取轮为研究对象虚加惯性力系：解：则：第19页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五20动力学由(1)得由(2)得N=P+S，要保证车轮不滑动，必须

F≤fN=f(mg+S)(5)可见，f越大越不易滑动。

Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：第20页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五21动力学根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学方程。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。动静法的应用第21页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五22动力学

①选取研究对象。原则与静力学相同。

②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。

③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出

方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。第22页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五23动力学

⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解未知量。

[注意]

的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 计算即可。第23页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五24动力学

[例1]

质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度及O处反力。取系统为研究对象解：方法1用动静法求解第24页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五25动力学虚加惯性力和惯性力偶：则：列补充方程： 重物1：重物2：轮：第25页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五26动力学xy第26页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五27动力学方法2用动量矩定理求解根据动量矩定理：取系统为研究对象第27页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五28动力学取系统为研究对象，任一瞬时系统的两边除以dt，并求导数，得方法3用动能定理求解方法2、3须用质心运动定理求O处反力第28页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五29动力学[例2]

在图示机构中，均质圆柱体A、O重分别为P和Q，半径均为R，A作纯滚动。绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在O上作用一常力偶矩M，试求：(1)圆柱体O的角加速度？

(2)绳子的拉力？

(3)轴承O处的反力？

(4)圆柱体A与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？第29页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五30动力学解：（1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列平衡方程：（2）取轮A为研究对象，虚加惯性力。第30页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五31动力学列出平衡方程：运动学关系：，将及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：第31页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五32动力学代入(2)、(3)、(5)式，得：第32页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五33动力学方法2用动力学普遍定理求解(1)用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为研究对象两边对t求导数：第33页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五34动力学(2)用动量矩定理求绳子拉力（定轴转动微分方程）取轮O为研究对象，由Joe=∑MOe得(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力取轮O为研究对象，根据质心运动定理：第34页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五35动力学(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度

用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力、轴承O处反力和及摩擦力）。第35页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五36动力学[例3]

均质圆柱体重P，半径R，自O点无滑动地沿倾斜板由静止开始滚动。板与水平成角，试求OA=S时板在O点的约束反力。板重略去不计。解：圆柱体作平面运动，设其质心加速度为a，虚加惯性力P（1）取圆柱体为研究对象：第36页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五37动力学（2）取系统体为研究对象：第37页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五38动力学解：绕线轮作平面运动由将FJ

、MOJ代入上式，可得[例4]

绕线轮重P，半径为R及

r

，对质心O的回转半径为ρ，且ρ2

=Rr，轮在常力

作用下作纯滚动，已知，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析轮纯滚动的条件。第38页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五39动力学纯滚动的条件：F≤fN

第39页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五40动力学解：BD作平动，A相对于BD不动，所以：[例5]

重W2的板BD由两根等长且平行的细绳悬挂，板上放置重W1且不计大小的物块A。系统从图示位置无初速开始运动，求此瞬时A物不在BD上滑动的接触面的静摩擦系数。（1）以物A及BD为研究对象：x将FAJ、FCJ

代如得aC=gsinθ第40页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五动力学（2）以物A为研究对象：A在BD上不滑动，必须F≤fN，第41页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五42动力学解（1）以AB为研究对象：设其质心加速度为aC、角加速度为eAB，则[例6]

图示系统，均质杆AB：m1=2m，l；均质圆轮：m2=2m，r；物体G：m3=m

。系统开始静止，AB水平。求A端绳突然断开的瞬时物体G和杆AB质心的加速度及O处反力。第42页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五43动力学（2）以物体G及轮O为研究对象：设物体G的加速度为aG、轮O的角加速度为eO，虚加惯性力：运动学关系：第43页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五动力学将各惯性力及运动学关系代入（1）～（5）式联立解得：第44页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五45动力学例7.图示机构位于水平面。已知：均质杆AD：m；均质杆AB：L，2m；套筒E至AD杆距离为L/2。系统初始静止，且AE=5L/8。求当AD杆突然受到向右的力F作用时，AB杆的角加速度e及套筒E对AB杆在水平面内的约束反力。不计套筒质量及各处摩擦。解：AD杆作平动，AB杆作平面运动（1）分析加速度（a）以E及AB为研究对象，以套筒E为动点，AB为动系∵aa=0，ac=0（图示瞬时wAB=0）第45页，共54页，2022年，5月20日，8点35分，星期五46动力学（b）以AB为研究对象，设e。以E为基点，则沿AB，也就是沿AB。（c）以AB为研究对象，以A