线性代数-向量空间

一、向量空间的概念定义1设V

为n

维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间．说明1．集合V

对于加法及乘数两种运算封闭指若

V

,

V

,则

V

;若

V

,

R,则

V

.2．n

维向量的集合Rn

是一个向量空间.例1

3

维向量的全体R

3

,是一个向量空间.乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3

.类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空间.因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数例2判别下列集合是否为向量空间.

T2

n

2

n

,,,,,0

R1解V1是向量空间.因为对于V1的任意两个元素

TnT2

n

0,

a

,,

a2,

0,

b

,,

b1

V

,12

2

VTnn有

0,a

b

,,a

b1V

.2Tn

0,

a

,,

a例3判别下列集合是否为向量空间.Tx2

,,

xn

RnV

2解因为若

1,a2

,,an

V

,T2则2

2,2a2

,,2an

V

.T2V2不是向量空间.例4

设a,b为两个已知的n维向量，集合V

x

a

b

,

R解

V是一个向量空间.因为若x1

1a

1bx2

2a

2b

则有x1

x2

(1

2

)a

(1

2

)b

V

,kx1

(k1

)a

(k1

)b

V

.这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间.V

x

1a1

2a2

m

am

1

,2

,,m

R一般地，由向量组a1

,a2

,,am所生成的向量空间为V1

x

1a1V2

x

1b1试证：V1

V2

.

2a2

mam

1

,2

,,m

R

2b2

sbs

1

,

2

,

s

R例5

设向量组a1

,,am与向量组b1

,,bs等价，记证设x

V1，则x可由a1

,,am线性表示.因a1

,,am

可由b1

,,bs

线性表示，故x可由b1

,,bs

线性表示，所以x

V2

.这就是说，若x

V1，则x

V2因此V1

V2

.类似地可证:若x

V2

,则x

V1

,因此V2

V1

.因为V1

V2，V2

V1，所以V1

V2

.定义2

设有向量空间V1及V2，若向量空间V1

V2，就说V1

是V2

的子空间．实例设V

是由n

维向量所组成的向量空间，显然V

Rn所以V总是Rn的子空间.二、子空间定义3

设

V

是向量空间，如果

r

个向量

1

,2

,,r

V，且满足1

,2

,,r

线性无关;V中任一向量都可由1

,2

,,r

线性表示.那末，向量组

,

,,

就称为向量V

的一个1

2

r基，r

称为向量空间V

的维数，并称V

为r

维向量空间．三、向量空间的基与维数说明只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．若把向量空间V

看作向量组，那末V

的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩.若向量组1,2

,,r是向量空间V

的一个基，则V

可表示为V

x

,,

R1

1

2

2

r

r

1

r2

2

2

1A

(a1

,a2

,a3

)

2

1

2

,

1

22

1

4

4B

(b1

,b2

)

0

3,验证a

,a

,a

,是R3的一个基，并把b

,b

用这个基1

2

3

1

2线性表示.例6

设矩阵解

要证a

,

a

,

a

是R3的一个基，只要证a

,

a

,

a1

2

3

1

2

3线性无关，即只要证A

~

E

.设

b1

x11a1

x21a2

x31a3

,b2

x12a1

x22a2

x32a3，即31 32

x

xx22

,x12

x11(b1

,b2

)

(a1

,a2

,a3

)

x21记作B

AX

.3则a1

,a2

,a3为R

的一个基，且当A变为E时，B变为X

A1

B.对矩阵(AB)施行初等行变换，若A能变为E，2

2

2

1

1

4

1

2

0

3

1

2

2

4(

AB)

22

1

1

1

1

3

2

1

2

0

3

1

2

2

432

311

(r

r

r

)~5

0

1

1

1

1

3

0

3

0

2

33

3

52

1

1

1

1

3

2

1

2

0

3

1

2

2

413(r1

r2

r3

)~r3

r1r2

2r1~

0

1

1

111

0r2

(3)3r

~

3

0

1

1

0

33r3

r1r2

2r1~

11

0 1 00 01

0

1

0r2

(3)3r

~

3r1

r3r

~r3

2因有A

~b1

,b2

(１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．３．向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法．四、小结设V

x

(,a)b运算如下:加法数乘

ab

R,,定义加法与数乘V:(,(),,(a)

ccbadb)d,